江西师大附中2013届高三数学上学期期中考试试题文含解析新人教A版高中数学练习试题

1江西师大附中2013届高三上学期期中考试数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题只有一个选项是正确.1．（5分）已知z∈C，映射的实部，则3+4i的像为（）A．B．C．D．考点：复数代数形式的乘除运算；映射．.专题：计算题．分析：3+4i的像为的实部，化简后由实部的定义可得答案．解答：解：由题意可得：3+4i的像为的实部，化简得===，故其实部为，故选C点评：本题考查复数的代数形式的乘除运算，涉及模长和映射，属基础题．2．（5分）函数f（x）=x2﹣2x+2的值域为[1，2]，则f（x）的定义域不可能是（）A．（0，2]B．[0，1]C．[1，2]D．[0，3]考点：函数的定义域及其求法．.专题：计算题．分析：先对函数解析式平方，再求出f（x）=1或2对应的自变量，根据对称轴和值域判断符合条件的区间．解答：解：∵f（x）=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，∴f（1）=1，令f（x）=2得，x2﹣2x=0，解得，x=0或2，∵对称轴x=1，∴f（x）的定义域必须有1、0或2，且不能小于0或大于2，∴区间（0，2]，[0，1]，[1，2]都符合条件，由于区间[0，3]中有大于2的自变量，故函数值有大于2的，故答案为：D．点评：本题考查了二次函数的性质，即由值域确定函数的定义域问题．3．（5分）直线y=k（x﹣1）与圆x2+y2=1的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．相交或相切考点：直线与圆的位置关系．.专题：探究型；直线与圆．分析：利用直线y=k（x﹣1）恒过点（1，0），且直线的斜率存在，即可得到结论．2解答：解：直线y=k（x﹣1）恒过点（1，0），且直线的斜率存在∵（1，0）在圆x2+y2=1上∴直线y=k（x﹣1）与圆x2+y2=1的位置关系是相交故选C．点评：本题考查直线与圆的位置关系，确定直线y=k（x﹣1）恒过点（1，0），且直线的斜率存在是关键．4．（5分）下列命题中，真命题的个数为（）①直线的斜率随倾斜角的增大而增大；②若直线的斜率为tanα，则直线的倾斜角为α；③“两直线斜率相等”是“两直线平行”的必要不充分条件；④过一点且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线一定有3条；⑤双曲线的实轴长为2a．A．0个B．1个C．2个D．3个考点：命题的真假判断与应用．.专题：综合题．分析：根据正切函数在（0°，180°）上不是单调函数，可得α∈（0°，180°）时，α越大k越大是不正确的；因为斜率为tanα的角由无数个，而直线的倾斜角仅有一个，故②不正确；“两直线斜率相等”是“两直线平行”的即不充分也不必要条件，故③不正确；过坐标轴上一点（非原点），在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有2条，故④不正确；双曲线的实轴长为2b，故⑤不正确；解答：解：正切函数在（0°，90°）和（90°，180°）上均为增函数，但在（0°，180°）上不是单调函数，故①直线的斜率随倾斜角的增大而增大不正确；若一条直线的斜率为tanα，则此直线的倾斜角为β=α+k×180°，k∈z，且0°≤β＜180°，故②不正确．“两直线斜率相等”时，两直线可能重合，“两直线平行”时两直线斜率可能同时不存在，故“两直线斜率相等”是“两直线平行”的即不充分也不必要条件，故③不正确；过过坐标轴上一点（非原点），在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有2条，过原点在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有无数条，过象限内一点，在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有3条，故④不正确；双曲线的实轴长为2b，故⑤不正确故选A点评：本题以命题的真假判断为载体，考查了直线的倾斜角与斜率的关系，直线平行的充要条件，直线的截距，双曲线的简单性质等知识点，难度中档．