人教版高中数学选修45练习第二讲21比较法Word版含解析

第二讲证明不等式的基本方法2.1比较法A级基础巩固一、选择题1．若a＜0，b＜0，则p＝b2a＋a2b与q＝a＋b的大小关系为()A．p＜qB．p≤qC．p＞qD．p≥q解析：因为p－q＝b2a＋a2b－a－b＝（b－a）2（b＋a）ab≤0，所以p≤q.答案：B2．已知a，b都是正数，P＝a＋b2，Q＝a＋b，则P，Q的大小关系是()A．P＞QB．P＜QC．P≥QD．P≤Q解析：因为a，b都是正数，所以P＞0，Q＞0.所以P2－Q2＝a＋b22－(a＋b)2＝－（a－b）22≤0.所以P2－Q2≤0.所以P≤Q.答案：D3．已知a，b，c均大于1，且logac·logbc＝4，则下列一定正确的是()A．ac≥bB．ab≥cC．bc≥aD．ab≤c解析：因为logac·logbc＝（lgc）2lga·lgb＝4，所以lg2c＝4lga·lgb≤(lga＋lgb)2＝(lgab)2.又c＞1，a＞1，b＞1，所以lgc≤lgab，即c≤ab.答案：B4．在等比数列{an}和等差数列{bn}中，a1＝b1＞0，a3＝b3＞0，a1≠a3，则a5与b5的大小关系为()A．a5＞b5B．a5＜b5C．a5＝b5D．不确定解析：由等比数列的性质知a5＝a23a1，由等差数列的性质知b5＝2b3－b1.又a1≠a3，故a5－b5＝a23a1－2b3＋b1＝a23－2a3a1＋a21a1＝（a3－a1）2a1＞0.因此，a5＞b5.答案：A5．已知a＞0且a≠1，P＝loga(a3＋1)，Q＝loga(a2＋1)，则P，Q的大小关系是()A．P＞QB．P＜QC．P＝QD．大小不确定解析：P－Q＝loga(a3＋1)－loga(a2＋1)＝logaa3＋1a2＋1.当0＜a＜1时，0＜a3＋1＜a2＋1，0＜a3＋1a2＋1＜1，所以logaa3＋1a2＋1＞0，即P－Q＞0，所以P＞Q.当a＞1时，a3＋1＞a2＋1＞0，a3＋1a2＋1＞1，所以logaa3＋1a2＋1＞0，即P－Q＞0，所以P＞Q.故应选A.答案：A二、填空题6．若－1＜a＜b＜0，则1a，1b，a2，b2中最小的是________．解析：依题意，有1a＞1b，a2＞b2，故只需比较1b与b2的大小．因为b2＞0，1b＜0，所以1b＜b2.所以1a，1b，a2，b2中最小的是1b.答案：1b7．设x＝a2b2＋5，y＝2ab－a2－4a，若x＞y，则实数a，b应满足的条件是________．解析：由x＞y得a2b2＋5－2ab＋a2＋4a＝(ab－1)2＋(a＋2)2＞0，故a＝－2，b＝－12不同时成立．答案：a＝－2，b＝－12不同时成立8．若0＜a＜b＜1，P＝log12a＋b2，Q＝12(log12a＋log12b)，M＝log12(a＋b)，则P，Q，M的大小关系是________．解析：因为0＜a＜b＜1，所以a＋b2＞ab，所以log12a＋b2＜log12ab＝12log12(ab)＝12(log12a＋log12b)，即P＜Q，又a＋b2＜a＋b，所以log12a＋b2＞log12(a＋b)，即P＞M，所以Q＞P＞M.答案：Q＞P＞M三、解答题9．已知a∈R，求证：3(1＋a2＋a4)≥(1＋a＋a2)2.证明：3(1＋a2＋a4)－(1＋a＋a2)2＝3(1＋a2＋a4)－(1＋a2＋a4＋2a＋2a3＋2a2)＝2－2a－2a3＋2a4＝2(1－a)2(1＋a＋a2)≥0，即3(1＋a2＋a4)≥(1＋a＋a2)2.10．已知a，b，c∈R＋，求证：aabbcc≥(abc)a＋b＋c3.证明：因为a，b，c是正数，不妨设a≥b≥c＞0，则aba－b3≥1，bcb－c3≥1，cac－a3≥1.因为aabbcc（abc）a＋b＋c3＝a2a－b－c3b2b－a－c3c2c－a－b3＝aba－b3bcb－c3·cac－a3≥1，所以aabbcc≥(abc)a＋b＋c3.B级能力提升1．已知a＞b＞0，c＞d＞0，m＝ac－bd，n＝（a－b）（c－d），则m与n的大小关系是()A．m＜nB．m＞nC．m≥nD．m≤n解析：因为a＞b＞0，c＞d＞0，所以ac＞bd＞0，ac＞bd，所以m＞0，n＞0.又因为m2＝ac＋bd－2abcd，n2＝ac＋bd－(ad＋bc)，又由ad＋bc＞2abcd，所以－2abcd＞－ad－bc，所以m2＞n2，所以m＞n.答案：B2．已知a＞0，对于大于1的自然数n，总有n－1an＜nan＋1，则a的取值范围是________．解析：因为0＜ann－1＜an＋1n，且nn－1＞n＋1n，所以0＜a＜1.答案：(0，1)3．(1)设x≥1，y≥1，证明x＋y＋1xy≤1x＋1y＋xy；(2)设1＜a≤b≤c，证明logab＋logbc＋logca≤logba＋logcb＋logac.证明：(1)由于x≥1，y≥1，所以x＋y＋1xy≤1x＋1y＋xy⇔xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.将上式中的右式减左式，得y＋x＋(xy)2]－xy(x＋y)＋1]＝(xy)2－1]－xy(x＋y)－(x＋y)]＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)·(xy－1)＝(xy－1)(xy－x－y＋1)＝(xy－1)(x－1)(y－1)．既然x≥1，y≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0.从而所要证明的不等式成立．(2)设logab＝x，logbc＝y，由换底公式得logca＝1xy，logba＝1x，logab＝1y，logac＝xy.于是，所要证明的不等式即为x＋y＋1xy≤1x＋1y＋xy，其中x＝logab≥1，y＝logbc≥1.故由(1)成立知所要证明的不等式成立．