湖北省仙桃市天门市潜江市20182019学年高二上期末数学试卷理科

2018-2019学年湖北省仙桃市、天门市、潜江市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）过点（1，2）且在两坐标轴上截距互为相反数的直线条数为（）A．1B．2C．3D．42．（5分）已知m，n是两条不重合的直线，α，β是不重合的平面，下面四个命题中正确的是（）A．若m⊂α，n∥α，则m∥nB．若m⊥n，m⊥β，则n∥βC．若α∩β＝n，m∥n，则m∥α且m∥βD．若m⊥α，m⊥β，则α∥β3．（5分）已知双曲线方程为＝1，则其渐近线方程为（）A．y＝B．y＝±C．y＝±D．y＝±4．（5分）点A，B的坐标分别是（﹣1，0），（1，0），直线AM与BM相交于点M，且直线AM与BM的斜率的商是λ（λ≠1），则点M的轨迹是（）A．直线B．圆C．椭圆D．抛物线5．（5分）下列命题中的假命题是（）A．对于命题，，则￢p：∀∈R，x2+x＞0B．“x＝3”是“x2﹣3x＝0”的充分不必要条件C．若命题p∨q为真命题，则p，q都是真命题D．命题“若x2﹣3x+2＞0，则x＞2”的逆否命题为：“若x≤2，则x2﹣3x+2≤0”6．（5分）已知某几何体是由一个侧棱长为6的三棱柱沿着一条棱切去一块后所得，其三视图如图所示，侧视图是一个等边三角形，则切去部分的体积等于（）A．4B．8C．12D．207．（5分）直线2ax+（a2+1）y﹣1＝0（a＞0）的倾斜角的取值范围是（）A．[﹣）B．（0，]C．（]D．[）8．（5分）已知圆C：x2+y2﹣8x+15＝0，直线y＝kx+2上至少存在一点P，使得以P为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的取值范围是（）A．B．C．D．9．（5分）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，则直线m与直线BC所成角的正弦值为（）A．B．C．1D．10．（5分）已知在平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB＝3，AD＝4，AA′＝5，∠BAD＝120°，∠BAA′＝60°，∠DAA′＝90°，则AC′的长为（）A．B．C．D．11．（5分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0），过其右焦点F作x轴的垂线交双曲线于A、B两点，若双曲线的左顶点C满足•≥0，则双曲线离心率的最大值是（）A．B．2C．D．312．（5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD是边长为4的正三角形底面ABCD为正方形侧面PAD⊥底面ABCD，M为平面ABCD上的动点，且满足＝0，则点M到直线AB的最远距离为（）A．2B．3+C．4+D．4+2二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分13．（5分）已知椭圆＝1的左右焦点分别为F1，F2，过右焦点F2的直线AB与椭圆交于A，B两点，则△ABF1的周长为．14．（5分）在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面ACD，∠CAD＝90°，AB＝2，AC＝3，AD＝4，则三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积为．15．（5分）已知实数x，y满足不等式组，则+1的最大值为．16．（5分）给出下列命题，其中所有正确命题的序号是．①抛物线y2＝8x的准线方程为y＝2；②过点M（2，4）作与抛物线y2＝8x只有一个公共点的直线l仅有1条；③P是抛物线y2＝8x上一动点，以P为圆心作与抛物线准线相切的圆，则此圆一定过定点Q（2，0）．④抛物线y2＝8x上到直线x﹣y+3＝0距离最短的点的坐标为M（2，4）．三、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤17．（10分）已知命题p：＝1表示椭圆，命题：q：∃x∈R，mx2+2mx+2m﹣1≤0．（1）若命题q为真，求实数m的取值范围；（2）若p∨q为真，￢p为真，求实数m的取值范围．