湖北黄冈市高三期末数学

高考帮——帮你实现大学梦想！1/12黄冈市2017年元月高三年级调研考试理科试题2017年元月9日第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.设复数121,1zizi，其中i是虚数单位，则12zz的模为A.14B.2C.12D.12.下列说法正确的是A.“若1a，则21a”的否命题是“若1a，则21a”B.在ABC中，“AB”是“22sinsinAB”必要不充分条件C.“若tan3，则3”是真命题D.0,0x使得0034xx成立3.我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有堩厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现有程序框图描述，如图所示，则输出结果nA.4B.5C.2D.34.下列四个图中，函数ln11xyx的图象可能是5.设实数,xy满足22202yxxyx，则13yx的取值范围是高考帮——帮你实现大学梦想！2/12A.1,5B.1,15C.11,53D.1,136.如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为S为SRrl（注：圆台侧面积公式为）A.17317B.20517C.22D.175177.已知ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，且0OAABAC，则向量CA在向量CB方向上的投影为A.3B.3C.3D.38.在正三棱柱111ABCABC中，若12ABBB，则1AB与1BC所成角的大小为A.6B.3C.512D.29.已知函数sin2cos0yxx的图象关于直线1x对称，则sin2A.35B.35C.45D.4510.已知函数fx是定义在R上的偶函数,1fx为奇函数，00f,当0,1x时，2logfxx，则在区间8,9内满足方程122fxf的实数x为A.172B.658C.334D.67811.如图，给定由10个点（任意相邻两点距离为1,）组成的正三角形点阵，在其中任意取三个点，以这三个点为顶点构成的正三角形的个数是A.12B.13C.15D.1612.已知函数lnln,1xfxxfxx在0xx处取得最大值，以下各式中：①00fxx②00fxx③00fxx④012fx⑤012fx正确的序号是A.②④B.②⑤C.①④D.③⑤高考帮——帮你实现大学梦想！3/12第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.设函数2,12,1xxfxx，则满足110xfx的x取值范围为.14.多项式623abc的展开式中23abc的系数为.（用数字作答）15.有一个电动玩具，它有一个96的长方形（单位：cm）和一个半径为1cm的小圆盘（盘中娃娃脸），他们的连接点为A,E,打开电源，小圆盘沿着长方形内壁，从点A出发不停地滚动（无滑动），如图所示，若此时某人向该长方形盘投掷一枚飞镖，则能射中小圆盘运行区域内的概率为.16.设数列na满足122,6aa，且2122nnnaaa，若x表示不超过x的最大整数，则122017201720172017aaa.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分10分）已知函数21,1.fxxgxax（1）若关于x的方程fxgx只有一个实数解，求实数a的取值范围；（2）若当xR时，不等式fxGX恒成立，求实数a的取值范围.18.（本题满分12分）函数sin0,2fxx的部分图像如图所示，将yfx的图象向右平移4个单位长度后得到函数ygx的图象.（1）求函数ygx的解析式；（2）在ABC中，角A,B,C满足22sin123ABgC，且其外接圆的半径R=2，求ABC的面积的最大值.高考帮——帮你实现大学梦想！4/1219.（本题满分12分）已知数列na的前n项和1122nnnSa，n为正整数.（1）令2nnnba，求证：数列nb为等差数列，并求出数列na的通项公式；（2）令121,nnnnncaTcccn，求nT.20.（本题满分12分）为了引导居民合理用水，某市决定全面实施阶梯水价，阶梯水价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月用水量为基准定价，具体划分标准如下表：从本市随机抽取了10户家庭，统计了同一个月的用水量，得到右边的茎叶图：（1）现要在这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯水量的户数的分布列和数学期望；（2）用抽到的10户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全市依次随机抽取10户，若抽到n户月用水用量为第二阶梯水量的可能性最大，求出n的值.21.（本题满分12分）如图，在各棱长均为2的三棱柱111ABCABC中，侧面11AACC底面ABC，160.AAC（1）求侧棱1AA与平面1ABC所成角的正弦值的大小；（2）已知点D满足BDBABC，在直线1AA上是否存在点P,使DP//平面1ABC？