北京市东城区20182019学年高二上学期期末检测数学试题解析版

北京市东城区2018-2019学年高二上学期期末检测数学试题（解析版）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知复数𝑧=(1+𝑥)+𝑖(𝑖为虚数单位，𝑥∈𝑅)在复平面内对应的点在第二象限，那么x的取值范围是()A.𝑥−1B.−1𝑥0C.𝑥0D.0𝑥1【答案】A【解析】解：复数𝑧=(1+𝑥)+𝑖(𝑖为虚数单位，𝑥∈𝑅)在复平面内对应的点在第二象限，则1+𝑥0，解得𝑥−1．那么x的取值范围是𝑥−1．故选：A．利用复数的几何意义、不等式的解法即可得出．本题考查了复数的运算法则及其几何意义、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.已知𝑎0，𝑏0，那么下列不等式中一定成立的是()A.𝑏−𝑎0B.|𝑎||𝑏|C.𝑎2𝑎𝑏D.1𝑎1𝑏【答案】D【解析】解：若𝑎0，𝑏0，则−𝑎0，则𝑏−𝑎0，故A错误，|𝑎||𝑏|不一定成立，𝑎2𝑎𝑏，则C不成立，1𝑎0，1𝑏0，则1𝑎1𝑏，成立，故D正确，故选：D．根据a，b飞符号和范围，结合不等式的关系进行判断即可．本题主要考查不等式性质的应用，根据不等式的关系是解决本题的关键.比较基础．3.已知等差数列{𝑎𝑛}的前15项和𝑆15=45，那么𝑎4+𝑎12等于()A.6B.10C.12D.15【答案】A【解析】解：∵等差数列{𝑎𝑛}的前15项和𝑆15=45，∴𝑆15=152(𝑎1+𝑎15)=152(𝑎4+𝑎12)=45，解得𝑎4+𝑎12=6．故选：A．推导出𝑆15=152(𝑎1+𝑎15)=152(𝑎4+𝑎12)=45，由此能求出𝑎4+𝑎12的值．本题考查等差数列中两项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.i是虚数单位，复数2𝑖1−𝑖等于()A.−1−𝑖B.−1+𝑖C.1−𝑖D.1+𝑖【答案】B【解析】解：2𝑖1−𝑖=2𝑖(1+𝑖)(1−𝑖)(1+𝑖)=−2+2𝑖2=−1+𝑖．故选：B．直接利用复数的除法运算进行化简计算．本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，是基础题．5.已知椭圆𝑥2𝑘+𝑦2=1的一个焦点是(2,0)，那么实数𝑘=()A.√3B.√5C.3D.5【答案】D【解析】解：因为椭圆𝑥2𝑘+𝑦2=1的一个焦点是(2,0)，所以𝑘1，所以𝑘−1=4，𝑘=5．故选：D．通过椭圆的焦点，确定𝑘1，利用a，b，c的关系，求出k的值即可．本题考查椭圆的标准方程及简单性质，属于基础题．6.已知𝑆𝑛为数列{𝑎𝑛}的前n项和，𝑎1=−2，𝑎𝑛+1=𝑆𝑛，那么𝑎5=()A.−4B.−8C.−16D.−32【答案】C【解析】解：𝑛≥2时，𝑎𝑛+1=𝑆𝑛，𝑎𝑛=𝑆𝑛−1，可得：𝑎𝑛+1−𝑎𝑛=𝑎𝑛，化为𝑎𝑛+1=2𝑎𝑛．𝑛=1时，𝑎2=𝑎1=−2．∴数列{𝑎𝑛}从第二项起为等比数列，公比为2，首项为−2．那么𝑎5=−2×23=−16．故选：C．利用数列递推关系、等比数列的通项公式即可得出．本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.“直线𝑙//平面𝛼”是“直线在平面𝛼外”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：“直线l与平面𝛼平行”⇒“直线l在平面𝛼外”“直线l在平面𝛼外”则直线l与平面𝛼平行或相交，故“直线l在平面𝛼外”不能推出“直线l与平面𝛼平行”故“直线l与平面𝛼平行”是“直线l在平面𝛼外”的充分非必要条件故选：A．根据直线l在平面𝛼外则直线l与平面𝛼平行或相交可判定“直线l与平面𝛼平行”与“直线l在平面𝛼外”的关系．本题主要考查了线面的位置关系，以及充要条件的判定，同时考查了分析问题的能力，属于基础题．8.已知𝑣⃗⃗为直线l的方向向量，𝑛1⃗⃗⃗⃗，𝑛2⃗⃗⃗⃗分别为平面𝛼，𝛽的法向量(𝛼,𝛽不重合)那么下列说法中：①𝑛1⃗⃗⃗⃗//𝑛2⃗⃗⃗⃗⇔𝛼//𝛽；②𝑛1⃗⃗⃗⃗⊥𝑛2⃗⃗⃗⃗⇔𝛼⊥𝛽；③𝑣⃗⃗//𝑛1⃗⃗⃗⃗⇔𝑙//𝛼；④𝑣⃗⃗⊥𝑛1⃗⃗⃗⃗⇔𝑙⊥𝛼.