实数和向量的积

高考网实数和向量的积【基础知识精讲】1.实数与向量的积的定义实数λ与向量a的积是一个向量，记λa，它的长度与方向规定如下：(1)｜λa｜=｜λ｜·｜a｜;(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ=0时，λa=0,方向是任意的.2.实数和向量的积的运算律设λ、μ为实数，那么：(1)λ(μa)=λμa(2)(λ+μ)a=λa+μa(3)λ(a+b)=λa+λb3.两个向量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b=λa.4.平面向量基本定理如果1e，2e，是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使：a=λ11e+λ22e其中不共线的向量1e，2e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.注意：(1)平面内的任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式.(2)上面分解是唯一的.向量的加法、减法、实数与向量的积的混合运算称为向量的线性运算，也叫做向量的初步运算.任一平面直线型图形都可以表示为某些向量的线性组合.高考网【重点难点解析】1.实数与向量的积的运算律与实数乘法的运算律很相似，只是实数与向量相乘的分配律有两种不同形式.(λ+μ)a=λa+μa和λ(a+b)=λa+λb；实数与向量相乘的运算中的关键是等式两边向量的模相等的同时，方向也必须相同.2.掌握实数与向量积的概念，运算及两个向量共线的充要条件.例1化简32［(4a-3b)+31b-41(6a-7b)］=.例2设a，b是不共线的两个向量，已知AB=2a+kb，BC=a+b,CD=a-2b，若A、B、D三点共线，求k的值.例4已知□ABCD，E、F分别是DC和AB的中点，判断AE、CF是否平行?分析：要判断AE、CF是否平行，就是判断AE能否用CF表示出来.解：设AB=a,AD=b因为E、F分别是DC和AB的中点所以DE=21DC=21AB=21a例5求向量x,y:【难题巧解点拔】例1设M为△ABC的重心，证明对任意一点O，有OM=31(OA+OB+OC)高考网如图，已知在△ABC中，D是BC上的一点，且DCBD=λ.试证：AD=1ABAB例3若O、A、B三点不共线，已知OP=m·OA+n·OB,m·n∈R,且m+n=1,那么P点位置如何?请说明理由.例4求证：平行四边形一顶点和对边中点的连线三等分此平行四边形的一条对角线(如图)【典型热点考题】例1若AB=31e,CD=-51e且｜AD｜=｜BC｜,则四边形ABCD是()A.平行四边形B.菱形C.等腰梯形D.非等腰的梯形例2已知λ，u∈R，则在以下各命题中，正确的命题共有()高考网(1)λ＜0，a≠0时，λa与a的方向一定相反(2)λ＞0，a≠0时，λa与a的方向一定相同(3)λ≠0，a≠0时，λa与a是共线向量(4)λu＞0，a≠0时，λa与ua的方向一定相同(5)λu＜0，a≠0时，λa与ua的方向一定相反A.2个B.3个C.4个D.5个例3梯形ABCD，AB∥CD，且||2||CDAB，M、N分别是DC和AB的中点，如图，若AB=a,AB=b，试用a，b表示BC和MN，则BC=.