广西贺州市20182019学年高二上学期期末考试文科数学试题解析版

广西贺州市2018-2019学年高二上学期期末考试文科数学试题（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合𝐴={−1,0，1}，𝐵={𝑥|−1𝑥1}，则𝐴∪𝐵=()A.{−1,1}B.{−1,0，1}C.{𝑥|−1≤𝑥≤1}D.{𝑥|𝑥≤1}【答案】C【解析】解：∵𝐴={−1,0，1}，𝐵={𝑥|−1𝑥1}；∴𝐴∪𝐵={𝑥|−1≤𝑥≤1}．故选：C．进行并集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，以及并集的运算．2.已知数列{𝑎𝑛}中，𝑎𝑛=𝑛2+𝑛+1，则𝑎3=()A.4B.9C.12D.13【答案】D【解析】解：数列{𝑎𝑛}中，𝑎𝑛=𝑛2+𝑛+1，则𝑎3=32+3+1=13．故选：D．利用通项公式即可得出．本题考查了数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.已知椭圆C：𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎𝑏0)中，𝑎2=10，𝑐=2，则该椭圆标准方程为()A.𝑥210+𝑦26=1B.𝑥210+𝑦22=1C.𝑥210+𝑦24=1D.𝑥26+𝑦24=1【答案】A【解析】解：根据题意，椭圆C：𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎𝑏0)，其焦点在x轴上，若𝑎2=10，𝑐=2，则𝑏2=𝑎2−𝑐2=10−4=6，则椭圆的方程为𝑥210+𝑦26=1；故选：A．根据题意，分析椭圆的焦点位置，由椭圆的几何性质可得b的值，代入椭圆的方程即可得答案．本题考查椭圆的标准方程，注意掌握椭圆标准方程的形式，属于基础题．4.设a，𝑏∈𝑅，则“𝑎𝑏”是“𝑎2𝑏2”的()A.充分必要条件B.既不充分也不必要条件C.充分不必要条件D.必要不充分条件【答案】B【解析】解：当𝑎=1，𝑏=−2时，满足𝑎𝑏但“𝑎2𝑏2”不成立，当𝑎=−3，𝑏=−2时，满足“𝑎2𝑏2”但𝑎𝑏不成立，即“𝑎𝑏”是“𝑎2𝑏2”的既不充分也不必要条件，故选：B．根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合充分条件和必要条件的定义以及不等式的性质是解决本题的关键．5.已知𝑓(𝑥)=𝑥+2𝑥，则曲线𝑓(𝑥)在点(1,𝑓(1))处的切线方程为()A.2𝑥−𝑦+1=0B.𝑥−𝑦−4=0C.𝑥+𝑦−2=0D.𝑥+𝑦−4=0【答案】D【解析】解：∵𝑓(1)=3，𝑓′(𝑥)=1−2𝑥2，∴𝑓′(1)=−1，∴所求的切线方程为：𝑦−3=−(𝑥−1)，即𝑥+𝑦−4=0．故选：D．求出𝑓′(𝑥)，由题意可知曲线在点(1,𝑓(1))处的切线方程的斜率等于𝑓′(1)，所以把𝑥=1代入到𝑓′(𝑥)中即可求出𝑓′(1)的值，得到切线的斜率，然后把𝑥=1和𝑓′(1)的值代入到𝑓(𝑥)中求出切点的纵坐标，根据切点坐标和斜率直线切线的方程即可．此题考查学生会利用导数求过曲线上某点切线方程的斜率，会根据一点和斜率写出直线的方程，是一道基础题．6.若x，y满足{𝑦≥2𝑥𝑥+𝑦≥3𝑦≤3，则𝑥−𝑦的最小值为()A.−5B.−3C.−2D.−1【答案】B【解析】解：x，y满足{𝑦≥2𝑥𝑥+𝑦≥3𝑦≤3的区域如图：设𝑧=𝑥−𝑦，则𝑦=𝑥−𝑧，当此直线经过𝐴(0,3)时z最小，所以z的最小值为0−3=−3；故选：B．画出平面区域，利用目标函数的几何意义求最小值．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键，比较基础．7.设抛物线𝑦2=4𝑥上一点P到y轴的距离是2，则点P到该抛物线焦点的距离是()A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】解：由于抛物线𝑦2=4𝑥上一点P到y轴的距离是2，故点P的横坐标为2．