正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B【解析】解：∵平面𝛼，𝛽不重合；∴平面𝛼，𝛽的法向量平行(垂直)等价于平面𝛼，𝛽平行(垂直)；∴①②正确；直线l的方向向量平行(垂直)于平面𝛼的法向量等价于直线l垂直(平行)于平面𝛼；∴③④都错误．故选：B．可以想象图形即可判断每个说法的正误．考查平面法向量的概念，直线方向向量的概念．9.三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1的侧棱与底面垂直，𝐴𝐴1=𝐴𝐵=𝐴𝐶=1，𝐴𝐵⊥𝐴𝐶，N是BC的中点，点P在𝐴1𝐵1上，且满足𝐴1𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝜆𝐴1𝐵1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，当直线PN与平面ABC所成的角取最大值时，𝜆的值为()A.12B.√22C.√32D.2√55【答案】A【解析】解：如图，以AB，AC，𝐴𝐴1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系𝐴−𝑥𝑦𝑧，则𝑃(𝜆,0，1)，𝑃𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(12−𝜆,12,−1)，平面ABC的一个法向量为𝑛⃗⃗=(0,0，1)∴sin𝜃=|𝑃𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑛⃗⃗||𝑃𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗|⋅|𝑛⃗⃗|=1√(𝜆−12)2+54，∴当𝜆=12时，(sin𝜃)𝑚𝑎𝑥=2√55，此时角𝜃最大为arcsin2√55．故选：A．建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式，求出直线PN与平面ABC所成的角，即可求得结论．本题考查使线面角的最大值的实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．10.已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推那么该数列的前50项和为()A.1044B.1024C.1045D.1025【答案】A【解析】解：将已知数列分组，使每组第一项均为1，即：第一组：20，第二组：20，21，第三组：20，21，22，…第k组：20，21，22，…，2𝑘−1，根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：21−1，22−1，23−1，…，2𝑘−1，每项含有的项数为：1，2，3，…，k，总共的项数为𝑁=1+2+3+⋯+𝑘=(1+𝑘)𝑘2，当𝑘=9时，(1+𝑘)𝑘2=45，故该数列的前50项和为𝑆50=21−1+22−1+23−1+⋯+29−1+1+2+4+8+16=2(1−29)1−2−9+31=1044．故选：A．将已知数列分组，使每组第一项均为1，第一组：20，第二组：20，21，第三组：20，21，22，…第k组：20，21，22，…，2𝑘−1，根据等比数列前n项和公式，能求出该数列的前50项和．本题考查类比推理，考查等比数列、分组求和等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、归纳总结能力，属于中档题．二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.命题∀𝑥∈𝑅，𝑥2−𝑥+30的否定是______．【答案】∃𝑥∈𝑅，𝑥2−𝑥+3≤0【解析】解：原命题为：∀𝑥∈𝑅，𝑥2−𝑥+30∵原命题为全称命题∴其否定为存在性命题，且不等号须改变∴原命题的否定为：∃𝑥∈𝑅，𝑥2−𝑥+3≤0故答案为：∃𝑥∈𝑅，𝑥2−𝑥+3≤0根据全称命题的否定要改成存在性命题的原则，可写出原命题的否定本题考查命题的否定的写法，常见的命题的三种形式写否定：(1)“若A，则B”的否定为“若￢𝐴，则￢𝐵”；(2)全称命题的否定为存在性命题，存在性命题的否定为全称命题；(3)切命题的否定为或命题，或命题的否定为切命题.本题考查第二种形式，属简单题12.