北京市西城区2015届高三上学期期末练习数学文试题含答案

培优网：报名电话：82618899北京市西城区2014—2015学年度第一学期期末试卷高三数学（文科）2015.1第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合1,0,1,2{}A，2{|}Bxxx，则集合ABI（）（A）{1,0,1}（B）{1,2}（C）{0,1,2}（D）{1,1,2}3．在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若2ab，3sin4B，则（）（A）3A（B）6A（C）3sin3A（D）2sin3A4．执行如图所示的程序框图，输出的x值为（）（A）4（B）5（C）6（D）72．设命题p：2log0,2xxx，则p为（）（A）2log0,2xxx（B）2log0,2xxx≤（C）2log0,2xxx（D）2log0,2xxx≥a=2，x=3开始xyax=x+1103yx输出x结束否是培优网：报名电话：826188995．设函数()yfx的定义域为R，则“(0)0f”是“函数()fx为奇函数”的（）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件6.某天，甲要去银行办理储蓄业务，已知银行的营业时间为9：00至17：00，设甲在当天13：00至18：00之间任何时间去银行的可能性相同，那么甲去银行恰好能办理业务的概率是（）（A）13（B）34（C）58（D）458.如图，在空间四边形ABCD中，两条对角线,ACBD互相垂直，且长度分别为4和6，平行于这两条对角线的平面与边,,,ABBCCDDA分别相交于点,,,EFGH，记四边形EFGH的面积为y，设BExAB=，则（）（A）函数()yfx=的值域为(0,4]（B）函数()yfx=的最大值为8（C）函数()yfx=在2(0,)3上单调递减（D）函数()yfx=满足()(1)fxfx=-7．设抛物线2:4Wyx=的焦点为F，过F的直线与W相交于A，B两点，记点F到直线l：1x=-的距离为d，则有（）（A）2||dAB≥（B）2||dAB=（C）2||dAB≤（D）2||dABABECDGHF培优网：报名电话：82618899第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9.复数i1iz，则||z______.10．设平面向量,ab满足||3a，||2b，3ab，那么,ab的夹角____.11．一个四棱锥的三视图如图所示，那么这个四棱锥最长棱的棱长为_____.12．设12,FF为双曲线C：22221(0,0)xyabab的左、右焦点，且直线2yx为双曲线C的一条渐近线，点P为C上一点，如果12||||4PFPF，那么双曲线C的方程为____；离心率为_____.13.某小学教师准备购买一些签字笔和铅笔盒作为奖品，已知签字笔每支5元，铅笔盒每个6元，花费总额不能超过50元.为了便于学生选择，购买签字笔和铅笔盒的个数均不能少于3个，那么该教师有_______种不同的购买奖品方案.14.设函数3||,1,()log,1.xaxfxxx≤（1）如果(1)3f，那么实数a___；（2）如果函数()2yfx有且仅有两个零点，那么实数a的取值范围是___.侧(左)视图正(主)视图俯视图2211111培优网：报名电话：82618899三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知函数2π()12sin()4fxx，x∈R.（Ⅰ）求函数()fx的最小正周期；（Ⅱ）判断函数()fx在区间ππ[,]66上是否为增函数？并说明理由.16．（本小题满分13分）已知数列{}na满足25a，且其前n项和2nSpnn．（Ⅰ）求p的值和数列{}na的通项公式；（Ⅱ）设数列{}nb为等比数列，公比为p，且其前n项和nT满足55TS，求1b的取值范围．17．（本小题满分14分）如图，在四棱柱1111DCBAABCD中，AA1底面ABCD，90BADo，BCAD//，且122AAADBC，1AB.点E在棱AB上，平面1AEC与棱11CD相交于点F.（Ⅰ）求证：1AF∥平面1BCE；（Ⅱ）求证：AC平面11CDDC；（Ⅲ）写出三棱锥11BAEF体积的取值范围.（结论不要求证明）18．（本小题满分13分）最近，张师傅和李师傅要将家中闲置资金进行投资理财.现有两种投资方案，且一年后投资盈亏的情况如下：BCA1D1DAB1C1EF培优网：报名电话：82618899（1）投资股市：投资结果获利不赔不赚亏损概率121838（2）购买基金：投资结果获利不赔不赚亏损概率p13q（Ⅰ）当12p=时，求q的值；（Ⅱ）已知“购买基金”亏损的概率比“投资股市”亏损的概率小，求p的取值范围；（Ⅲ）已知张师傅和李师傅两人都选择了“购买基金”来进行投资，假设三种投资结果出现的可能性相同，求一年后他们两人中至少有一人获利的概率．19．（本小题满分14分）已知椭圆C：2211612xy的右焦点为F，右顶点为A，离心率为e，点(,0)(4)Pmm满足条件||||FAeAP.（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）设过点F的直线l与椭圆C相交于M，N两点，记PMF和PNF的面积分别为1S，2S，若122SS,求直线l的方程.20．（本小题满分13分）对于函数(),()fxgx，如果它们的图象有公共点P，且在点P处的切线相同，则称函数()fx和()gx在点P处相切，称点P为这两个函数的切点.设函数2()(0)fxaxbxa,()lngxx.（Ⅰ）当1a,0b时,判断函数()fx和()gx是否相切？