中考数学根与系数关系培优练习含答案

中考数学根与系数关系培优练习阅读与思考根与系数的关系称为韦达定理，其逆定理也成立，是由16世纪的法国数学家韦达所发现的．韦达定理形式简单而内涵丰富，在数学解题中有着广泛的应用，主要体现在：1．求方程中字母系数的值或取值范围；2．求代数式的值；3．结合根的判别式，判断根的符号特征；4．构造一元二次方程；5．证明代数等式、不等式．当所要求的或所要证明的代数式中的字母是某个一元二次方程的根时，可先利用根与系数的关系找到这些字母间的关系，然后再结合已知条件进行求解或求证，这是利用根与系数的关系解题的基本思路，需要注意的是，应用根与系数的关系的前提条件是一元二次方程有两个实数根，所以，应用根与系数的关系解题时，必须满足判别式△≥0．例题与求解【例1】设关于x的二次方程22(4)(21)10mxmx(其中m为实数)的两个实数根的倒数和为s，则s的取值范围是_________.【例2】如果方程2(1)(2)0xxxm的三个根可以作为一个三角形的三边长，那么，实数m的取值范围是_________.A．01mB．34mC．314mD．314m【例3】已知，是方程2780xx的两根，且．不解方程，求223的值．【例4】设实数,st分别满足22199910,99190sstt并且1st，求41stst的值．【例5】（1）若实数,ab满足258aa，258bb，求代数式1111baab的值；（2）关于,,xyz的方程组32236xyzaxyyzzx有实数解(,,)xyz，求正实数a的最小值；（3）已知,xy均为实数，且满足17xyxy，2266xyxy，求432234xxyxyxyy的值．【例6】,,abc为实数，0ac，且2350abc，证明一元二次方程20axbxc有大于35而小于1的根．能力训练A级1．已知m，n为有理数，且方程20xmxn有一个根是52，那么mn=．2．已知关于x的方程230xxm的一个根是另一个根的2倍，则m的值为．3．当m=时，关于x的方程228(26)210xmmxm的两根互为相反数；当时，关于x的方程22240xmxm的两根都是正数；当时，关于m的方程23280xxm有两个大于2的根．4．对于一切不小于2的自然数n．关于x的一元二次方程22(2)20xnxn的两根记为,nnab(2)n则223320072007111(2)(2)(2)(2)(2)(2)ababab．5．设12,xx是方程222(1)(2)0xkxk的两个实根，且12(1)(1)8xx，则k的值为（）A．31或B．3C．1D．12k的一切实数6．设12,xx是关于x的一元二次方程22xxnmx的两个实数根，且1210,30xxx，则（）A．12mnB．12mnC．12mnD．12mn7．设12,xx是方程220xxk的两个不等的实数根，则22122xx是（）A．正数B．零C．负数D．不大于零的数8．如图，菱形ABCD的边长是5，两对角线交于O点，且AO，BO的长分别是关于x的方程22(21)30xmxm的根，那么m的值是（）A．3B．5C．53或D．53或9．已知关于x的方程：22(2)04mxmx．（1）求证：无论m取什么实数值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若这个方程的两个根是12,xx，且满足212,xx求m的值及相应的12,xx．10．已知12,xx是关于x的一元二次方程2430kxx的两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）是否存在这样的实数k，使12123222xxxx成立？若存在，求k的值；若不存在，说明理由．11．如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，过C点作CD⊥AB于D，设AD＝m，BD＝n，且AC2：BC2＝2：1；又关于x的方程012)1(24122mxnx两实数根的差的平方小于192，求整数m、n的值．DBAC12．已知,mn是正整数，关于x的方程2()0xmnxmn有正整数解，求,mn的值．B级1．设1x，2x是二次方程032xx的两根，则3212419xx=．2．已知1ab，且有25199580aa及28199550bb则ab．3．已知关于x的一元二次方程2610xxk的两个实数根是12,xx，且221224xx，则k．4．已知12,xx是关于x的一元二次方程22xaxa的两个实数根，则1221(2)(2)xxxx的最大值为．5．如果方程210xpx（p＞0）的两根之差为1，那么p等于（）A．2B．4C．3D．56．已知关于x的一元二次方程2210xmxm的两个实数根分别是12,xx，且22127xx，则212()xx的值是()A．1B．12C．13D．257．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，a、b是关于x的方程0772cxx的两根，那么AB边上的中线长是()A．