人教版高中数学选修45练习第一讲11112基本不等式Word版含解析

第一讲不等式和绝对值不等式1.1不等式1.1.2基本不等式A级基础巩固一、选择题1．已知a，b∈R，且ab≠0，则下列结论恒成立的是()A．a＋b≥2abB.ab＋ba≥2C.ab＋ba≥2D．a2＋b2＞2ab解析：当a，b都是负数时，A不成立；当a，b一正一负时，B不成立；当a＝b时，D不成立，因此只有C是正确的．答案：C2．下列各式中，最小值等于2的是()A.xy＋yxB.x2＋5x2＋4C．tanθ＋1tanθD．2x＋2－x解析：因为2x＞0，2－x＞0，所以2x＋2－x≥22x2－x＝2.当且仅当2x＝2－x，即x＝0时，等号成立．答案：D3．设x，y∈R，且x＋y＝5，则3x＋3y的最小值是()A．10B．63C．46D．183解析：3x＋3y≥23x·3y＝23x＋y＝235＝183，当且仅当x＝y＝52时，等号成立．答案：D4．设x，y为正数，则(x＋y)1x＋4y的最小值为()A．6B．9C．12D．15解析：x，y为正数，(x＋y)1x＋4y＝1＋4＋yx＋4xy≥9，当且仅当yx＝4xy，即y＝2x时，等号成立，选B.答案：B5．(2015·福建卷)若直线xa＋yb＝1(a＞0，b＞0)过点(1，1)，则a＋b的最小值等于()A．2B．3C．4D．5解析：因为直线xa＋yb＝1过点(1，1)，所以1a＋1b＝1.又a，b均大于0，所以a＋b＝(a＋b)1a＋1b＝1＋1＋ba＋ab≥2＋2ba·ab＝2＋2＝4，当且仅当a＝b时，等号成立．答案：C二、填空题6．设x＞0，则函数y＝3－3x－1x的最大值是________．解析：y＝3－3x＋1x≤3－23，当且仅当3x＝1x，即x＝33时，等号成立．所以ymax＝3－23.答案：3－237．已知函数f(x)＝2x，点P(a，b)在函数y＝1x(x＞0)的图象上，那么f(a)·f(b)的最小值是________．解析：点P(a，b)在函数y＝1x(x＞0)的图象上，所以有ab＝1.因为a＞0，b＞0，所以f(a)·f(b)＝2a·2b＝2a＋b≥22ab＝4，当且仅当a＝b＝1时，等号成立．答案：48．当x＞0时，f(x)＝2xx2＋1的值域是________．解析：因为x＞0，所以x＋1x≥2，所以0＜1x＋1x≤12.所以0＜2x＋1x≤1.又因为f(x)＝2xx2＋1＝2x＋1x，所以0＜f(x)≤1，当且仅当x＝1时，等号成立．故f(x)的值域是(0，1]．答案：(0，1]三、解答题9．已知x＜0，求2x＋1x的最大值．解：由x＜0，得－x＞0，得－2x＋1－x≥2（－2x）1－x＝22，所以2x＋1x≤－22，当且仅当－2x＝1－x，即x＝－22时等号成立．故2x＋1x取得最大值－22.10．若a，b，c＞0，且a＋b＋c＝1，求证：8abc≤(1－a)·(1－b)(1－c)．证明：因为a＋b＋c＝1，所以1－a＝b＋c＞0，1－b＝a＋c＞0，1－c＝a＋b＞0.所以(1－a)(1－b)(1－c)＝(a＋b)(b＋c)(a＋c)．因为a＋b≥2ab＞0，b＋c≥2bc＞0，a＋c≥2ac＞0，三式相乘，得(a＋b)(b＋c)(a＋c)≥2ab·2bc·2ca＝8abc，当且仅当a＝b＝c＝13时，等号成立．所以8abc≤(1－a)(1－b)(1－c)．B级能力提升1．已知不等式(x＋y)1x＋ay≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为()A．2B．4C．6D．8解析：不等式(x＋y)1x＋ay≥9对任意正实数x，y恒成立，则1＋a＋yx＋axy≥a＋2a＋1≥9，所以a≥2或a≤－4(舍去)．所以正实数a的最小值为4.答案：B2．(2015·山东卷)定义运算“⊗”：x⊗y＝x2－y2xy(x，y∈R，xy≠0)，当x＞0，y＞0时，x⊗y＋(2y)⊗x的最小值为________．解析：因为x⊗y＝x2－y2xy，所以x⊗y＋(2y)⊗x＝x2－y2xy＋（2y）2－x22yx＝x2＋2y22xy≥2x2·2y22xy＝22xy2xy＝2.其中x＞0，y＞0，当且仅当x2＝2y2，即x＝2y时等号成立．答案：23．某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2016年法国欧洲杯期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销售量x万件与年促销费t万元之间满足3－x与t＋1成反比例的关系，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件．已知2016年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需要投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每个促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完．(1)若计划2016年生产的化妆品正好能销售完，试将2016年的利润y(万元)表示为促销费t(万元)的函数；(2)该企业2016年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？解：(1)由题意可设3－x＝kt＋1，将t＝0，x＝1代入，得k＝2.所以x＝3－2t＋1.当年生产x万件时，年生产成本为32x＋3＝32×3－2t＋1＋3，当销售x万件时，年销售收入为150%×32×3－2t＋1＋3＋12t.由题意，生产x万件化妆品正好销完，得年利润y＝－t2＋98t＋352（t＋1）(t≥0)．(2)y＝－t2＋98t＋352（t＋1）＝50－t＋12＋32t＋1≤50－2t＋12·32t＋1＝50－216＝42，当且仅当t＋12＝32t＋1，即t＝7时，等号成立，ymax＝42，所以当促销费定在7万元时，年利润最大．