山西省太原市2017届高三年级模拟试题二数学文科word版

1山西省太原市2017届高三年级模拟试题（二）数学（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）已知211zii（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点的坐标是（B）（A）2,2（B）2,2（C）2,2（D）2,2（2）已知集合1,2,4A，2log,ByyxxA，则AB（C）（A）1,2（B）1,2（C）0,1,2,4（D）0,4（3）已知2,1a，1,1b，则a在b方向上的投影为（A）（A）22（B）22（C）55（D）55（4）已知公比1q的等比数列na的前n项和为nS，11a，333Sa，则5S（D）（A）1（B）5（C）3148（D）1116（5）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（阴影部分）围成一个大正方形，中间空出一个小正方形组成的图形，若在大正方形内随机取一点，该点落在小正方形的概率为15，则途中直角三角形中较大锐角的正弦值为（B）（A）55（B）255（C）15（D）33（6）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（D）（A）16（B）12（C）23（D）13（7）函数lnxfxx的图象大致为（A）2（A）（B）（C）（D）（8）执行下面的程序框图，则输出S（B）（A）2（B）3（C）12（D）13（9）已知实数x，y满足条件370313010xyxyxy，则2zxy的最小值为（C）（A）3（B）4（C）5（D）6（10）将函数cos2fxx的图象向右平移3个单位得到gx的图象，若gx在2,6m和53,6m上都单调递减，则实数m的取值范围为（A）（A）5,918（B）,93（C）5,1218（D）5,1812（11）已知双曲线2213xy的右焦点是抛物线220ypxp的焦点，直线ykxm与抛物线相交于A，B两个不同的点，点2,2M是AB的中点，则AOB（O为坐标原点）的面积是（D）（A）43（B）313（C）14（D）23（12）已知2xfxxe，若函数21gxfxkfx恰有三个零点，则下列结论正确的是（D）（A）2k（B）28ke（C）2k（D）2244eke二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）（13）若命题“10,,xxmx”是假命题，则实数m的取值范围是2,．（14）已知4sin5，2，则sin22425．（15）已知点O是ABC的内心，60BAC，1BC，则BOC面积的最大值为312．（16）已知三棱锥ABCD中，2ABACBC，2BDCD，点E是BC的中点，点A在平面BCD3射影恰好为DE的中点，则该三棱锥外接球的表面积为6011．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）（17）（本小题满分12分）已知数列na的前n项和为12nnnS，数列nb满足1nnnbaanN．（Ⅰ）求数列nb的通项公式；（Ⅱ）若21nanncbnN，求数列nc的前n项和nT．【解析】（Ⅰ）当1n时，111aS，当2n时，111222nnnnnnnaSSn，又11a符合上式，nan，121nnnbaan．（Ⅱ）1212nannncbn，2341122232122nnnTnn①，345122122232122nnnTnn②，①②得，234122241222222212412nnnnnnTnnn，2124nnTn（18）（本小题满分12分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖规则如下：1．抽奖方案有以下两种，方案a：从装有1个红球、2个白球（仅颜色不同）的甲袋中随机摸出1个球，若是红球，则获得奖金15元；否则，没有奖金，兑奖后将抽出的球放回甲袋中；方案b；从装有2个红球，1个白球（仅颜色不同）的乙袋中随机摸出1个球，若是红球，则获得奖金10元；否则，没有奖金，兑奖后将抽出的球放回乙袋中．2．抽奖的条件是，顾客购买商品的金额满100元，可根据方案a抽奖一次；满150元，可根据方案b抽奖一次（例如某顾客购买商品的金额为310元，则该顾客采用的抽奖方式可以有以下三种，根据方案a抽奖三次或方案b抽奖两次或方案a、b各抽奖一次），已知顾客A在该商场购买商品的金额为250元．（Ⅰ）若顾客A只选择方案a进行抽奖，求其所获奖金为15元的概率；（Ⅱ）若顾客A采用每种抽奖方式的可能性都相等，求其最有可能获得的奖金数（除0元外）．【解析】（Ⅰ）设“获奖金为15元”为时间B，则1212433339PB．（Ⅱ）若按方案a抽奖两次，则获奖金为15元的概率为11212433339p，获奖金为30元的概率为2111339p，若按方案a、b抽奖两次，则获奖金为15元的概率为3111339p，获奖金为10元的概率为4224339p，获奖金为25元的概率为5122339p，故最有可能获得的奖金数为15元．