18．（12分）已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为A（﹣1，4），B（﹣2，﹣1），C（2，3）．（1）在△ABC中求边AC的高线所在直线的一般方程；（2）求平行四边形ABCD的对角线BD的长度；（3）求平行四边形ABCD的面积．19．（12分）如图，已知在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．（1）试在棱CD上确定一点M，使平面BEM∥平面PAD，说明理由．（2）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F﹣AB﹣C的余弦值．20．（12分）为了落实国家“精准扶贫”的各项政策，帮助广大人民群众实现共同富裕的目标，各地政府结合当地实际情况展开了一系列的帮扶活动，某村在当地政府的支持指导下，计划种植A，B两种蔬菜．已知A，B的种植成本分别为每亩3000元和5000元，每亩的预期产量分别为3000千克和3500千克，该村目前可利用的空地为40亩，可利用的资金为150000元，A，B两种蔬菜的市场利润分别为3元/千克和4元/千克．假设计划种植A种蔬菜x亩，B种蔬菜y亩，请你设计一个最佳的种植方案帮助该村实现利润z最大，并求出最大利润．21．（12分）已知圆O：x2+y2＝4，直线l：y＝kx+4．（1）若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当|AB|＝2时，求实数k的值；（2）若k＝1，P是直线上的动点，过P作圆O的两条切线PC、PD，切点分别为C、D，试探究：直线CD是否过定点．若存在，请求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．22．（12分）已知椭圆C：＝1，直线l：y＝kx+1，若椭圆C上存在两个不同的点P，Q关于l对称，设PQ的中点为M．（1）证明：点M在某定直线上；（2）求△OPM面积的取值范围．2018-2019学年湖北省仙桃市、天门市、潜江市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）过点（1，2）且在两坐标轴上截距互为相反数的直线条数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】由题意可得：直线经过原点时满足条件．直线不经过原点时，设直线方程为：x﹣y＝a，把点（1，2）代入解得a即可得出．【解答】解：由题意可得：直线经过原点时满足条件，此时方程为：y＝2x．直线不经过原点时，设直线方程为：x﹣y＝a，把点（1，2）代入可得：a＝﹣1．可得直线方程为：y﹣x﹣1＝0．综上满足条件的直线条数为2．故选：B．【点评】本题考查了直线方程、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．（5分）已知m，n是两条不重合的直线，α，β是不重合的平面，下面四个命题中正确的是（）A．若m⊂α，n∥α，则m∥nB．若m⊥n，m⊥β，则n∥βC．若α∩β＝n，m∥n，则m∥α且m∥βD．若m⊥α，m⊥β，则α∥β【分析】在A中，m与n平行或异面；在B中，n∥β或n⊂β；在C中，m∥α且m∥β或m∥α且m⊂β或m⊂α且m∥β；在D中，由面面平行的判定定理得α∥β．【解答】解：由m，n是两条不重合的直线，α，β是不重合的平面，知：在A中，若m⊂α，n∥α，则m与n平行或异面，故A错误；在B中，若m⊥n，m⊥β，则n∥β或n⊂β，故B错误；在C中，若α∩β＝n，m∥n，则m∥α且m∥β或m∥α且m⊂β或m⊂α且m∥β，故C错误；在D中，若m⊥α，m⊥β，则由面面平行的判定定理得α∥β，故D正确．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识的灵活运用，是中档题．3．（5分）已知双曲线方程为＝1，则其渐近线方程为（）A．y＝B．y＝±C．y＝±D．y＝±【分析】直接利用双曲线方程求解双曲线的渐近线即可．【解答】解：双曲线方程为＝1，则渐近线方程为：±＝0即y＝±．故选：A．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，基本知识的考查．4．