再由抛物线𝑦2=4𝑥的准线为𝑥=−1，以及抛物线的定义可得点P到该抛物线焦点的距离等于点P到准线的距离，故点P到该抛物线焦点的距离是2−(−1)=3，故选：C．由题意可得点P的横坐标为2，抛物线的定义可得点P到该抛物线焦点的距离等于点P到准线𝑥=−1的距离，由此求得结果．本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于中档题．8.设𝑆𝑛是等差数列{𝑎𝑛}的前n项和，若𝑎1=−2017，𝑆6−2𝑆3=18，则𝑆2019=()A.−2017B.2017C.2018D.2019【答案】D【解析】解：设等差数列{𝑎𝑛}的公差为d，∵𝑎1=−2017，𝑆6−2𝑆3=18，∴6𝑎1+6×52⋅𝑑−6𝑎1−2×3×22⋅𝑑=18，化为：9𝑑=18，解得𝑑=2．则𝑆2019=2019×(−2017)+2019×20182×2=2019．故选：D．设等差数列{𝑎𝑛}的公差为d，根据𝑎1=−2017，𝑆6−2𝑆3=18，利用求和公式可得d，即可得出．本题考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.若函数𝑓(𝑥)=𝑘𝑥−ln𝑥在区间(1,+∞)上单调递增，则k的取值范围是()A.(−∞,−2]B.(−∞,−1]C.[1,+∞)D.[1,+∞)【答案】C【解析】解：𝑓′(𝑥)=𝑘−1𝑥，∵函数𝑓(𝑥)=𝑘𝑥−ln𝑥在区间(1,+∞)单调递增，∴𝑓′(𝑥)≥0在区间(1,+∞)上恒成立．∴𝑘≥1𝑥，而𝑦=1𝑥在区间(1,+∞)上单调递减，∴𝑘≥1．∴𝑘的取值范围是：[1,+∞)．故选：C．求出导函数𝑓′(𝑥)，由于函数𝑓(𝑥)=𝑘𝑥−ln𝑥在区间(1,+∞)单调递增，可得𝑓′(𝑥)≥0在区间(1,+∞)上恒成立.解出即可．本题考查了利用导数研究函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法，属于中档题．10.△𝐴𝐵𝐶的内角A，B，C的对边分別为a，b，c，已知𝑏cos𝐴=(2𝑐−𝑎)cos𝐵，𝑐=2，𝑎=1，则△𝐴𝐵𝐶的面积是()A.12B.√32C.1D.√3【答案】B【解析】解：△𝐴𝐵𝐶的内角A，B，C的对边分別为a，b，c，已知𝑏cos𝐴=(2𝑐−𝑎)cos𝐵，利用正弦定理得：sin𝐵cos𝐴=2sin𝐶cos𝐵−sin𝐴cos𝐵，整理得：sin(𝐴+𝐵)=sin𝐶=2sin𝐶cos𝐵，由于：sin𝐶≠0，所以：cos𝐵=12，由于：0𝐵𝜋，则：𝐵=𝜋3．由于：𝑐=2，𝑎=1，则：𝑆△𝐴𝐵𝐶=12𝑎𝑐sin𝐵=12⋅2⋅1⋅√32=√32．故选：B．首先利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理求出B的值，进一步利用三角形的面积公式求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和三角形面积公式的应用．11.设是定义域为R的函数𝑓(𝑥)的导函数，，𝑓(−1)=4，则𝑓(𝑥)3𝑥+7的解集为()A.(−∞,−1)B.(−∞,−3)C.(−3,0)∪(1,+∞)D.(−1,0)∪(1,+∞)【答案】A【解析】解：令𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)−3𝑥−7，则𝑔(−1)=𝑓(−1)+3−7，因为𝑓(−1)=4，所以𝑔(−1)=4+3−7=0，由𝑓(𝑥)3𝑥+7，即𝑓(𝑥)−3𝑥−70，即𝑔(𝑥)𝑔(−1)；因为，所以，所以，𝑔(𝑥)是R上的减函数；则由𝑔(𝑥)𝑔(−1)，则𝑥−1；所以，不等式𝑓(𝑥)3𝑥+7的解集为(−∞,−1)故选：A．