人教版高中数学选修44评估验收卷一Word版含解析

评估验收卷(一)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知点M的极坐标为5，π3，下列所给出的四个坐标中能表示点M的坐标是()A.5，－π3B.5，4π3C.5，－2π3D.5，－5π3解析：M的极坐标为5，π3＋2kπ，(k∈Z)，取k＝－1得5，－5π3.答案：D2．圆ρ＝2cosθ＋π4的圆心为()A.1，π4B.1，34πC.1，54πD.1，74π解析：由ρ＝2cosθ＋π4得ρ2＝2ρcosθ－2ρsinθ，所以x2＋y2＝2x－2y，所以x－222＋y＋222＝1，圆心的直角坐标为22，－22，极坐标为1，7π4.答案：D3．将y＝sinx的图象横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的12，再将纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，所得图象的函数解析式为()A．y＝2sin12xB．y＝12sin2xC．y＝2sin2xD．y＝12sin12x解析：[来源:学,科,网Z,X,X,K]答案：D4．点A的球坐标为4，3π4，3π4，则它的直角坐标为()A．(－2，2，－22)B．(－2，2，22)C．(－2，－2，22)D．(2，2，－22)解析：x＝rsinφcosθ＝4×22×－22＝－2，y＝rsinφsinθ＝4×22×22＝2，z＝rcosφ＝4×－22＝－22.答案：A5．在极坐标系中，点(ρ，θ)与点(－ρ，π－θ)的位置关系是()A．关于极轴所在直线对称B．关于极点坐标对称C．重合D．关于直线θ＝π2对称解析：因为点(－ρ，π－θ)与点(ρ，－θ)为同一个点，它与(ρ，θ)关于极轴所在的直线对称．答案：A6．直角坐标B－3，3，－π3化为柱坐标是()A.23，π6，π3B.23，5π6，π3C.23，5π6，－π3D.23，7π6，－π3解析：因为ρ＝（－3）2＋（3）2＝23，tanθ＝－33，θ角的终边过点(－3，3，0)，故θ＝5π6，所以化为柱坐标为23，5π6，－π3.答案：C7．在极坐标系中，过点2，π3且与极轴垂直的直线方程为()A．ρ＝－4cosθB．ρcosθ－1＝0C．ρsinθ＝－3D．ρ＝－3sinθ解析：设M(ρ，θ)为直线上除2，π3以外的任意一点，则有ρcosθ＝2·cosπ3，则ρcosθ＝1，经检验2，π3符合方程．答案：B8．极坐标系内曲线ρ＝2cosθ上的动点P与定点Q1，π2的最短距离等于()A.2－1B.5－1C．1D.2解析：将曲线ρ＝2cosθ化成直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，点Q的直角坐标为(0，1)，则P到Q的最短距离为Q与圆心的距离减去半径的长度，即2－1.答案：A9．在极坐标系中，直线ρcosθ＝1与圆ρ＝cosθ的位置关系是()A．相切B．相交但直线不经过圆心C．相离D．相交且直线经过圆心解析：直线ρcosθ＝1化为直角坐标方程为x＝1，圆ρ＝cosθ，即ρ2＝ρcosθ，化为直角坐标方程为x2＋y2－x＝0，即x－122＋y2＝14与直线x＝1相切．答案：A10．极坐标系方程θ＝π3，θ＝2π3(ρ≥0)和ρ＝4所表示的曲线围成的图形的面积是()A.16π3B.8π3C.4π3D.2π4解析：如图所示，射线θ＝π3，θ＝2π3(ρ≥0)与圆ρ＝4围成的图形面积是阴影扇形的面积：12×42×π3＝8π3.答案：B11．点M1，7π6关于直线θ＝π4(ρ∈R)的对称点的极坐标为()A.1，4π3B.1，2π3C.1，π3D.1，－7π6解析：点M1，7π6的直角坐标为cos7π6，sin7π6＝－32，－12，直线θ＝π4(ρ∈R)，即直线y＝x，点－32，－12关于直线y＝x的对称点为(－12，－32)，再化为极坐标为1，4π3.答案：A12．在极坐标系中，曲线C1：ρ＝4上有3个不同的点到曲线C2：ρsinθ＋π4＝m的距离等于2，则m的值为()A．2B．－2C．±2D．0解析：曲线C1的直角坐标方程为x2＋y2＝16，曲线C2的极坐标方程化为22ρsinθ＋22ρcosθ＝m，化为直角坐标方程为22y＋22x＝m，即x＋y－2m＝0，由题意曲线C1的圆心(0，0)到直线C2的距离为2，则|－2m|12＋12＝2，故m＝±2.[来源:Zxxk.Com]答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．在极坐标系中，已知点A2，π2，B2，3π4，O(0，0)，则△ABO的形状是________________．解析：因为A2，π2，B2，3π4，所以∠BOA＝π4，又因为|OA|＝2，|OB|＝2，所以|AB|＝2，所以∠ABO为直角，所以△ABO为等腰直角三角形．答案：等腰直角三角形14．将曲线ρ2(1＋sin2θ)＝2化为直角坐标方程为_____________．解析：将ρ2＝x2＋y2，y＝ρsinθ代入ρ2＋ρ2sin2θ＝2中得x2＋y2＋y2＝2，即x22＋y2＝1.答案：x22＋y2＝115．已知圆的极坐标方程为ρ2＋2ρ(cosθ＋3sinθ)＝5，则此圆被直线θ＝0截得的弦长为________．解析：将极坐标方程化为直角坐标方程为(x＋1)2＋(y＋3)2＝9和y＝0，所以弦长＝2R2－d2＝2×9－3＝26.答案：2616．在极坐标系中，设曲线C1：ρ＝2sinθ与C2：ρ＝2cosθ的交点分别为A，B，则线段AB的垂直平分线的极坐标方程为________．