任意角的三角函数5课时

第一课时：1.2.1任意角的三角函数（一）教学要求：掌握任意角的三角函数的定义；已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值.教学重点：熟练求值.教学难点：理解定义.教学过程：一、复习准备：1.用弧度制写出终边在下列位置的角的集合：坐标轴上；第二、四象限2.锐角的三角函数如何定义？3.讨论：以上定义适应任意角的三角函数吗？如何定义？二、讲授新课：1.教学任意角的三角函数的定义：①讨论：锐角α的终边交单位圆于点P(x,y)的坐标与α三角函数有何关系？→推广：任意角②定义：设α是一个任意大小的角，角α的终边与单位圆交于点P(x,y),则sinα＝y，cosα＝x，tanα＝yx.②讨论：与点P的位置是否有关？α与2kπ＋α的三角函数值有何关系？当α的终边落在x轴、y轴上时，哪些三角函数值无意义？任何实数是不是有三角函数值？三个三角函数的定义域情况是怎样的？2.教学例题：①出示例1：求下列各角的正弦、余弦、正切值3π、－2π、32、－72讨论求法→试求（学生板演）→订正→小结：画终边与单位圆，求交点，求值.②思考：已知角终边上任一点P(x,y)，如何求它的三角函数值呢?结论：先求22rxy；再按公式sinyr、cosxr、tanyx.③出示例2：已知角α的终边过点P(-2,-4)，求α的正弦、余弦和正切值.（学生试求→订正→小结解法：先求r，再按定义求.）④讨论：正弦、余弦、正切值在各个象限的符号情况？⑤讨论：终边相同的角同一三角函数的值有何关系？结论：sin(2)sink，cos(2)cosk，tan(2)tank，其中kZ．作用：把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函数值问题.⑥练习：求下列各角的正弦、余弦和正切值：73、－94.3.小结：单位圆定义任意角的三角函数；由终边上任一点求任意角的三角函数；各象限的符号情况；诱导公式（一）.三、巩固练习：1.已知角α的终边在直线y＝2x上，求α的正弦、余弦和正切值.2.口答下列各特殊角的正弦、余弦、正切值：0°、90°、180°、270°、360°.3.已知点(3,4)Paa(0)a，在角α的终边上，求sin、cos、tan的值4.作业：书P171、2、3题.第二课时：1.2.1任意角的三角函数（二）教学要求：掌握三角函数的符号，灵活运用诱导公式（一），把求任意角的三角函数值转化为求0°～360°间的三角函数值.教学重点：灵活运用诱导公式.教学难点：理解转化.教学过程：一、复习准备：1.提问：三个三角函数的定义、定义域及在各个象限的符号情况怎样？（填表形式）2.在0～2π或0°～360°间求出与下列终边相同的角：750°、174、－116、－1020°二、讲授新课：1.教学三角函数值的符号：①讨论：各个象限的符号情况？②出示例：判别下列各三角函数值的符号，然后用计算器验证.sin250°、cos（－4）、tan(－666°36’)、tan113、sin174、cos1020°（分析：如何用诱导公式（1）转化到0°～360°？→试练→订正）③出示例：根据下列已知，判别θ所在象限：sinθ0且tanθ0、tanθ×cosθ0（口答→分析思路）2.教学诱导公式的运用：①讨论：根据三角函数的定义，θ与2kπ＋θ的三个三角函数情况怎样？②提出：诱导公式一（三个）分析作用：求任意角的三角函数转化到0～2π间求值.③出示例：求下列各角的三角函数的值（正弦、余弦、正切）.750°、174、－116、－1020°（教师示例750°→学生试求其它三个→订正）④练习：函数costancostanxxyxx的值域.解法：分象限讨论，去绝对值.变式：求sincos|tan|sincostanxxxyxxx的值域.3.小结：三角函数的符号及诱导公式的运用；利用诱导公式一,可以把求任意角的三角函数值,转化为0°～360°而求，或用计算器求.三、巩固练习：1.已知θ∈（52,3π），求：39tanlog4＋tantan1421的值.2.解方程：|sinx|＝－sinx（思路：根据各象限的符号，分情况讨论）3.作业：教材P175、7题.第三课时：用单位圆中的线段表示三角函数值教学要求：理解正弦线、余弦线、正切线的概念，掌握作已知角α的正弦线、余弦线和正切线.教学重点：掌握作已知角α的正弦线、余弦线、正切线.教学难点：理解正弦线、余弦线、正切线的概念.教学过程：一、复习准备：1.什么叫单位圆？（以原点为圆心，单位长为半径作的圆）2.三个三角函数是怎样定义的？二、讲授新课：1.教学三角函数线概念：①定义有向线段：直线规定方向→轴；线段规定方向→有向线段；②讨论有向线段表示：与轴正向同为正，否则为负.③练习：如图，AB＝BA＝OC＝CD＝DC＝④画出下列角度与单位圆的交点P，并作x轴的垂线PM，写出PM、OM的值，并与正弦、余弦值比较：120°、240°⑤定义正余弦线：设角α的终边与单位圆交点P(x，y),过P作x轴的垂线，垂足为M，则有向线段MP为正弦线，OM为余弦线.⑥练习：画出各象限终边角的正弦线、余弦线，并分析符号.