指数与指数幂的运算

高考网高一数学第一学期授课讲义讲义十二：指数与指数幂的运算撰稿：方锦昌电子邮箱[e-mail]手机号码[phone]一、教学要求：1、了解指数函数模型背景及实用性、必要性,了解根式的概念及表示方法.理解根式的概念．2、使学生正确理解分数指数幂的概念，掌握根式与分数指数幂的互化，掌握有理数指数幂的运算.3、n次方根的求解,会用分数指数幂表示根式,掌握根式与分数指数幂的运算.二、教学重点：理解根式的概念，了解指数函数模型的应用背景；掌握n次方根的求解.掌握根式与指数幂的运算；有理数指数幂的运算.三、教学难点：准确运用性质进行计算.有理数指数幂的运算.无理数指数幂的意义.四、教学过程：（一）、复习准备：回顾初中根式的概念：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根；如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根.→记法：3,aa（二）.讲授新课:1.教学指数函数模型应用背景：①探究下面实例，了解指数指数概念提出的背景，体会引入指数函数的必要性.★实例1.某市人口平均年增长率为1.25℅，1990年人口数为a万，则x年后人口数为多少万？★②书P52问题1.国务院发展研究中心在2000年分析，我国未来20年GDP（国内生产总值）年平均增长率达7.3℅，则x年后GDP为2000年的多少倍？★书P52问题2.生物死亡后，体内碳14每过5730年衰减一半（半衰期），则死亡t年后体内碳14的含量P与死亡时碳14的关系为57301()2tP.探究该式意义？③小结：实践中存在着许多指数函数的应用模型，如人口问题、银行存款、生物变化、自然科学.2.教学根式的概念及运算：（1）定义n次方根：一般地，若nxa,那么x叫做a的n次方根.(nthroot),其中1n,n简记：na.例如：328，则382（2）、讨论：当n为奇数时,n次方根情况如何？,例如:3273,3273,记：nxa当n为偶数时，正数的n次方根情况？例如:4(3)81,81的4次方根就是3,记：na强调：负数没有偶次方根,0的任何次方根都是0,即.00n（3）、练习：4ba,则a的4次方根为；3ba,则a的3次方根为.（4）、定义根式：像na的式子就叫做根式（radical）,这里n叫做根指数（radicalexponent）,a叫做被开方数（radicand）.（5）、计算22(3)、334、(2)nn→探究：()nna、nna的意义及结果？（特殊到一般）结论：()nnaa.当n是奇数时，aann；当n是偶数时，(0)||(0)nnaaaaaa（6）、出示例1.求值化简：33()a；44(7)；66(3)；22()ab（ab）3.教学分数指数幂概念及运算性质:①引例：a0时，1051025255()aaaa→312?a；32333232)(aaa→?a.②定义分数指数幂：规定*(0,,,1)mnmnaaamnNn；*11(0,,,1)mnmnmnaamnNnaa③练习：A.将下列根式写成分数指数幂形式：nma(0,,1)amnNn；253；345B.求值2327；255；436；52a.④讨论：0的正分数指数幂？0的负分数指数幂？⑤指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．指数幂的运算性质：0,0,,abrsQ高考网·srraa；rssraa)(；srraaab)(．4.教学例题：①出示例1.求值:2327;4316;33()5;2325()49②出示例2.用分数指数幂的形式表示下列各式(0)b：2bb;533bb;34bb;③出示例3.计算（式中字母均正）：211511336622(3)(8)(6)ababab；311684()mn.④出示例4.计算：334aaa(0)a，312103652(2)()mnmn(,)mnN;344(1632)64⑤讨论：23的结果？→定义：无理指数幂.（结合教材P58利用逼近的思想理解无理指数幂意义）无理数指数幂),0(是无理数aa是一个确定的实数．实数指数幂的运算性质？3.小结：分数指数幂的意义，分数指数幂与根式的互化，有理指数幂的运算性质.（三）、巩固练习：①n为时，(0)||...........(0)nnxxxx.②求下列各式的值：362;416;681；62)2(；1532；48x；642ba.（四）、教学典型例题：1.化简：)()(41412121yxyx.2.已知12(),0xfxxx，试求)()(21xfxf的值.3.用根式表示2134()mn，其中,0mn.4.已知x+x-1=3,求下列各式的值：.)2(,)1(23232121xxxx5.求值：2325;2327;3236()49;3225()4;342819;63231.5126.已知32xab,求42362xaxa的值.7.探究：()2nnnaaa时,实数a和整数n所应满足的条件.（五）、巩固提高练习：●★【题1】（2005年上海高考）方程0224xx的解是__________●解答：0120)22)(12(0224xxxxxx★题2、（2003年上海20题12分）已知函数f(x)=1133xx5,g(x)=1133xx5；（1）、证明：函数f(x)为奇函数，并求出f(x)的单调区间；（2）、分别计算f(4)-5f(2)g(2)和f(9)-5f(3)g(3),并概括出涉及函数f(x)和g(x)的对所有不为0的实数x都成立的一个等式，并加以证明。●解：单调↗为（-∞，0）和（0，+∞）；（2）、f(4)-5f(2)g(2)=f(9)-5f(3)g(3)=0,一般地。