平面向量的数量积的运算律

高考网第十二教时教材：平面向量的数量积的运算律目的：要求学生掌握平面向量数量积的运算律，明确向量垂直的充要条件。过程：一、复习：1．平面向量数量积（内积）的定义及其几何意义、性质2．判断下列各题正确与否：1若a=0，则对任一向量b，有ab=0。(√)2若a0，则对任一非零向量b，有ab0。(×)3若a0，ab=0，则b=0。(×)4若ab=0，则a、b至少有一个为零。(×)5若a0，ab=ac，则b=c。(×)6若ab=ac，则b=c当且仅当a0时成立。(×)7对任意向量a、b、c，有(ab)ca(bc)。(×)8对任意向量a，有a2=|a|2。(√)二、平面向量的运算律1．交换律：ab=ba证：设a，b夹角为，则ab=|a||b|cos，ba=|b||a|cos∴ab=ba2．(a)b=(ab)=a(b)证：若0，(a)b=|a||b|cos，(ab)=|a||b|cos，a(b)=|a||b|cos，若0，(a)b=|a||b|cos()=|a||b|(cos)=|a||b|cos，(ab)=|a||b|cos，a(b)=|a||b|cos()=|a||b|(cos)=|a||b|cos。3．(a+b)c=ac+bc在平面内取一点O，作OA=a,AB=b，OC=c，∵a+b（即OB）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即：|a+b|cos=|a|cos1+|b|cos2∴|c||a+b|cos=|c||a|cos1+|c||b|cos2∴c(a+b)=ca+cb即：(a+b)c=ac+bc4．例题：P118—119例二、例三、例四（从略）三、应用例题：（《教学与测试》第27课P156例二、例三）例一、已知a、b都是非零向量，且a+3b与7a5b垂直，a4b与7a2b垂直，求a与b的夹角。解：由(a+3b)(7a5b)=07a2+16ab15b2=0①(a4b)(7a2b)=07a230ab+8b2=0②两式相减：2ab=b2代入①或②得：a2=b2设a、b的夹角为，则cos=21222||||||bbbaba∴=60例二、求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和。解：如图：ABCD中：DCAB，BCAD，AC=ADAB∴|AC|2=ADABADABADAB2||222而BD=ADAB∴|BD|2=ADABADABADAB2||222∴|AC|2+|BD|2=2222ADAB=2222||||||||ADDCBCAB四、小结：运算律五、作业：P119习题5.67、8《教学与测试》P152练习ABDCABDC12abABOA1B1Cc