数学人教A版选修22自我小测22直接证明与间接证明第1课时Word版含解析

自我小测1．若a，b，c是不全相等的实数，求证：a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ca.证明过程如下：∵a，b，c∈R，∴a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac.又a，b，c不全相等，∴以上三式至少有一个“＝”不成立．∴将以上三式相加，得2(a2＋b2＋c2)＞2(ab＋bc＋ac)，∴a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ac.此证法是()A．分析法B．综合法C．分析法与综合法并用D．反证法2．在△ABC中，若sinAsinB＜cosAcosB，则△ABC一定是()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形3．要使a2＋b2－a2b2－1≤0成立的充要条件是()A．|a|≥1且|b|≥1B．|a|≥1且|b|≤1C．(|a|－1)(|b|－1)≥0D．(|a|－1)(|b|－1)≤04．使不等式3＋8＞1＋a成立的正整数a的最大值是()A．13B．12C．11D．105．已知直线l，m，平面α，β，且l⊥α，m⊂β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α⊥β，则l⊥m；④若l∥m，则α⊥β.其中正确的命题的个数是()A．2B．3C．4D．56．平面内有四边形ABCD和点O，=OAOCOBOD，则四边形ABCD为________．7．若lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，则2logxy＝________.8．要证3a－3b＞3a－b成立，则a，b应满足的条件是________．9．△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，求证：1a＋b＋1b＋c＝3a＋b＋c.10．如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝2，CE＝EF＝1.(1)求证：AF∥平面BDE；(2)求证：CF⊥平面BDE.参考答案1．解析：由因导果，故为综合法．答案：B2．解析：由sinAsinB＜cosAcosB得cosAcosB－sinAsinB＞0，即cos(A＋B)＞0，－cosC＞0，cosC＜0，从而角C必为钝角，△ABC一定为钝角三角形．答案：C3．解析：a2＋b2－a2b2－1≤0⇔a2(1－b2)＋(b2－1)≤0⇔(b2－1)(1－a2)≤0⇔(a2－1)(b2－1)≥0⇔(|a|－1)(|b|－1)≥0.答案：C4．解析：由a＜3＋8－1得a＜(3＋8－1)2.而(3＋8－1)2＝3＋8＋1＋224－23－28＝12＋46－23－42≈12.68.因此使不等式成立的正整数a的最大值为12.答案：B5．解析：若l⊥α，m⊂β，α∥β，则l⊥β，所以l⊥m，①正确；若l⊥α，m⊂β，l⊥m，α与β可能相交，②不正确；若l⊥α，m⊂β，α⊥β，l与m可能平行、相交或异面，③不正确；若l⊥α，m⊂β，l∥m，则m⊥α，所以α⊥β，④正确．答案：A6．解析：因为=OAOCOBOD，所以=OAOBODOC，所以=BACD，故四边形ABCD为平行四边形．答案：平行四边形7．解析：由条件知lgxy＝lg(x－2y)2，∴xy＝(x－2y)2，即x2－5xy＋4y2＝0，即xy2－5xy＋4＝0，∴xy＝4或xy＝1.又x＞2y，故xy＝4，∴2logxy＝2log4＝4.答案：48．解析：要证3a－3b＜3a－b，只需证(3a－3b)3＜(3a－b)3，即a－b－33a2b＋33ab2＜a－b，即33a2b－33ab2＞0，即3ab(3a－3b)＞0.故所需条件为3ab0，3a－3b0，或3ab0，3a－3b0，即ab＞0且a＞b或ab＜0且a＜b.答案：ab＞0且a＞b或ab＜0且a＜b9．证明：要证1a＋b＋1b＋c＝3a＋b＋c，只需证a＋b＋ca＋b＋a＋b＋cb＋c＝3.即证ca＋b＋ab＋c＝1，即c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，只需证c2＋a2＝ac＋b2.∵△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，∴B＝60°.由余弦定理，有b2＝c2＋a2－2cacos60°，即b2＝c2＋a2－ac，∴c2＋a2＝ac＋b2.命题得证．10．证明：(1)设AC，BD的交点为G，连接EG，因为EF∥AG，且EF＝1，AG＝12AC＝1，所以四边形AGEF为平行四边形，所以AF∥EG.因为EG⊂平面BDE，AF平面BDE，所以AF∥平面BDE.(2)连接FG.因为EF∥CG，EF＝CG＝1，且CE＝1，所以四边形CEFG为菱形，所以CF⊥EG.因为四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC．又因为平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，所以BD⊥平面ACEF，所以CF⊥BD．又BD∩EG＝G，所以CF⊥平面BDE.