解析：曲线C1：ρ＝2sinθ即ρ2＝2ρsinθ，化为直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，标准方程为x2＋(y－1)2＝1，圆心C1(0，1)；曲线C2：ρ＝2cosθ即ρ2＝2ρcosθ，化为直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，标准方程为(x－1)2＋y2＝1，圆心C2(1，0)；线段AB的垂直平分线即两圆心所在的直线C1C2，直角坐标方程为x＋y－1＝0，化为极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ＝1，即ρsinθ＋π4＝22.答案：ρsinθ＋π4＝22三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在极坐标系中，已知圆C经过点P2，π4，圆心为直线ρsinθ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．解：在ρsinθ－π3＝－32中，令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C的圆心坐标为(1，0)．因为圆C经过点P2，π4，所以圆C的半径[来源:学科网ZXXK]PC＝（2）2＋12－2×1×2cosπ4＝1，于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.18．(本小题满分12分)在极坐标系中，已知圆C的圆心坐标为C2，π3，半径R＝5，求圆C的极坐标方程．解：法一设P(ρ，θ)是圆上的任意一点，则PC＝R＝5.由余弦定理，得ρ2＋22－2×2×ρcosθ－π3＝5.化简，得ρ2－4ρcosθ－π3－1＝0，此即为所求的圆C的方程．法二将圆心C2，π3化成直角坐标为(1，3)，半径R＝5，故圆C的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝5.把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入化简，得ρ2－4ρcosθ－π3－1＝0，此即为所求的圆C的方程．19．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，已知点A(3，0)，P是圆x2＋y2＝1上的一个动点，且∠AOP的平分线交PA于点Q，求点Q的轨迹的极坐标方程．解：以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设P(1，2θ)，Q(ρ，θ)，则由S△OQA＋S△OQP＝S△OAP得12·3ρsinθ＋12ρsinθ＝12×3×1×sin2θ，化简得ρ＝32cosθ.所以Q点的轨迹的极坐标方程为ρ＝32cosθ.20．(本小题满分12分)已知曲线C1的极坐标方程为ρcosθ－π3＝－1，曲线C2的极坐标方程为ρ＝22cosθ－π4，判断两曲线的位置关系．解：将曲线C1，C2化为直角坐标方程，得C1：x＋3y＋2＝0，C2：x2＋y2－2x－2y＝0，即C2：(x－1)2＋(y－1)2＝2.圆心到直线的距离d＝|1＋3＋2|12＋（3）2＝3＋322，所以曲线C1与C2相离．21．(本小题满分12分)在极坐标系中，O为极点，点A2，π3关于极轴的对称点为B.(1)求点B的极坐标和直线AB的极坐标方程；(2)求△AOB外接圆的极坐标方程．解：(1)在极坐标系中，O为极点，点A2，π3关于极轴的对称点为B.则|OA|＝|OB|＝2，∠BOx＝5π3，故点B的极坐标为2，5π3＋2kπ，k∈Z.由于直线AB的直角坐标方程为x＝1，化为极坐标方程为ρcosθ＝1.(2)如图，△AOB外接圆的圆心C在极轴上，且CA＝CO，∠AOC＝π3.故△AOC为等边三角形，于是C(2，0)，半径r＝2，△AOB外接圆的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0.因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，ρ2＝x2＋y2，所以ρ2＝4ρcosθ，故ρ＝4cosθ为所求．22．(本小题满分12分)在极坐标系中，已知圆C的圆心C3，π6，半径为1，Q点在圆周上运动，O为极点．(1)求圆C的极坐标方程；(2)若P在直线OQ上运动，且满足|OQ||QP|＝23，求动点P的轨迹方程．解：如图所示，(1)设M(ρ，θ)为圆C上任意一点，在△OCM中，|CM|＝1，∠COM＝θ－π6，根据余弦定理得1＝ρ2＋9－2·ρ·3·cosθ－π6，化简整理得ρ2－6·ρ·cosθ－π6＋8＝0，即为所求圆C的极坐标方程．(2)设Q(ρ1，θ1)，则有ρ21－6·ρ1cosθ1－π6＋8＝0.①设P(ρ，θ)，则|OQ|∶|QP|＝ρ1∶(ρ－ρ1)＝2∶3或|OQ|∶|QP|＝ρ1∶(ρ1＋ρ)＝2∶3.当ρ1＝25ρ时，又θ1＝θ，即ρ1＝25ρ，θ1＝θ，代入①得425ρ2－6·25ρ·cosθ－π6＋8＝0，整理得ρ2－15ρcosθ－π6＋50＝0，即为所求P点的轨迹方程．[来源:学科网]当ρ1＝2ρ时，又θ1＝θ－π，同理可得ρ2＋3ρ·cosθ－π6＋2＝0.[来源:Zxxk.Com]所以点P的轨迹方程为ρ2－15ρcosθ－π6＋50＝0或ρ2＋3ρcosθ－π6＋2＝0.