（5分）点A，B的坐标分别是（﹣1，0），（1，0），直线AM与BM相交于点M，且直线AM与BM的斜率的商是λ（λ≠1），则点M的轨迹是（）A．直线B．圆C．椭圆D．抛物线【分析】设点M的坐标，利用直线AM与BM的斜率的商是λ（λ≠1），建立方程，即可求得点M的轨迹方程．【解答】解：设点M的坐标为（x，y），则∵点A，B的坐标分别是（﹣1，0），（1，0），直线AM与BM的斜率的商是λ（λ≠1），∴，，可得λx﹣x+1+λ＝0．则点M的轨迹是直线．故选：A．【点评】本题考查轨迹方程，考查学生的计算能力，属于基础题．5．（5分）下列命题中的假命题是（）A．对于命题，，则￢p：∀∈R，x2+x＞0B．“x＝3”是“x2﹣3x＝0”的充分不必要条件C．若命题p∨q为真命题，则p，q都是真命题D．命题“若x2﹣3x+2＞0，则x＞2”的逆否命题为：“若x≤2，则x2﹣3x+2≤0”【分析】由特称命题的否定为全称命题，可判断A；由二次方程的解法和充分必要条件的定义可判断B；由p或q为真命题，可得p，q中至少有一个为真，可判断C；由原命题的逆否命题的形式，即可判断D．【解答】解：对于命题，，则￢p：∀∈R，x2+x＞0，故A正确；“x＝3”可得“x2﹣3x＝0”，反之，不能得到x＝3，“x＝3”是“x2﹣3x＝0”的充分不必要条的充分不必要条件，故B正确；若命题p∨q为真命题，则p，q中至少有一个为真命题，故C错误；命题“若x2﹣3x+2＞0，则x＞2”的逆否命题为：“若x≤2，则x2﹣3x+2≤0”，故D正确．故选：C．【点评】本题考查命题的否定和命题的逆否命题，以及充分必要条件的判断和复合命题的真假判断，考查判断能力，属于基础题．6．（5分）已知某几何体是由一个侧棱长为6的三棱柱沿着一条棱切去一块后所得，其三视图如图所示，侧视图是一个等边三角形，则切去部分的体积等于（）A．4B．8C．12D．20【分析】首先把几何体的三视图转换为几何体，进一步利用几何体的体积公式求出结果．【解答】解：根据几何体的三视图，转换为几何体：即：底面边长为4的等边三角形高为6的直棱柱，切去一个高底面为4的三角形高为3的三棱锥．故切去部分的体积为：V＝＝4．故选：A．【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．7．（5分）直线2ax+（a2+1）y﹣1＝0（a＞0）的倾斜角的取值范围是（）A．[﹣）B．（0，]C．（]D．[）【分析】设直线2ax+（a2+1）y﹣1＝0（a＞0）的倾斜角为θ，θ∈[0，π）．可得0＞tanθ＝＝，利用基本不等式的性质、不等式的基本性质即可得出．【解答】解：设直线2ax+（a2+1）y﹣1＝0（a＞0）的倾斜角为θ，θ∈[0，π）．则0＞tanθ＝＝≥﹣1．∴θ∈．故选：D．【点评】本题考查了直线的方程斜率与倾斜角、基本不等式的性质、不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8．（5分）已知圆C：x2+y2﹣8x+15＝0，直线y＝kx+2上至少存在一点P，使得以P为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】问题等价于圆心（4，0）到直线l的距离小于等于2．【解答】解：问题等价于圆心（4，0）到直线l的距离小于等于2，∴≤2，解得﹣≤k≤0，故选：C．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．9．（5分）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，则直线m与直线BC所成角的正弦值为（）A．B．C．1D．【分析】作出α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，可知：m∥B1D1∥BD，从而∠DBC是直线m与直线BC所成角（或所成角的补角），由此能求出直线m与直线BC所成角的正弦值．【解答】解：如图：α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，可知：m∥B1D1∥BD，∴∠DBC是直线m与直线BC所成角（或所成角的补角），∵BC⊥DC，BC⊥DC，∴∠DBC＝45°，∴sin∠DBC＝．∴直线m与直线BC所成角的正弦值为．故选：B．【点评】本题考查异面直线所成角的求