有：f(x2)-5f(x)g(x)=0.湖南省省级示范性高中……洞口三中高一数学第一学期授课讲义讲义十三：指数函数及其性质撰稿：方锦昌电子邮箱[e-mail]手机号码[phone]一、教学要求：1、使学生了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系；理解指数函数的的概高考网念和意义，能画出具体指数函数的图象，掌握指数函数的性质.2、熟练掌握指数函数概念、图象、性质；掌握指数形式的函数定义域、值域，判断其单调性；培养学生数学应用意识奎屯王新敞新疆二、教学重点：掌握指数函数的图象和性质．三、教学难点：用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质．理解指数函数的简单应用模型．四、教学过程：（一）、复习提问：①零指数幂：a0=_____(a≠0)；②、负整数指数幂：a-p=_____(a≠0,p∈N*)；④正分数指数幂：mna=_____(a0,m、n∈N*,n1)；⑤负分数指数幂：mna=_____(a0,m、n∈N*,n1)；（二）、讲授新课：1.教学指数函数模型思想及指数函数概念：①探究两个实例：●A．细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次由4个分裂成8个，如此下去，如果第x次分裂得到y个细胞，那么细胞个数y与次数x的函数关系式是什么？◆B．一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的84％，那么以时间x年为自变量，残留量y的函数关系式是什么？②讨论：上面的两个函数有什么共同特征？底数是什么？指数是什么？③定义：一般地，函数(0,1)xyaaa且叫做指数函数（exponentialfunction），其中x是自变量，函数的定义域为R.④讨论：为什么规定a＞0且a≠1呢？否则会出现什么情况呢？→举例：生活中其它指数模型？2.教学指数函数的图象和性质：①、作图：在同一坐标系中画出下列函数图象：1()2xy，2xy（师生共作→小结作法）②、根据图象归纳：指数函数的性质(书P56)③、★出示P56：例6.函数()xfxa（0,1aa且）的图象经过点（3，），求(0)f,(1)f,(1)f的值.④、★出示例7.比较下列各组中两个值的大小：0.60.52,2；21.50.9,0.9；0.52.12.1,0.5；231与⑤、比较大小：0.70.90.80.8,0.8,1.2abc；（四）教学指数函数的应用模型：①★出示例1：我国人口问题非常突出，在耕地面积只占世界7%的国土上，却养育着22%的世界人口．因此，中国的人口问题是公认的社会问题．2000年第五次人口普查，中国人口已达到13亿，年增长率约为1%．为了有效地控制人口过快增长，实行计划生育成为我国一项基本国策．(Ⅰ)按照上述材料中的1%的增长率，从2000年起，x年后我国的人口将达到2000年的多少倍？(Ⅱ)从2000年起到2020年我国的人口将达到多少？★②练习：2005年某镇工业总产值为100亿，计划今后每年平均增长率为8%,经过x年后的总产值为原来的多少倍？→变式：多少年后产值能达到120亿？（五）、.教学指数形式的函数定义域、值域：◆1、①设y1=40.9,y2=80.48;y3=(12)-1.5,则三者的大小是_____y1y3y2②设函数F（x）=[1+22x-1]·f(x)(且x≠0)是偶函数，又f(x)不恒等于0，则f(x)的奇偶性是_（答案为：奇函数）；③函数y=1-2x,x∈[1,4]的值域为____[-15,-1]；④、函数f(x)=(13)x+2,x∈[-1,2]的值域为____[199,5]；⑤函数y=a-x(a0,a≠1)当a∈______时，它为↘，此时，当x∈___时，y0.答案：（1，+∞）⑥、已知函数f(x)=ax-1的定义域为（-∞，0）则a的取值范围是____(答案：0a1)▲2.①、一片树林中现有木材30000m3，如果每年增长5%，经过x年树林中有木材ym3，写出x，y间的函数关系式，并利用图象求约经过多少年，木材可以增加到40000m3▲②、.比较下列各组数的大小：13222()0.45与（）；0.760.75333（）与（）.高考网▲3.求函数2121xxy的定义域和值域，并讨论函数的单调性、奇偶性.【★题4】设a1为常数,已知当x∈(-1,1)时,不等式x2-ax21恒成立,则a的取值范围为(A)A(1,2]B[2,+∞)C(1,4]D[4,+∞)【★题5】已知函数(x)=ax–b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是(B)Aa1b0B0a1b0Ca1b0D0a1,b0【★题6】指数函数y=ax,y=bx,y=cx,y=dx在同一坐标系中的图象如下图所示,则a、b、c、d的大小顺序为(A)AbadcBabdcCbacdDbcad★【题7】已知实数a,b满足等式,)31()21(ba下列五个关系式①0ba②ab0③0ab④ba0⑤a=b其中不可能．．．成立的关系式有（B）A．1个B．2个C．3个D．4个●【解答】,ab均大于零时，要满足等式，必有ab；,ab均小于零时，要满足等式，必有ab；0ab时，显然等式成立.因此不可能成立的关系式为③④，选B★【题8】设函数11()2xxfx，求使()22fx的x取值范围．答案：3[,)4★9.（天津卷）如果函数2()(31)(01)xxfxaaaaa且在区间0，∞上是增函数，那么实数a的取值范围是（）Ａ．203