23B．25C．5D．28．设213aa，213bb且ab，则代数式2211ab的值为（）A．5B．7C．9D．119．已知,ab为整数，ab，且方程233()40xabxab的两个根,满足关系式(1)(1)(1)(1)．试求所有整数点对(,)ab．10．若方程2310xx的两根,也是方程620xpxq的两根，其中,pq均为整数，求,pq的值．11.设,ab是方程2310xx的两根，c，d是方程2420xx的两根，已知abcdMbcdcdadababc．求证：（1）222277abcdMbcdcdadababc；（2）33334968abcdMbcdcdadababc．12．设m是不小于1的实数，使得关于x的一元二次方程222(2)310xmxmm有两个不相等实数根12,xx．（1）若22126xx，求m的值；（2）求22121211mxmxxx的最大值．13．已知关于x的一元二次方程20xcxa的两个整数根恰好比方程20xaxb的两个根都大1，求abc的值．根与系数的关系例1.152s且3,5ss例2.C提示:设三根为121,,xx,则121xx例3.设223,A223,B31004AB①85174AB②解由①②联立的方程组得1(4038517)8A例4.0,s故第一个等式可变形为211()99()190,ss又11,,stts是一元二次方程299190xx的两个不同实根,则1199,19,ttss即199,19.ststs故41994519stsssts例5.(1)当ab时,原式=2;当ab时,原式=-20,故原式的值为2或-20(2)由方程组得232,326(6),xyazxyzaz易知3,2xy是一元二次方程22()6(6)0taztzaz的两个实数根,0,即2223221440zaza,由z为实数知,22'(22)423(144)0,aa解得23,a故正实数a的最小值为23(3)xy与xy是方程217660mm的两个实根,解得11,6xyxy或6,()xy11.xy舍原式=222222212499xyxyxyxy．例6解法一：∵ac＜0，2=40bac＞，∴原方程有两个异号实根，不妨设两个根为x1，x2，且x10x2，由韦达定理得x1+x2=ba，12cxxa，由2350bbc，得2+350bcaa，即12122350xxxx，解得1213253xxx，假设235x≤，则11323553xx≤，由10x＜推得103≥不成立，故235x＞；假设21x≥，则1132153xx≥，由10x＜推得132053x≥＞，矛盾．故21x＜，综上所述2315x＜＜．解法二：设2fxaxbxc，由条件得1253bac，得3333131025555555fabcaacca，1132533fabcaac．若a＞0，0c＜，则305f＜，10f＞；若a＜0，0c＞，则305f＞，10f＜．∴0ac＜时，总有3105ff＜，故原方程必有一根介于35与1之间．A级1．32．23．-2m＞20＜m≤183提示：12x＞，22x＞与124xx＞，124xx＞不等价．4．100134016提示：由条件得2nnabn，22nnabn，则2221nnabnn，则211112221nabnn．5．C6．C7．A8．A9．提示：（1）2=2120m＞（2）2124mxx≤0，m=4或m=0．10．（1）43k＞且0k≠（2）存在k=411．由题意得2mn，224840nmn＜．当n=1时，m=2；当n=2时，m=4．12．设方程两根为1x，2x，则1212,.xxmnxxmn∵m，n，1x，2x均为正整数，设121xx≥≥，1mn≥≥，则1212xxxxmnmn，即有1211112xxmn，则12112,1,0,110,1,2.xxmn∴123,2,5,2,2,1,5,2,3,1,2,2.xxmn故5,2,3,1;2;2.mmmnnnB级1．0提示：由条件得21130xx，22230xx，∴2113xx，2223xx，∴3211111111333343xxxxxxxx，∴原式=121212434319431241944xxxxxx．又∵121xx,∴原式=0．2．853．54．638提示：2=240a＞，原式=2963632488a≤．5．D6．C7．B8．B9．231，由根与系数关系得241abab，即21ab，a-b=1．又由0≥得2316abab≥，从而24ab≤．由a-b=1，24ab≤，得满足条件的整数点对（a，b）是（1,0）或（0，-1）．104447，662248p，2244227q．11．a+b=3,c+d=4,ab=1,cd=2,a+b+c+d=7,222219abcd．(1)原式=7aabcdabcddabcddabcaabcdabcbcd…+77777.bcdbcdMcdadababc（2）原式=2222aabcdabcddabcddabcbcdabc…+22227774968MabcdM．12．（1）5172m．（2）原式=22212121221212352312122mxxxxxxmmmxxxx