35．（5分）过点P（3，4）且与坐标轴围成的三角形面积为25的直线有（）A．1条B．2条C．3条D．4条考点：直线的一般式方程．.专题：计算题．分析：根据题意可设所求直线的方程为：y﹣4=k（x﹣3），其中k≠0，然后令x、y分别为0，可求出三角形的边长，可得=25，研究方程解的情况即可．解答：解：由题意所求直线的斜率必存在且不为0，并设其斜率为k，（k≠0）于是所求直线方程为y﹣4=k（x﹣3），令x=0，可得y=4﹣3k，令y=0，可得x=，故面积为=25，即（3k﹣4）2=50|k|，∴当k＞0时，上式可化为9k2﹣74k+16=0，有△＞0且k1+k2＞0，k1k2＞0，故此方程有两个大于0的实数解，即有两条斜率大于0的直线满足题意；同理当k＜0时，上式可化为9k2+26k+16=0，有△＞0且k1+k2＜0，k1k2＞0，故此方程有两个小于0的实数解，即有两条斜率小于0的直线满足题意；综上共有4条直线满足题意，故选D点评：本题考查直线方程的求解，解题的关键是得出所求直线方程的斜率存在且不为0，根据题意列出关于k的方程，并由根与系数的关系作出解的个数的判断．6．（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项积为Tn，a2、a4是方程x2+5x+4=0的两个根，且b1=a2，b5=a4，则S5T5=（）A．400B．﹣400C．±400D．﹣200考点：等比数列的性质；等差数列的性质．.专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：等差数列{an}中，由a2、a4是方程x2+5x+4=0的两个根，知a2+a4=﹣5，a2•a4=4，由此能求出S5；由等比数列{bn}中，b1=a2，b5=a4，得到=±2，由等比数列{bn}的前n项积为Tn，能求出T5．由此能够求出S5T5．解答：解：∵等差数列{an}中，a2、a4是方程x2+5x+4=0的两个根，∴a2+a4=﹣5，a2•a4=4，∴S5===﹣，∵等比数列{bn}中，b1=a2，b5=a4，∴b1b5=（b1q2）2=a2•a4=4，∴=±2，∵等比数列{bn}的前n项积为Tn，4∴T5==（）5=±32，∴S5T5=±400．故选C．点评：本题考查等差数列和等比数列的性质及其应用，解题时要认真审题，注意韦达定理的合理运用．7．（5分）已知，则下列说法不正确的是（）A．若，则sin（α﹣θ）=0B．若，则cos（α﹣θ）=0C．D．与的夹角为|α﹣θ|考点：平面向量数量积的运算；平行向量与共线向量；数量积表示两个向量的夹角．.专题：计算题；平面向量及应用．分析：根据向量数量积的坐标运算法则，结合三角函数的性质对选项进行逐一验证即可．解答：解：∵，∴若，则cosθsinα﹣sinθcosα=0，∴sin（α﹣θ）=0，故A正确；∵，∴若，则cosθcosα+sinθsinα=0∴cos（α﹣θ）=0，故B正确；∵，∴=1，=1，∴﹣=（）（）=0，∴（）⊥（），故C正确；∵，∴cos＜＞==cos＜θ﹣α＞，∴与的夹角为|θ﹣α|，或π﹣|θ﹣α|．故D不成立．故选D．点评：本题主要考查向量数量积的运算．解题时要明确两向量互相垂直时，二者的数量积等5于0．8．（5分）在△ABC中，B（﹣2，0），C（2，0），A（x，y），若△ABC满足条件分别为①周长为10；②∠A=90°；③kABkAC=1．则A的轨迹方程分别是a：x2+y2=4（y≠0）；；c：x2﹣y2=4（y≠0），则正确的配对关系是（）A．①a②b③cB．①b②a③cC．①c②a③bD．①b②c③a考点：轨迹方程．.专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：①由△ABC的周长为10，知AB+AC=6＞BC，故动点A的轨迹为椭圆，与b对应；②∠A=90°，由向量知识导出x2+y2﹣4=0，与c对应；③kABkAC=1，由直线斜率导出x2+y2=4，与a对应．解答：解：△ABC中，∵B（﹣2，0），C（2，0），A（x，y），∴BC=4，=（﹣2﹣x，﹣y），=（2﹣x，﹣y），kAB=，kAC=，①△ABC的周长为10，即AB+AC+BC=10，而BC=4，所以AB+AC=6＞BC，故动点A的轨迹为椭圆，与b对应；②∠A=90°，故•=（﹣2﹣x，﹣y）（2﹣x，﹣y）=x2+y2﹣4=0，与a对应；③kABkAC=1，故．