含绝对值的不等式解法典型例题

含绝对值的不等式解法·典型例题能力素质例1不等式|8－3x|＞0的解集是[]ABRC{x|x}D{83}．．．≠．83分析∵－＞，∴－≠，即≠．|83x|083x0x83答选C．例2绝对值大于2且不大于5的最小整数是[]A．3B．2C．－2D．－5分析列出不等式．解根据题意得2＜|x|≤5．从而－5≤x＜－2或2＜x≤5，其中最小整数为－5，答选D．例3不等式4＜|1－3x|≤7的解集为________．分析利用所学知识对不等式实施同解变形．解原不等式可化为4＜|3x－1|≤7，即4＜3x－1≤7或－7≤－＜－解之得＜≤或－≤＜－，即所求不等式解集为－≤＜－或＜≤．3x14x2x1{x|2x1x}53835383例4已知集合A＝{x|2＜|6－2x|＜5，x∈N}，求A．分析转化为解绝对值不等式．解∵2＜|6－2x|＜5可化为2＜|2x－6|＜5即－＜－＜，－＞或－＜－，52x652x622x62即＜＜，＞或＜，12x112x82x4解之得＜＜或＜＜．4xx211212因为x∈N，所以A＝{0，1，5}．说明：注意元素的限制条件．例5实数a，b满足ab＜0，那么[]A．|a－b|＜|a|＋|b|B．|a＋b|＞|a－b|C．|a＋b|＜|a－b|D．|a－b|＜||a|＋|b||分析根据符号法则及绝对值的意义．解∵a、b异号，∴|a＋b|＜|a－b|．答选C．例6设不等式|x－a|＜b的解集为{x|－1＜x＜2}，则a，b的值为[]A．a＝1，b＝3B．a＝－1，b＝3C．a＝－1，b＝－3Dab．＝，＝1232分析解不等式后比较区间的端点．解由题意知，b＞0，原不等式的解集为{x|a－b＜x＜a＋b}，由于解集又为{x|－1＜x＜2}所以比较可得．ab1ab2ab－＝－＋＝，解之得＝，＝．1232答选D．说明：本题实际上是利用端点的位置关系构造新不等式组．例7解关于x的不等式|2x－1|＜2m－1(m∈R)分析分类讨论．解若－≤即≤，则－＜－恒不成立，此时原不等2m10m|2x1|2m112式的解集为；若－＞即＞，则－－＜－＜－，所以－＜2m10m(2m1)2x12m11m12x＜m．综上所述得：当≤时原不等式解集为；当＞时，原不等式的解集为mm1212{x|1－m＜x＜m}．说明：分类讨论时要预先确定分类的标准．点击思维例解不等式－＋≥．83212||||xx分析一般地说，可以移项后变形求解，但注意到分母是正数，所以能直接去分母．解注意到分母|x|＋2＞0，所以原不等式转化为2(3－|x|)≥|x|＋2，整理得|x|x{x|x}≤，从而可以解得－≤≤，解集为－≤≤．4343434343说明：分式不等式常常可以先判定一下分子或者分母的符号，使过程简便．例9解不等式|6－|2x＋1||＞1．分析以通过变形化简，把该不等式化归为|ax＋b|＜c或|ax＋b|＞c型的不等式来解．解事实上原不等式可化为6－|2x＋1|＞1①或6－|2x＋1|＜－1②由①得|2x＋1|＜5，解之得－3＜x＜2；由②得|2x＋1|＞7，解之得x＞3或x＜－4．从而得到原不等式的解集为{x|x＜－4或－3＜x＜2或x＞3}．说明：本题需要多次使用绝对值不等式的解题理论．例10已知关于x的不等式|x＋2|＋|x－3|＜a的解集是非空集合，则实数a的取值范围是________．分析可以根据对|x＋2|＋|x－3|的意义的不同理解，获得多种方法．解法一当x≤－2时，不等式化为－x－2－x＋3＜a即－2x＋1＜a有解，而－2x＋1≥5，∴a＞5．当－2＜x≤3时，不等式化为x＋2－x＋3＜a即a＞5．当x＞3是，不等式化为x＋2＋x－3＜a即2x－1＜a有解，而2x－1＞5，∴a＞5．综上所述：a＞5时不等式有解，从而解集非空．解法二|x＋2|＋|x－3|表示数轴上的点到表示－2和3的两点的距离之和，显然最小值为3－(－2)＝5．故可求a的取值范围为a＞5．解法三利用|m|＋|n|＞|m±n|得|x＋2|＋|x－3|≥|(x＋2)－(x－3)|＝5．所以a＞5时不等式有解．说明：通过多种解法锻炼思维的发散性．例11解不等式|x＋1|＞2－x．分析一对2－x的取值分类讨论解之．解法一原不等式等价于：①－≥＋＞－或＋＜－2x0x12xx1x2或②－＜∈2x0xR由①得≤＞或＜－x2x1212即≤＞，所以＜≤；x2xx21212由②得x＞2．综合①②得＞．所以不等式的解集为＞．x{x|x}1212分析二利用绝对值的定义对|x＋1|进行分类讨论解之．解法二因为|x1|x1x1x1x1＋＝＋，≥－－－，＜－原不等式等价于：①≥＞或②＜＞xxxxxx10121012由①得≥＞即＞；xx11212x由②得＜－－＞即∈．x112x所以不等式的解集为＞．{x|x}12学科渗透例12解不等式|x－5|－|2x＋3|＜1．分析设法去掉绝对值是主要解题策略，可以根据绝对值的意义分区间讨论，事实上，由于＝时，－＝，＝－时＋＝．x5|x5|0x|2x3|032所以我们可以通过－，将轴分成三段分别讨论．325x解当≤－时，－＜，＋≤所以不等式转化为xx502x3032－(x－5)＋(2x＋3)＜1，得x＜－7，所以x＜－7；当－＜≤时，同理不等式化为32x5－(x－5)－(2x＋3)＜1，解之得＞，所以＜≤；xx51313当x＞5时，原不等式可化为x－5－(2x＋3)＜1，解之得x＞－9，所以x＞5．综上所述得原不等式的解集为＞或＜－．{x|xx7}13说明：在含有绝对值的不等式中，“去绝对值”是基本策略．例13解不等式|2x－1|＞|2x－3|．分析本题也可采取前一题的方法：采取用零点分区间讨论去掉绝对值，但这样比较复杂．如果采取两边平方，即根据＞＞解|a||b|ab22之，则更显得流畅，简捷．解原不等式同解于(2x－1)2＞(2x－3)2，即4x2－4x＋1＞4x2－12x＋9，即8x＞8，得x＞1．所以原不等式的解集为{x|x＞1}．说明：本题中，如果把2x当作数轴上的动坐标，则|2x－1|＞|2x－3|表示2x到1的距离大于2x到3的距离，则2x应当在2的右边，从而2x＞2即x＞1．