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高考网对数函数·例题解析【例1】(1)y=log(2)y=11log(a0a1)(3)f(x)[01]y=f[log(3x)]12a13求函数的定义域.求函数>,且≠的定义域.已知函数的定义域是,,求函数-的定义3221xxxa()域.解(1)由≥>≠≤>≠≤<或>≠log()()1232210322102103221132210121210122312xxxxxxxxxxxxxxx121122312231<≤<或>≠<≤xxxxx∴所求定义域为<≤{x|23x1}解(2)∵1-loga(x+a)>0,∴loga(x+a)<1.当a>1时,0<x+a<a,∴函数的定义域为(-a,0).当0<a<1时,x+a>a,∴函数的定义域为(0,+∞).解(3)f(x)[01]y=f[log(3x)]13∵的定义域为,,∴函数-有意义,必须满足≤-≤,即≤-≤,∴≤-≤,∴≤≤.故函数-的定义域为,.0log(3x)1loglog(3x)log13133x12xy=f[log(3x)][2]131313131318383高考网【例2】y=10x已知函数,试求它的反函数,以及反函数的定义110x域和值域.解y=10y1y=10(1y)10=y10=y1y00y1xxxx已知函数的定义域为,∵∴≠,由得-,∴><<,即为函数的值域.R110110xx由得,即反函数.10=y1yx=lgy1yf(x)=lgx1xx1反函数的定义域为(0,1),值域为y∈R.【例3】作出下列函数的图像,并指出其单调区间.(1)y=lg(-x),(2)y=log2|x+1|(3)y=|log(x1)|(4)ylog(1x)122-,=-.解(1)y=lg(-x)的图像与y=lgx的图像关于y轴对称,如图2.8-3所示,单调减区间是(-∞,0).解(2)先作出函数y=log2|x|的图像,再把它的图像向左平移1个单位就得y=log2|x+1|的图像如图2.8-4所示.单调递减区间是(-∞,-1).单调递增区间是(-1,+∞).解(3)y=logx1y=log(x1)1212把的图像向右平移个单位得到-的图像,保留其在x轴及x轴上方部分不变,把x轴下方的图像以x轴为对称轴翻折到轴上方,就得到-的图像.如图.-xy=|log(x1)|28512所示.高考网单调减区间是(-1,2].单调增区间是[2,+∞).解(4)∵函数y=log2(-x)的图像与函数y=log2x的图像关于y轴对称,故可先作y=log2(-x)的图像,再把y=log2(-x)的图像向右平移1个单位得到y=log2(1-x)的图像.如图2.8-6所示.单调递减区间是(-∞,1).【例4】图2.8-7分别是四个对数函数,①y=logax②y=logbx③y=logcx④y=logdx的图像,那么a、b、c、d的大小关系是[]A.d>c>b>aB.a>b>c>dC.b>a>d>cD.b>c>a>d解选C,根据同类函数图像的比较,任取一个x>1的值,易得b>a>1>d>c.故选C.【例5】已知loga3>logb3,试确定a和b的大小关系.解法一令y1=logax,y2=logbx,∵logax>logb3,即取x=3时,y1>y2,所以它们的图像,可能有如下三种情况:(1)当loga3>logb3>0时,由图像2.8-8,取x=3,可得b>a>1.(2)当0>loga3>logb3时,由图像2.8-9,得0<a<b<1.高考网(3)当loga3>0>logb3时,由图像2.8-10,得a>1>b>0.解法二由换底公式,化成同底的对数.当>>时,得>>,∴>>,log3log300logbloga0ab331133loglogab∵函数y=log3x为增函数,∴b>a>1.当<<时,得<<,∴>>,log3log3000logblogaba331133loglogba∵函数y=log3x为增函数,∴0<a<b.当>>时,得>>∴>>,log30log30loga0logbab331133loglogab即a>1>b>0.【例6】aba1logloglogalogb2abba若>>>,则、、、的大小abba顺序是:________.解aba1011logab0logba00loga1logb1aba1a1logloga1logloglogalogb2abba2bbabba∵>>>,∴<<,>,∴<,>,<<,>.