⑦定义正切线：过点A(1,0)作单位圆的切线，与终边或延长线交于T，则有向线段AT叫角α的正切线.⑧练习：画出各象限终边角的正切线，并分析符号.2.讨论问题：①讨论一：三角函数线为什么可以表示三角函数值？先单位圆中计算得sinα=y，cosα＝x；比较MP的长度与|y|、OM的长度与|x|；比较MP的符号与y的符号，OM的符号与x的符号；所以sinα＝y＝MP，cosα＝x＝OM，tanα＝yx＝MPOM=ATOA＝AT（由三角形相似得）②讨论二：α终边在坐标轴上时的正弦线、余弦线、正切线的情况？3.教学例题：①出示例：已知42，试比较,tan,sin,cos的大小.（分析：如何通过三角函数线比较？→小结：利用三角函数线比大小→变式：04）②练习：利用三角函数线比较下列各组数的大小：2sin3与4sin5；2tan3与4tan5.4.小结：三角函数线概念与作法；三角函数线的运用.三、巩固练习：1.作4、53、－40°的正弦线、余弦线、正切线.2.利用单位圆写出符合下列条件的角x的范围：sinx=12；tanx33；1cos2x3.作业：教材P19第2题.第四课时1.2.2同角三角函数的基本关系（一）教学要求：掌握同角三角函数的三个基本关系式，掌握已知一个角的某一个三角函数值，求这个角的其他三角函数值.DyCABx教学重点：运用关系式.教学难点：理解同角三角函数关系式.教学过程：一、复习准备：1.提问：任意角的三个三角函数是怎样定义的？2.提问：初中研究锐角的三个三角函数，它们有怎样的关系式？二、讲授新课：1.教学同角三角函数的三个基本关系式：①讨论：从三个三角函数的定义，你能发现哪些三角函数有平方关系？哪些三角函数与其他三角函数有商数关系？②结论：平方关系22sincos1；商数关系sintancos.③讨论：利用三角函数线的定义,如何推导同角三角函数的基本关系？④讨论几个问题：A.上述两个关系式，在一些什么情况下成立？B.“sin2α＋cos2β＝1”对吗？C.同角三角函数关系式可以解决哪些问题？（求值：已知一个角的三角函数值，求这个角的其他三角函数的值；化简；证明）2.教学例题：①出示例1：已知cosα＝－35，并且它是第三象限的角，求sinα，tanα的值.思考：由已知可以根据哪些关系式分别求其它三角函数值？注意什么问题？解答→订正→小结：关系式的运用；注意符号问题；再思考：假如没有已知所在象限，结果将怎样？假如是填空选择，有何捷径求解？②练习：已知sinα＝513，求cosα，tanα的值.小结：注意符号（象限确定）；同角三基本式的运用（分析联系）；知一求二.3.练习：①若tanα=m，322，求sinα.②化简cosθtanθ.（化简方法：切化弦）③化简下列各式：21cos11004.小结：①给值求值：已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值.②化简的要求（化简后的式子，三角函数的种类最少；分母不含根式；项数最少；能求出值的求出值）三、巩固练习：1.已知β的一个三角函数值，求其它三角函数值：cosβ＝13；tanβ＝－42.已知tanα＝m（m≠0），求sinα，cosα的值.（分象限讨论）3.作业：教材P23练习1、2、4题.第五课时：1.2.2同角三角函数的基本关系（2）教学要求：能熟练运用同角三角函数的三个基本关系式，掌握已知一个角的某一个三角函数值，求这个角的其它三角函数值；能利用关系式化简三角函数式.能够利用三角函数的基本关系式证明有关的三角恒等式.教学重点：运用公式.教学难点：合理选用关系式.教学过程：一、复习准备：1.根据下列条件，求角α的其它三角函数值.：sinα＝－45,α在第四象限；tanα＝22.提问：同一个角的三个三角函数有哪些基本关系式？二、讲授新课：1.教学例题：①出示例1：用多种方法证明：1sincosxx＝cos1sinxx学生讨论证法，逐一补充完整证法一：1sincosxx＝(1sin)coscoscosxxxx＝…证法二：1sincosxx＝(1sin)(1sin)cos(1sin)xxxx＝…证法三、四：从右边开始，……证法五：(1+sinx)(1-sinx)＝…②小结方法：由其它等式而转化（先证交叉乘积相等）；或证和（差），或证商→比较法；直接证明左边等于右边.③练习：求证：sin2xtan2x=tan2x－sin2x.④出示例2：已知tanα＝－33，求α的其它三角函数的值；求sincossincos的值.分析：如何运用同角三角函数基本关系式求解？变式：如何直接求第2问？（弦化切）训练：sincos（技巧：切用分母1）2.练习：①已知sin=2sinβ，tan=3tanβ，求2cos的值.②已知4sin+4cos=1，求sinα+cosα的值.3.小结：注意象限定符号和联系关系式.灵活运用公式，注意平方关系，切化弦；化繁为简.三、巩固练习：1.已知α是第二象限角，且tan(2π+α)=12,求cosα和sinα的值.2.已知sin=624，求cos和tan的值.3.已知tanα=2，求下列各式的值：2cos2sin2cos2sin；223sin4sincoscos.4.作业：教材P2411、12、13题.