（19）（本小题满分12分）如图（1），在平面六边形ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，且4AB，2BC，2AEDEBFCF，点M，N分别是AD，BC的中点，分别沿直线AD，BC将ADE，BCF翻折成如图（2）的空间几何体ABCDEF．（Ⅰ）利用下列结论1或结论2，证明：E、F、M、N四点共面；结论1：过空间一点作已知直线的垂面，有且仅有一个．结论2：过平面内一条直线作该平面的垂面，有且仅有一个．4（Ⅱ）若二面角EADB和二面角AFBC都是60，求三棱锥EBCF的体积．【解析】（Ⅰ）由题意，点E在底面ABCD的射影在MN上，可设为点P，同理，点F在底面ABCD的射影在MN上，可设为点Q，则EP面ABCD，FQ面ABCD，面EMP面ABCD，面FNQ面ABCD，又MN面ABCD，MN面EMP，MN面FNQ，由结论2：过平面内一条直线作该平面的垂面，有且仅有一个，则E、F、M、N四点共面．（Ⅱ）若二面角EADB和二面角AFBC都是60，则60EMPFNQ，易得1EMFN，则1cos602MPEM，3sin602EPEM，1131313322234232222322EBCFABCDEFEABCDVVV．（20）（本小题满分12分）如图，曲线C由左半椭圆2222:10,0,0xyMabxab和圆22:25Nxy在y轴右侧的部分连接而成，A，B是M与N的公共点，点P，Q（均异于点A，B）分别是M，N上的动点．（Ⅰ）若PQ的最大值为45，求半椭圆M的方程；（Ⅱ）若直线PQ过点A，且0AQAP，BPBQ，求半椭圆M的离心率．【解析】（Ⅰ）由已知得：当P为半椭圆与x轴的左交点，Q为圆与x轴的右交点时，PQ会取得最大值，即5245a，解得2a，由图像可得0,1A，即1b，故半椭圆M的方程为22104xyx．5（Ⅱ）设直线PQ方程为1ykx，,PPPxy，,QQQxy，联立22125ykxxy得221240kxkx，故2421AQkxxk，2421Qkxk，22411Qkkyk，又0AQAP，且,1QQAQxy，,1PPAPxy，故02QPQPxxyy，2241Pkxk，223411Pkkyk，又BPBQ，且,1QQBQxy，,1PPBPxy，222222224134124112111612011PQPQkkkkkxxyykkkk，解得34k，故81,55P，代入2221xya解得283a，故221014bea．（21）（本小题满分12分）已知函数22xfxeaxxaR．（Ⅰ）当0a时，求fx的最小值；（Ⅱ）当12ea时，证明：不等式12efx在0,上恒成立．【解析】（Ⅰ）当0a时，2xfxex，2xfxe，令20xfxe解得ln2x，x,ln2ln2ln2,fx0fx极小值故当ln2x时，fx的最小值为ln222ln2f．（Ⅱ）22xfxeax，12222102efeae，010f，故存在00,1x使得00fx，令22xhxeax，则当0,x时，0221302xehxeaee，故hx在0,单调递增，且00hx，0xx是hx的唯一零点，且在0xx处fx取得最小值0020000022xxfxeaxxexax，又00hx即00220xeax可得0012xeax，00000001122xxxxefxexex，构造函数：12ttgtet，1122ttgte，6二次求导可得2ttgte，故当0,1t时，0gt，即gt在0,1t单调递减，则当0,1t时，00gtg，可得12ttgtet在0,1t单调递减，000012xxfxex在00,1x单调递减，10min111122efxfxe，得证．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．（22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为2cossinxy，（其中为参数）．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为tancossin1（为常数，0，且2），点A，B（A在x轴的下方）是曲线1C与2C的两个不同交点．（Ⅰ）求曲线1C普通方程和2C的直角坐标方程；（Ⅱ）求AB的最大值及此时点B的坐标．【解析】（Ⅰ）由2cossinxy得cos2sinxy，平方，相加得1C：2214xy，2C：tan10xy．（Ⅱ）将2C化为参数方程：cos1sinxtyt（t为参数），将2C参数方程代入1C，得2221cossin2sin04tt，12222sin1cossin4tt，120tt，222sin811cossin3sin4sinAB，0，且2，sin0,1，min433AB，此时点B的坐标为421,33．（23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数210fxxmxm．（Ⅰ）当1m时，解不等式3fx；（Ⅱ）当2,2xmm时，不等式112fxx恒成立，求实数m的取值范围