由>>>得>>∴<<,故得:<<<.abbababaabba说明本题解决的思路,是把已知的对数值的正负,或大于1,小于1分组,即借助0、1作桥梁这个技巧,使问题得以解决.【例7】设0<x<1,a>1,且a≠1,试比较|loga(1-a)|与|loga(1+x)|的大小.高考网解法一求差比大小.|loga(1-x)|-|loga(1+x)|=|lg(1x)lga||lg()lg||lg|(|lg()||lg()|1111xaaxx=1|lga|(lg(1x)lg(1x)(01x111x)=lg(1x)02---+∵<-<<++-·->1|lg|a∴|loga(1-x)|>|loga(1+x)|解法二求商比较大小|log()||log()||log()log()|aaaaxxxx1111=|log(1+x)(1-x)|=-log1+x(1-x)∵(1+x>1,而0<1-x<1)∴原式>+=log=loglog(1x)=1(1+x)(1+x)(1+x)11112xxx∴|loga(1-x)|>|loga(1+x)|【例8】f(x)=log(x)(a0a1)a已知函数+>,且≠,判断其12x奇偶性.解法一已知函数的定义域为R,则-x∈Rf(x)=log(1+xx)=loga2a--()()111222xxxxxx高考网=log=log=logaaa1111122222xxxxxxxxfx()()∴f(x)是奇函数.解法二已知函数的定义域为R由+-++-f(x)f(x)=log(1+xx)log(1+xx)=log1+x1+xa22a22[()()]xx=loga1=0∴f(x)=-f(x),即f(x)为奇函数.【例9】(1)f(x)=log(01)2已知函数,那么它在,上是增函数xx1还是减函数?并证明.(2)讨论函数y=loga(ax-1)的单调性其中a>0,且a≠1.(1)证明方法一f(x)在(0,1)上是增函数.设任取两个值x1,x2∈(0,1),且x1<x2.∵--<f(x)f(x)=loglog=log=logxlogxx=01222222222xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx1122112221221112121212111111log()()(∵0<x1<x2<1,∴x1-x1x2<x2-x1x2).∴f(x1)<f(x2)故f(x)在(0,1)上是增函数.方法二u=x1x令111x高考网∵-在,上是增函数,又∵>,在,u=1(01)u0y=logu(0211x+∞上是增函数,∴=在,上是增函数.)f(x)log(01)2xx1(2)解由对数函数性质,知ax-1>0,即ax>1,于是,当0<a<1时,函数的定义域为(-∞,0),当a>1时,定义域为(0,+∞).当0<a<1时,u=ax-1在(-∞,0)上是减函数,而y=logau也是减函数,∴y=loga(ax-1)在(-∞,0)上是增函数.当a>1时,u=ax-1在(0,+∞)上是增函数,而y=logau也是增函数,∴y=loga(ax-1)在(0,+∞)上是增函数.综上所述,函数y=loga(ax-1)在其定义域上是增函数.【例10】(1)设0<a<1,实数x、y满足logax+3logxa-logxy=3,如果有最大值,求这时与的值.yax24(2)f(x)=logx3logx212212讨论函数---的单调性及值域.解(1)logx=3logy=logxaaa2由已知,得+,∴-3logloglogaaaxyx3logx3=(logx)aa2+-+.3234∵<<,∴关于为减函数.即有最大值时,0a1logyyylogyaa24有最小值log24a∴当时,,logx=3log=34aa224高考网∴,,得,.ax=aa=14x=18343224解R(2)t=logxx0tt=logx(0)1212设,则>,∈,且是,+∞上的减函数.f(t)=t3t2(][)2---是-∞,-上的增函数,是-,+∞上的3232减函数.-时,t=x=2232∴函数---在,上是增函数,在,f(x)=logx3logx2(022]12212[22+∞)上是减函数.又∵-++,∴值域是-∞,.f(x)=(t)(]3214142高考网
本文标题:对数函数例题解析
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