即x2﹣y2=4，与c对应．故选B．点评：本题考查轨迹方程的求法，具体涉及到椭圆、圆、双曲线、向量、直线等基本知识点，解题时要注意等价转化思想的合理运用．9．（5分）（2012•朝阳区一模）已知点集A={（x，y）|x2+y2﹣4x﹣8y+16≤0}，B={（x，y）|y≥|x﹣m|+4，m是常数}，点集A所表示的平面区域与点集B所表示的平面区域的边界的交点为M，N．若点D（m，4）在点集A所表示的平面区域内（不在边界上），则△DMN的面积的最大值是（）A．1B．2C．D．4考点：简单线性规划的应用．.专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：先确定点D在直线y=4上，集合A表示的平面区域是图中圆O′的内部，集合B表示的平面区域是图中直角的内部，由此可得结论．解答：解：由题意，点D在直线y=4上，集合A表示的平面区域是图中圆O′的内部，集合B表示的平面区域是图中直角的内部当D运动到O′时，△DMN的面积的最大值，此时三角形是一个直角边为2的等腰直角三角形，所以面积为2故选B．6点评：本题考查图形面积的计算，考查平面区域的确定，正确确定平面区域是关键．10．（5分）（2013•成都一模）定义在（﹣1，1）上的函数；当x∈（﹣1，0）时，f（x）＞0，若，，则P，Q，R的大小关系为（）A．R＞Q＞PB．R＞P＞QC．P＞R＞QD．Q＞P＞R考点：不等关系与不等式．.专题：新定义．分析：在已知等式中取x=y=0，可求得f（0）=0，取﹣1＜x＜y＜1，能说明，所以说明，从而说明函数f（x）在（﹣1，1）上为减函数，再由已知等式把化为一个数的函数值，则三个数的大小即可比较．解答：解：取x=y=0，则f（0）﹣f（0）=f（0），所以，f（0）=0，设x＜y，则，所以所以f（x）＞f（y），所以函数f（x）在（﹣1，1）上为减函数，由，得：取y=，，则x=，所以，因为0＜，所以所以R＞P＞Q．7故选B．点评：本题考查了不等关系与不等式，考查了特值思想，解答此题的关键是能够运用已知的等式证出函数是给定区间上的减函数，同时需要借助于已知等式把P化为一个数的函数值，是中等难度题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共20分.11．（5分）直线3x+4y﹣15=0被圆x2+y2=25截得的弦AB的长为8．考点：直线与圆相交的性质．.专题：计算题．分析：求出圆的圆心坐标、半径，利用圆心到直线的距离、半径、半弦长满足勾股定理，求出半弦长即可．解答：解：x2+y2=25的圆心坐标为（0，0）半径为：5，所以圆心到直线的距离为：d=，所以|AB|==4，所以|AB|=8故答案为：8点评：本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离、弦长问题，考查计算能力．12．（5分）已知P是椭圆上一点，若，则|PF1||PF2|=4．考点：椭圆的简单性质．.专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由P是椭圆上一点，，利用椭圆的第一定义和余弦定理联立，能够求出|PF1||PF2|．解答：解：∵P是椭圆上一点，∴|PF1|+|PF2|=4，两边平方，得|PF1|2+|PF2|2+2|PF1||PF2|=16，①在△F1PF2中，∵|F1F2|=2，，∴由余弦定理，得|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|cos60°=4，即|PF1|2+|PF2|2﹣|PF1||PF2|=4，②①﹣②，得：3|PF1||PF2|=12，∴|PF1||PF2|=4．故答案为：4．8点评：本题考查椭圆的简单性质的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意椭圆的第一定义和余弦定理的灵活运用．13．（5分）已知a，b∈R+，直线bx﹣ay﹣ab=0始终平分圆（x﹣1）2+（y+4）2=4，则a+b的最小值为9．考点：基本不等式；直线与圆相交的性质．.专题：计算题；直线与圆．分析：由题意可知直线经过圆的圆心，求出圆的圆心，代入直线方程得到a，b的关系