当且仅当𝑥=______时，函数𝑦=4𝑥+1𝑥(𝑥0)取得最小值．【答案】12【解析】解：由于𝑥0，由基本不等式可得𝑦=4𝑥+1𝑥≥2√4𝑥⋅1𝑥=4，当且仅当4𝑥=1𝑥(𝑥0)，即当𝑥=12时，等号成立．故答案为：12．利用基本不等式时，等号成立，即4𝑥=1𝑥(𝑥0)时，得出x的值．本题考查基本不等式的应用，使用基本不等式注意三个条件“一正、二定、三相等”，考查计算能力，属于基础题．13.已知抛物线C的顶点在原点，准线方程为𝑦=−2，则抛物线C的标准方程为______．【答案】𝑥2=8𝑦【解析】解：由题意可设抛物线C的方程为𝑥2=2𝑝𝑦，(𝑝0)，∵准线方程为𝑦=−2，∴−𝑝2=−2，解得𝑝=4．∴抛物线C的标准方程为𝑥2=8𝑦．故答案为：𝑥2=8𝑦．由题意可设抛物线C的方程为𝑥2=2𝑝𝑦，(𝑝0)，由已知准线方程为𝑦=−2可解得p，则抛物线方程可求．本题考查抛物线标准方程的求法，是基础的计算题．14.不等式𝑥−1𝑥−3≤0的解集为______．【答案】[1,3)【解析】解：不等式等价为{𝑥−3≠0(𝑥−1)(𝑥−3)≤0，即{𝑥≠31≤𝑥≤3，即1≤𝑥3，则不等式的解集为[1,3)，故答案为：[1,3)．将分式不等式转化为一元二次不等式，进行求解即可．本题主要考查分式不等式的求解，利用转化转化为一元二次不等式是解决本题的关键．15.已知𝐹1，𝐹2是椭圆的两个焦点，过𝐹1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△𝐴𝐵𝐹2是等边三角形，则这个椭圆的离心率是______．【答案】√33【解析】解：∵△𝐴𝐵𝐹2是正三角形，∴∠𝐴𝐹2𝐵=60∘，∵直线AB与椭圆长轴垂直，∴𝐹2𝐹1是正三角形△𝐴𝐵𝐹2的高，∠𝐴𝐹2𝐹1=12×60∘=30∘，𝑅𝑡△𝐴𝐹2𝐹1中，设|𝐴𝐹1|=𝑚，sin30∘=|𝐴𝐹1||𝐴𝐹2|=12，∴|𝐴𝐹2|=2𝑚，|𝐹1𝐹2|=√|𝐴𝐹2|2−|𝐴𝐹1|2=√3𝑚因此，椭圆的长轴2𝑎=|𝐴𝐹1|+|𝐴𝐹2|=3𝑚，焦距2𝑐=√3𝑚∴椭圆的离心率为𝑒=𝑐𝑎=2𝑐2𝑎=√33．故答案为：√33根据△𝐴𝐵𝐹2是正三角形，且直线AB与椭圆长轴垂直，得到𝐹2𝐹1是正三角形△𝐴𝐵𝐹2的高，∠𝐴𝐹2𝐹1=30∘.在𝑅𝑡△𝐴𝐹2𝐹1中，设|𝐴𝐹1|=𝑚，可得|𝐴𝐹1||𝐴𝐹2|=12，所以|𝐴𝐹2|=2𝑚，用勾股定理算出|𝐹1𝐹2|=√3𝑚，得到椭圆的长轴2𝑎=|𝐴𝐹1|+|𝐴𝐹2|=3𝑚，焦距2𝑐=√3𝑚，所以椭圆的离心率为𝑒=2𝑐2𝑎=√33．本题给出椭圆过焦点垂直于长轴的弦和另一焦点构成直角三角形，求椭圆的离心率.着重考查了椭圆的基本概念和简单几何性质，属于基础题．16.如图所示，四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝑃𝐷⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，𝑃𝐷=2，E是棱PB的中点，M是棱PC上的动点，当直线PA与直线EM所成的角为60∘时，那么线段PM的长度是______．【答案】√344【解析】解：如图建立空间直角坐标系，则𝐴(2,0，0)，𝑃(0,0，2)，𝐵(2,2，0)，∴𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=(−2,0,2)，∵𝐸是棱PB的中点，∴𝐸(1,1，1)，设𝑀(0,m，𝑚)，则𝐸𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−1,𝑚−1,𝑚−1)，|cos𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗,𝐸𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐸𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗|𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗||𝐸𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗||=|2+2(𝑚−1)|2√2√1+2(𝑚−1)2=12，