江苏省天一中学2018届高三数学二轮复习三角测量应用题

专题9.2：三角测量应用题【拓展探究】探究1：以三角函数的定义为载体的三角应用题如图，两个圆形飞轮通过皮带传动，大飞轮1O的半径为r2（r为常数），小飞轮2O的半径为r，rOO421.在大飞轮的边缘上有两个点A，B，满足31ABO，在小飞轮的边缘上有点C．设大飞轮逆时针旋转一圈，传动开始时，点B，C在水平直线21OO上．m]（1）求点A到达最高点时A，C间的距离；（2）求点B，C在传动过程中高度差的最大值.【解】（1）以1O为坐标系的原点，12OO所在直线为x轴，如图所示建立直角坐标系．当点A到达最高点时，点A绕O1转过π6，则点C绕O2转过π3．此时A（0，2r），C93(,)22rr．∴2293()(2)252322ACrrrr．（2）由题意，设大飞轮转过的角度为θ，则小飞轮转过的角度为2θ，其中[0,2π]．此时B（2rcos，2rsin），C（4rrcos2，rsin2）．记点,BC高度差为d，则|2sinsin2|drr．即2|sinsincos|dr．设()sinsincosf，[0,2π]，则()(1cos)(2cos1)f．令()(1cos)(2cos1)0f，得1cos2或1．则2π3，4π3，0或2π．列表：02(0,π)32π324(π,π)334π34(π,2π)32π()f+00+()f0极大值f(2π3)]极小值f(4π3)0∴当θ2π3时，f(θ)取得极大值为334；当θ4π3时，f(θ)取得极小值为334．答：点B，C在传动中高度差的最大值max332dr．AOZOZCZBZ12．．．．．xy探究2：以三角函数的图象为载体的三角应用题如图，摩天轮的半径为50m，点O距地面的高度为60m，摩天轮做匀速转动，每3min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最低点处.（1）试确定在时刻t（min）时点P距离地面的高度；（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P距离地面超过85m?（3）求证：不论t为何值，)2()1()(tftftf是定值.【解】设点P离地面的距离为y，则可令y＝Asin(ωt＋φ)＋b.由题设可知A＝50，b＝60.又T＝2πω＝3，所以ω＝2π3，从而y＝50sin(2π3t＋φ)＋60.再由题设知t＝0时y＝10，代入y＝50sin(2π3t＋φ)＋60，得sinφ＝－1，从而φ＝－π2.因此，y＝60－50cos2π3t(t≥0).（2）要使点P距离地面超过85m，则有y＝60－50cos2π3t＞85，即cos2π3t＜－12.于是由三角函数基本性质推得2π3＜2π3t＜4π3，即1＜t＜2.所以，在摩天轮转动的一圈内，点P距离地面超过85m的时间有1分钟.探究3：以解三角形为载体的三角应用题1.在路边安装路灯，灯柱AB与地面垂直，灯杆BC与灯柱AB所在平面与道路垂直，且120ABC，路灯C采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知60ACD，路宽24AD米，设灯柱高ABh（米），ACB（3045）.（1）求灯柱的高h（用表示）；（2）若灯杆BC与灯柱AB所用材料相同，记此用料长度和为S，求S关于的函数表达式，并求出S的最小值．CBAD2.如图，将边长为3的正方形ABCD绕中心O顺时针旋转(0＜＜π2)得到正方形A′B′C′D′．根据平面几何知识，有以下两个结论：①∠A′FE＝；②对任意(0＜＜π2)，△EAL，△EA′F，△GBF，△GB′H，△ICH，△IC′J，△KDJ，△KD′L均是全等三角形．（1）设A′E＝x，将x表示为的函数；（2）试确定，使正方形A′B′C′D′与正方形ABCD重叠部分面积最小，并求最小面积．【解】（1）在Rt△EA′F中，因为∠A′FE＝，A′E＝x，所以EF＝xsin，A′F＝xtan．由题意AE＝A′E＝x，BF＝A′F＝xtan，所以AB＝AE＋EF＋BF＝x＋xsin＋xtan＝3．所以x＝3sin1＋sin＋cos，(0，π2)（2）S△A′EF＝12•A′E•A′F＝12•x•xtan＝x22tan＝(3sin1＋sin＋cos)2•cos2sin＝9sincos2(1＋sin＋cos)2．令t＝sin＋cos，则sincos＝t2－12．因为(0，π2)，所以＋π4(π4，3π4)，所以t＝2sin(＋π4)(1，2]．S△A′EF＝9(t2－1)4(1＋t)2＝94(1－2t＋1)≤94(1－22＋1)．正方形A′B′C′D′与正方形ABCD重叠部分面积S＝S正方形A′B′C′D′－4S△A′EF≥9－9(1－22＋1)＝18(2－1)．当t＝2，即＝π4时等号成立．3.如图所示，直立在地面上的两根钢管AB和CD，103ABm，33CDm，现用钢丝绳对这两根钢管进行加固，有两种方法：（1）如图（1）设两根钢管相距1m，在AB上取一点E，以C为支点将钢丝绳拉直并固定在地面的F处,形成一个直线型的加固（图中虚线所示）．则BE多长时钢丝绳最短？LKJIHGFEC'D'A'B'OADBCLKJIHGFEC'D'A'B'OADBC（2）如图（2）设两根钢管相距33m，在AB上取一点E，以C为支点将钢丝绳拉直并固定在地面的F处，再将钢丝绳依次固定在D处、B处和E处，形成一个三角形型的加固（图中虚线所示）．则BE多长时钢丝绳最短？