并说明理由；（Ⅱ）已知ab，0a，且函数()fx和()gx相切，求切点P的坐标；（Ⅲ）设0a，点P的坐标为1(,1)e，问是否存在符合条件的函数()fx和()gx，使得它们在点P处相切？若点P的坐标为2(e,2)呢？（结论不要求证明）培优网：报名电话：82618899北京市西城区2014—2015学年度第一学期期末高三数学（文科）参考答案及评分标准2015.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B2．B3．A4．C5．B6．D7．A8．D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．2210．2π311.2212．221416xy513．914．2或4(1,3]注：第12，14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.其他正确解答过程，请参照评分标准给分.15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为2π()12sin()4fxxπcos2()4x………………3分sin2x，………………5分所以函数()fx的最小正周期2ππ2T.………………7分（Ⅱ）解：结论：函数()fx在区间ππ[,]66上是增函数.………………9分理由如下：由ππ2π22π22kxk≤≤，解得ππππ44kxk≤≤，培优网：报名电话：82618899所以函数()fx的单调递增区间为ππ[π,π]44kk，()kZ.………………12分当0k时，知)(xf在区间ππ[,]44上单调递增，所以函数()fx在区间ππ[,]66上是增函数.………………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由题意，得11Sp，242Sp，因为25a，212Saa，所以24215Spp，解得2p.………………3分所以22nSnn．当2n≥时，由1nnnaSS，………………5分得22(2)[2(1)(1)]43nannnnn.………………7分验证知1n时，1a符合上式，所以43nan，*nN.………………8分（Ⅱ）解：由（Ⅰ），得11(12)(21)12nnnbTb.………………10分因为55TS，所以521(21)255b，解得14531b．………………12分又因为10b，所以1b的取值范围是45(,0)(0,)31U．………………13分培优网：报名电话：8261889917．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为1111DCBAABCD是棱柱，所以平面ABCD∥平面1111ABCD.又因为平面ABCDI平面1AECFEC，平面1111ABCDI平面11AECFAF，所以1AF∥CE.…………………3分又1AF平面1BCE，CE平面1BCE，所以1AF∥平面1BCE.…………………6分（Ⅱ）证明：在四边形ABCD中，因为90BADo，BCAD//,且BCAD2，2AD，1AB，所以222112AC，222112CD.所以222ACCDAD，所以90ACDo，即ACCD.…………………7分因为1AA平面ABCDAC，平面ABCD，所以1AAAC.因为在四棱柱1111DCBAABCD中，11//AACC，所以1CCAC.…………………9分又因为1,CDCC平面11CDDC，1CDCCCI，所以AC平面11CDDC.…………………11分（Ⅲ）解：三棱锥11BAEF的体积的取值范围是12[,]33.…………………14分BCA1D1DAB1C1EF培优网：报名电话：8261889918．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”、“不赔不赚”、“亏损”三种且三种投资结果相互独立，所以p+13+q=1.………………2分又因为12p=，所以q=61．………………3分（Ⅱ）解：由“购买基金”亏损的概率比“投资股市”亏损的概率小，得38q，………………4分因为p+13+q=1，所以2338qp=-，解得724p.………………7分又因为113pq++=，0q≥，所以23p≤.所以72243p≤.………………8分（Ⅲ）解：记事件A为“一年后张师傅和李师傅两人中至少有一人获利”，…………9分用a，b，c分别表示一年后张师傅购买基金“获利”、“不赔不赚”、“亏损”，用x，y，z分别表示一年后李师傅购买基金“获利”、“不赔不赚”、“亏损”，则一年后张师傅和李师傅购买基金，所有可能的投资结果有339种，它们是：(,)ax，(,)ay，(,)az，(,)bx，(,)by，(,)bz，(,)cx，(,)cy，(,)cz，……………10分所以事件A的结果有5种，它们是：(,)ax，(,)ay，(,)az，(,)bx，(,)cx.……………11分因此这一年后张师傅和李师傅两人中至少有一人获利的概率5()9PA.…………13分培优网：报名电话：8261889919．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：因为椭圆C的方程为2211612xy，所以4a,23b,222cab,………………2分则12cea，||2FA，||4APm.………………3分因为||21||42FAAPm，所以8m.………………5分（Ⅱ）解：若直线l的斜率不存在，则有21SS，不合题意.………………6分若直线l的斜率存在，设直线l的方程为)2(xky，),(11yxM，),(22yxN.由),2(,1121622xkyyx得2222(43)1616480kxkxk，………………7分可知0恒成立，且34162221kkxx，3448162221kkxx.………………8分因为PMF和PNF的面积分别为111