人教版高中数学选修44练习第二讲二第2课时双曲线的参数方程和抛物线的参数方程Word版含解析

第二讲参数方程二、圆锥曲线的参数方程第2课时双曲线的参数方程和抛物线的参数方程A级基础巩固一、选择题1．下列不是抛物线y2＝4x的参数方程的是()A.x＝4t2，y＝4t(t为参数)B.x＝t24，y＝t(t为参数)C.x＝t2，y＝2t(t为参数)D.x＝2t2，y＝2t(t为参数)解析：逐一验证知D不满足y2＝4x.答案：D2．方程x＝et＋e－t，y＝et－e－t(t为参数)的图形是()A．双曲线左支B．双曲线右支C．双曲线上支D．双曲线下支解析：因为x2－y2＝e2t＋2＋e－2t－(e2t－2＋e－2t)＝4，且x＝et＋e－t≥2et·e－t＝2，所以表示双曲线的右支．答案：B3．若曲线x＝2pt，y＝2pt2(t为参数)上异于原点的不同两点M1，M2所对应的参数分别是t1，t2，则弦M1M2所在直线的斜率是()A．t1＋t2B．t1－t2[来源:学_科_网Z_X_X_K]C.1t1＋t2D.1t1－t2[来源:Zxxk.Com]解析：依题意M1(2pt1，2pt21)，M2(2pt2，2pt22)，所以k＝2pt21－2pt222pt1－2pt2＝（t1＋t2）（t1－t2）t1－t2＝t1＋t2.答案：A4．点P(1，0)到曲线x＝t2，y＝2t(参数t∈R)上的点的最短距离为()A．0B．1C.2D．2解析：设Q(x，y)为曲线上任一点，则d2＝|PQ|2＝(x－1)2＋y2＝(t2－1)2＋4t2＝(t2＋1)2.由t2≥0得d2≥1，所以dmin＝1.答案：B5．P为双曲线x＝4secθ，y＝3tanθ(θ为参数)上任意一点，F1，F2为其两个焦点，则△F1PF2重心的轨迹方程是()A．9x2－16y2＝16(y≠0)B．9x2＋16y2＝16(y≠0)C．9x2－16y2＝1(y≠0)D．9x2＋16y2＝1(y≠0)解析：由题意知a＝4，b＝3，可得c＝5，[来源:Zxxk.Com]故F1(－5，0)，F2(5，0)，设P(4secθ，3tanθ)，重心M(x，y)，则x＝－5＋5＋4secθ3＝43secθ，y＝0＋0＋3tanθ3＝tanθ，[来源:Z。xx。k.Com]从而有9x2－16y2＝16(y≠0)．答案：A二、填空题6．双曲线x＝3sec2，y＝tan2的顶点坐标为________．解析：由双曲线的参数方程知双曲线的顶点在x轴，且a＝3，故顶点坐标为(±3，0)．答案：(±3，0)7．如果双曲线x＝secθ，y＝6tanθ(θ为参数)上一点P到它的右焦点的距离是8，那么P到它的左焦点距离是________．解析：由双曲线参数方程可知a＝1，故P到它左焦点的距离|PF|＝10或|PF|＝6.答案：10或68．过抛物线y＝2t，x＝t2(t为参数)的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|AB|＝________．解析：化为普通方程是：x＝y24，即y2＝4x，所以p＝2.所以|AB|＝x1＋x2＋p＝8.答案：8三、解答题9．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x＝t＋1，y＝2t(t为参数)，曲线C的参数方程为x＝2tan2θ，y＝2tanθ(θ为参数)，试求直线l与曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．解：因为直线l的参数方程为x＝t＋1，y＝2t.所以消去参数t后得直线的普通方程为2x－y－2＝0.①[来源:Z。xx。k.Com]同理得曲线C的普通方程为y2＝2x.②①②联立方程组解得它们公共点的坐标为(2，2)，12，－1.10．过点A(1，0)的直线l与抛物线y2＝8x交于M、N两点，求线段MN的中点的轨迹方程．解：设抛物线的参数方程为x＝8t2，y＝8t(t为参数)，可设M(8t21，8t1)，N(8t22，8t2)，则kMN＝8t2－8t18t22－8t21＝1t1＋t2.又设MN的中点为P(x，y)，则x＝8t21＋8t222，y＝8t1＋8t22.所以kAP＝4（t1＋t2）4（t21＋t22）－1.由kMN＝kAP知t1·t2＝－18，又x＝4（t21＋t22），y＝4（t1＋t2），则y2＝16(t21＋t22＋2t1t2)＝16x4－14＝4(x－1)．所以所求轨迹方程为y2＝4(x－1)．B级能力提升1．已知抛物线C1：x＝8t2，y＝8t(t为参数)，圆C2的极坐标方程为ρ＝r(r0)，若斜率为1的直线过抛物线C1的焦点，且与圆C2相切，则r＝()A．1B.22C.2D．2解析：抛物线C1的普通方程为y2＝8x，焦点为(2，0)，故直线方程为y＝x－2，即x－y－2＝0，圆的直角坐标方程为x2＋y2＝r2，由题意|－2|12＋（－1）2＝r，得r＝2.答案：C2．(2015·广东卷)在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为ρ(cosθ＋sinθ)＝－2，曲线C2的参数方程为x＝t2，y＝22t(t为参数)，则C1与C2交点的直角坐标为________．解析：曲线C1的直角坐标方程为x＋y＝－2，曲线C2的普通方程为y2＝8x，由x＋y＝－2，y2＝8x得x＝2，y＝－4，所以C1与C2交点的直角坐标为(2，－4)．答案：(2，－4)3.如图所示，设M为双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)上任意一点，过点M作双曲线两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于A，B两点，试求平行四边形MAOB的面积．解：双曲线的渐近线方程为y＝±bax.不妨设M为双曲线右支上一点，其坐标为(asecφ，btanφ)，则直线MA的方程为y－btanφ＝－ba(x－asecφ)，将y＝bax代入解得点A的横坐标为xA＝a2(secφ－tanφ)，同理可得点B的横坐标为xB＝a2(secφ－tanφ)．设∠AOx＝α，则tanα＝ba，所以平行四边形MAOB的面积为S▱MAOB＝|OA|·|OB|·sin2α－xAcosα·xBcosα·sin2α＝a2（sec2φ－tan2φ）4cos2α·sin2α＝a22·tanα＝a22·ba＝ab2.