构造函数𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)−3𝑥−7，由𝑔(−1)=4+3−7=0，求导根据导数与函数单调性的关系，则𝑔(𝑥)是R上的减函数，由𝑔(𝑥)𝑔(−1)，则𝑥−1．本题考查学生灵活运用函数思想求解不等式，解题的关键是构建函数，确定函数的单调性，属于中档题．12.设𝐹1，𝐹2是双曲线C：𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎0.𝑏0)的左，右焦点，O是坐标原点.过𝐹2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若|𝑃𝐹1|=√6|𝑂𝑃|，则C的离心率为()A.√5B.2C.√3D.√2【答案】C【解析】解：双曲线C：𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎0.𝑏0)的一条渐近线方程为𝑦=𝑏𝑎𝑥，∴点𝐹2到渐近线的距离𝑑=𝑏𝑐√𝑎2+𝑏2=𝑏，即|𝑃𝐹2|=𝑏，∴|𝑂𝑃|=√|𝑂𝐹2|2−|𝑃𝐹2|2=√𝑐2−𝑏2=𝑎，cos∠𝑃𝐹2𝑂=𝑏𝑐，∵|𝑃𝐹1|=√6|𝑂𝑃|，∴|𝑃𝐹1|=√6𝑎，在三角形𝐹1𝑃𝐹2中，由余弦定理可得|𝑃𝐹1|2=|𝑃𝐹2|2+|𝐹1𝐹2|2−2|𝑃𝐹2|⋅|𝐹1𝐹2|𝐶𝑂𝑆∠𝑃𝐹2𝑂，∴6𝑎2=𝑏2+4𝑐2−2×𝑏×2𝑐×𝑏𝑐=4𝑐2−3𝑏2=4𝑐2−3(𝑐2−𝑎2)，即3𝑎2=𝑐2，即√3𝑎=𝑐，∴𝑒=𝑐𝑎=√3，故选：C．先根据点到直线的距离求出|𝑃𝐹2|=𝑏，再求出|𝑂𝑃|=𝑎，在三角形𝐹1𝑃𝐹2中，由余弦定理可得|𝑃𝐹1|2=|𝑃𝐹2|2+|𝐹1𝐹2|2−2|𝑃𝐹2|⋅|𝐹1𝐹2|cos∠𝑃𝐹2𝑂，代值化简整理可得√3𝑎=𝑐，问题得以解决．本题考查了双曲线的简单性质，点到直线的距离公式，余弦定理，离心率，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知等比数列{𝑎𝑛}中，𝑎1=27，𝑎4=𝑎3𝑎5，则𝑎7=______．【答案】127【解析】解：∵等比数列{𝑎𝑛}中，𝑎1=27，𝑎4=𝑎3𝑎5，∴27𝑞3=27⋅𝑞2×27⋅𝑞4，解得𝑞3=127，∴𝑎7=27𝑞6=127．故答案为：127．由等比数列{𝑎𝑛}中，𝑎1=27，𝑎4=𝑎3𝑎5，得到𝑞3=127，由此能求出𝑎7．本题考查等比数列的第7项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.已知𝑥0，𝑦0，𝑥+2𝑦=1，则2𝑥+1𝑦的最小值为______．【答案】8【解析】解：∵2𝑥+1𝑦=(𝑥+2𝑦)(2𝑥+1𝑦)=4+4𝑦𝑥+𝑥𝑦≥4+2√4𝑦𝑥⋅𝑥𝑦=8(当且仅当𝑥=12，𝑦=14时取等)故答案为：8先变形：2𝑥+1𝑦=(𝑥+2𝑦)(2𝑥+1𝑦)=4+4𝑦𝑥+𝑥𝑦，然后根据基本不等式可求得最小值．本题考查了基本不等式及其应用，属基础题．15.已知函数𝑓(𝑥)=−√32𝜋𝑥2−cos𝑥，则𝑓′(𝜋3)=______．【答案】√36【解析】解：𝑓′(𝑥)=−√3𝜋𝑥+sin𝑥，∴𝑓′(𝜋3)=−√3𝜋×𝜋3+sin𝜋3=−√33+√32=√36，故答案为：√36先求导，再代值计算即可．本题考查了的导数的运算和和导数值，属于基础题．16.设𝑎∈𝑅，若𝑥0时均有(𝑥2+𝑎𝑥−5)(𝑎𝑥−1)≥0成立，则𝑎=______．【答案】12【解析】解：若𝑎≤0，则当𝑥0时，𝑎𝑥−10，由二次函数的性质可知，不等式𝑥2+𝑎𝑥−5≤0不可能在𝑥0时恒成立，故当𝑥0时不可能都有(𝑥2+𝑎𝑥−5)(𝑎𝑥−1)≥0成立，故𝑎0，故当0𝑥1𝑎时，𝑎𝑥−10，当𝑥1𝑎时，𝑎𝑥−10，∵当𝑥0时均有(𝑥2+𝑎𝑥−5)(𝑎𝑥−1)≥0成立，故当0𝑥1𝑎时，𝑥2+𝑎𝑥−5≤0，当𝑥1𝑎时，𝑥2+𝑎𝑥−5≥0，故𝑥=1𝑎是方程𝑥2+𝑎𝑥−5=0的实数根，故1𝑎2+1−5=0，解得：𝑎=−12(舍)或𝑎=12，综上：𝑎=12，故答案为：12．通过讨论a的范围以及函数恒成立问题，求出𝑎