【解】（1）设钢丝绳长为ym，CFD，则331331tancossincosy（其中002，0tan7），2233cossinsincosy当tan3时，即34BE时，min8y（2）设钢丝绳长为ym，CFD，则33331cossinsincosy（其中00，012333tan333）………9分223333cossin331sincoscossinsincossincosy令0y得sincos，当π4时，即36BE时min6322y………12分4.海岸线MAN，2,A现用长为l的拦网围成一养殖场，其中,BMACNA．（1）若BCl,求养殖场面积最大值；（2）若B、C为定点，BCl，在折线MBCN内选点D，使BDDCl，求四边形养殖场DBAC的最大面积；（3）若(2)中B、C可选择，求四边形养殖场ACDB面积的最大值.AEDCBFAEDCBF图1图2【解】（1）设,,0,0.ABxACyxy2222cos222cos2lxyxyxyxy，22222cos24sinllxy，22211cossin22sincos224sin4sinllSxy，所以，△ABC面积的最大值为2cos4sinl，当且仅当xy时取到．（2）设,(ABmACnmn，为定值)．2BCc(定值)，[由2DBDCla，a=12l，知点D在以B、C为焦点的椭圆上，1sin22ABCSmn为定值．只需DBC面积最大,需此时点D到BC的距离最大,即D必为椭圆短轴顶点．2222,4BCDlbaccS面积的最大值为221224lcbcc，因此,四边形ACDB面积的最大值为221sin224lmncc．（3）先确定点B、C，使BCl.由(2)知DBC为等腰三角形时，四边形ACDB面积最大.确定△BCD的形状，使B、C分别在AM、AN上滑动，且BC保持定值，由(1)知AB=AC时四边形ACDB面积最大.△ACD≌△ABD，∠CAD=∠BAD=θ，且CD=BD=2l.[来S=sin2122ADACSACD.由(1)的同样方法知，AD=AC时，三角形ACD面积最大，最大值为2tan4221ll.所以，四边形ACDB面积最大值为2tan82l.探究4：以立体几何为载体的三角应用题1.某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为803立方米，且2lr≥．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为(3)cc＞千元，设该容器的建造费用为y千元．（1）写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；（2）求该容器的建造费用最小时的r．【解】（I）设容器的容积为V，由题意知23480,,33VrlrV又故322248044203()333Vrlrrrrr由于2lr，因此02.r所以建造费用2224202342()34,3yrlrcrrrcr因此21604(2),02.ycrrr（2）由（1）得3221608(2)20'8(2)(),02.2cycrrrrrc由于3,20,cc所以当3320200,.22rrcc时令320,2mc则0m，所以2228(2)'()().cyrmrrmmr（1）当9022mc即时，易得rm是函数y的极小值点，也是最小值点。（2）当2m即932c时，当(0,2),'0,ry时函数单调递减，所以r=2是函数y的最小值点，综上所述，当932c时，建造费用最小时2;r当92c时，建造费用最小时320.2rc2.某部门要设计一种如图所示的灯架，用来安装球心为O，半径为R（米）的球形灯泡．该灯架由灯托、灯杆、灯脚三个部件组成，其中圆弧形灯托EDECEBEA,,,所在圆的圆心都是O、半径都是R（米）、圆弧的圆心角都是θ（弧度）；灯杆EF垂直于地面，杆顶E到地面的距离为h（米），且hR；灯脚FA1，FB1，FC1，FD1是正四棱锥FA1B1C1D1的四条侧棱，正方形A1B1C1D1的外接圆半径为R（米），四条灯脚与灯杆所在直线的夹角都为θ（弧度）．已知灯杆、灯脚造价都是每米a（元），灯托造价是每米3a（元），其中,,Rha都为常数．设该灯架的总造价为y（元）．（1）求y关于的函数关系式；（2）当取何值时，y取得最小值？【解】（1）延长EF与地面交于1O，由题意：11AFO，且1tanRFO，从而tanREFh，1sinRAF，OABCDEFA1DCB11144()3tansinaRRyRha.44cos()3sinyRaha，（2）设44cos()3sinf，令224sin312cos()3sinf2(12cos)(72cos)=03sin.3.当(0,)3时，'0y；(,)32时，'0y，设0,)2（，其中0tan1Rh，∴04.0,)32（，3时，y最小.答：当3时，灯架造价取得最小值.3.要制作一个由同底圆锥和圆柱组成的储油罐（如图），设计要求：圆锥和圆柱的总高度和圆柱底面半径相等，都为r米.市场上，圆柱侧面用料单价为每平方米a元，圆锥侧面用料单价分别是圆柱侧面用料单价和圆柱底面用料单价的4倍和2倍.设圆锥母线和底面所成角为（弧度），总费用为y（元）.（1）写出的取值范围；（2）将y表示成的函数关系式；（3）当为何值时，总费用y最小?【解】设圆锥的高为1h米，母线长为l米,圆柱的高为2h米；圆柱的侧面用料单价为每平方米2a元，圆锥的侧面用料单价为每平方米4a元.（1）(0,).4（2）圆锥的侧面用料费用为4arl,圆柱的侧面费用为22arh,圆柱的地面费用为22ar