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第一章计数原理1.2排列与组合1.2.1排列第2课时排列的综合应用A级基础巩固一、选择题1.A,B,C,D,E五人并排站成一行,如果A,B必须相邻且B在A的右边,那么不同的排法种数是()A.6B.24C.48D.120解析:把A,B视为一人,且B固定在A的右边,则本题相当于4人的全排列,排法共有A44=24(种).答案:B2.用数字1,2,3,4,5可以组成没有重复数字,并且比20000大的五位偶数共有()A.48个B.36个C.24个D.18个解析:个位数字是2的有3A33=18(个),个位数字是4的有3A33=18(个),所以共有36个.答案:B3.甲、乙两人从4门课程中各选修2门,则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有()A.6种B.12种C.24种D.30种解析:首先甲、乙两人从4门课程中同选1门,有4种方法;其次从剩余3门中任选2门进行排列,排列方法有A23=6(种).于是,甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法共有4×6=24(种).答案:C4.3张卡片正反面分别标有数字1和2,3和4,5和7,若将3张卡片并列组成一个三位数,可以得到不同的三位数的个数为()A.30B.48C.60D.96解析:“组成三位数”这件事,分2步完成:第1步,确定排在百位、十位、个位上的卡片,即为3个元素的一个全排列A33;第2步,分别确定百位、十位、个位上的数字,各有2种方法.根据分步乘法计数原理,可以得到不同的三位数有A33×2×2×2=48(个).答案:B5.甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动,要求每人参加一天且每天至多安排一人,并要求甲安排在另外两位前面.不同的安排方法共有()A.20种B.30种C.40种D.60种解析:分三类:甲在周一,共有A24种排法;甲在周二,共有A23种排法;甲在周三,共有A22种排法.所以排法共有A24+A23+A22=20(种).答案:A二、填空题6.从班委会的5名成员中选出3名分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员,其中甲、乙二人不能担任文娱委员,则不同的选法共有______种(用数字作答).解析:先选出文娱委员,有3种选法,再选出学习委员、体育委员,有A24种选法.由分步乘法计数原理知,选法共有3A24=36(种).答案:367.把5件不同产品摆成一排,若产品A与产品B相邻,且产品A与产品C不相邻,则不同的摆法有________种.解析:先考虑产品A与B相邻,把A、B作为一个元素有A44种方法,而A、B可交换位置,所以摆法有2A44=48(种).又当A、B相邻又满足A、C相邻,摆法有2A33=12(种).故满足条件的摆法有48-12=36(种).答案:368.在所有无重复数字的四位数中,千位上的数字比个位上的数字大2的数共有________个.解析:千位数字比个位数字大2,有8种可能,即(2,0),(3,1),…,(9,7),前一个数为千位数字,后一个数为个位数字,其余两位无任何限制.所以共有8A28=448(个).答案:448三、解答题9.一场晚会有5个演唱节目和3个舞蹈节目,要求排出一个节目单.(1)3个舞蹈节目不排在开始和结尾,有多少种排法?(2)前4个节目要有舞蹈节目,有多少种排法?解:(1)先从5个演唱节目中选两个排在首尾两个位置有A25种排法,再将剩余的3个演唱节目,3个舞蹈节目排在中间6个位置上有A66种排法,故共有不同排法A25A66=1440(种).(2)先不考虑排列要求,有A88种排列,其中前4个节目没有舞蹈节目的情况,可先从5个演唱节目中选4个节目排在前四个位置,然后将剩余四个节目排列在后四个位置,有A45A44种排法,所以前四个节目要有舞蹈节目的排法有A88-A45A44=37440(种).10.3名男生、4名女生,按照不同的要求站成一排,求不同的排队方案有多少种.(1)甲不站中间,也不站两端;(2)甲、乙两人必须相邻;(3)甲、乙两人不得相邻.解:(1)分两步,首先考虑两端及中间位置,从除甲外的6人中选3人排列,有A36种站法,然后再排其余位置,有A44种站法,所以不同站法共有A36A44=2880(种).(2)把甲、乙两人看成一个元素,首先与其余5人相当于6个元素进行全排列,然后甲、乙两人再进行排列,所以站法共有A66A22=1440(种).(3)法一先让其余的5人全排列,再让甲、乙两人在每两人之间(含两端)的6个位置插入排列,所以不同站法共有A55·A26=3600(种).法二不考虑限制条件,共有A77种站法,除去甲、乙相邻的站法A66·A22,所以不同站法共有A77-A66·A22=3600(种).B级能力提升1.由1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数,按从小到大的顺序排成一个数列{an},则a72等于()A.1543B.2543C.3542D.4532解析:千位数为1时组成的四位数有A34个,同理,千位数是2,3,4,5时均有A34个数,而千位数字为1,2,3时,从小到大排成数列的个数为3A34=72,即3542是第72个.答案:C2.三个人坐在一排八个座位上,若每人的两边都要有空位,则不同的坐法种数为________.解析:“每人两边都有空位”是说三个人不相邻,且不能坐两头,可视作5个空位和3个人满足上述两要求的一个排列,只要将3个人插入5个空位形成的4个空当中即可.所以不同坐法共有A34=24(种).答案:24
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