若存在，请确定点P的位置，若不存在，请说明理由.高考帮——帮你实现大学梦想！5/1222.（本题满分12分）已知函数2ln2afxxxxxaaR在定义域内有两个不同的极值点.（1）求实数a的取值范围；（2）记两个极值点为12,xx，且12xx，已知0，若不等式12xxe恒成立，求的取值范围.一、选择题1-12DCACBDBDDBCA二、填空题：13.14.-648015.16.2016三：解答题17.解：（Ⅰ）方程|f（x）|=g（x），即|x2﹣1|=a|x﹣1|，变形得|x﹣1|（|x+1|﹣a）=0，显然，x=1已是该方程的根，从而欲使原方程只有一解，即要求方程|x+1|=a有且仅有一个等于1的解或无解，∴a＜0．…………5分（Ⅱ）当x∈R时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，即（x2﹣1）≥a|x﹣1|（*）对x∈R恒成立，①当x=1时，（*）显然成立，此时a∈R；②当x≠1时，（*）可变形为a≤，令φ（x）==因为当x＞1时，φ（x）＞2，当x＜1时，φ（x）＞﹣2，所以φ（x）＞﹣2，故此时a≤﹣2．综合①②，得所求实数a的取值范围是a≤﹣2．…………10分18.（Ⅰ）由图知，解得高考帮——帮你实现大学梦想！6/12∵∴，即由于，因此……………………3分∴∴即函数的解析式为………………6分（Ⅱ）∵∴∵，即，所以或1（舍），……8分由正弦定理得，解得由余弦定理得∴，（当且仅当a=b等号成立）∴∴的面积最大值为.……………………12分高考帮——帮你实现大学梦想！7/1219.解：（I）在中，令n=1，可得，即当时，，.又数列是首项和公差均为1的等差数列.于是.……6分(II)由（I）得，所以由①-②得……12分20.解：（1）由茎叶图可知抽取的10户中用水量为一阶的有2户，二阶的有6户，三阶的有2户。第二阶梯水量的户数X的可能取值为0,1,2,3………………1分，，高考帮——帮你实现大学梦想！8/12所以X的分布列为X0123P………………………5分EX=……………………………6分(2)设Y为从全市抽取的10户中用水量为二阶的家庭户数，依题意得Y～B,所以，其中………………8分设…………………10分若，则，；若，则，。所以当或，可能最大，所以的取值为6。………………12分21.解：（1)∵侧面底面，作于点，∴平面．又，且各棱长都相等，∴，，．…2分故以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，高考帮——帮你实现大学梦想！9/12∴，，．……4分设平面的法向量为，则,解得．由．而侧棱与平面所成角，即是向量与平面的法向量所成锐角的余角，∴侧棱与平面所成角的正弦值的大小为…………………6分（2）∵，而∴又∵，∴点的坐标为．假设存在点符合题意，则点的坐标可设为，∴．∵，为平面的法向量，∴由，得．……………10分又平面，故存在点，使，其坐标为，即恰好为点．………12分22.解：（Ⅰ）由题意知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），方程f′（x）=0在（0，+∞）有两个不同根；即方程lnx﹣ax=0在（0，+∞）有两个不同根；（解法一）转化为函数y=lnx与函数y=ax的图象在（0，+∞）上有两个不同交点，如右图．可见，若令过原点且切于函数y=lnx图象的直线斜率为k，只须0＜a＜k．高考帮——帮你实现大学梦想！10/12令切点A（x0，lnx0），故，又，故，解得，x0=e，故，故．……4分（解法二）转化为函数与函数y=a的图象在（0，+∞）上有两个不同交点．又，即0＜x＜e时，g′（x）＞0，x＞e时，g′（x）＜0，故g（x）在（0，e）上单调增，在（e，+∞）上单调减．故g（x）极大=g（e）=；又g（x）有且只有一个零点是1，且在x→0时，g（x）→﹣∞，在在x→+∞时，g（x）→0，故g（x）的草图如右图，可见，要想函数与函数y=a的图象在（0，+∞）上有两个不同交点，只须．……4分（解法三）令g（x）=lnx﹣ax，从而转化为函数g（x）有两个不同零点，而（x＞0），若a≤0，可见g′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，所以g（x）在（0，+∞）单调增，此时g（x）不可能有两个不同零点．若a＞0，在时，g′（x）＞0，在时，g′（x）＜0，所以g（x）在上单调增，在上单调减，从而=，又因为在x→0时，g（x）→﹣∞，在在x→+∞时，g（x）→﹣∞，高考帮——帮你实现大学梦想！11/12于是只须：g（x）极大＞0，即，所以．综上所述，．……4分（Ⅱ）因为等价于1+λ＜lnx1+λlnx2．由（Ⅰ）可知x1，x2分别是方程lnx﹣ax=0的两个根，即lnx1=ax1，lnx2=ax2所以原式等价于1+λ＜ax1+λax2=a（x1+λx2），因为λ＞0，0＜x1＜x2，所以原式等价于．又由lnx1=ax1，lnx2=ax2作差得，，即．所以原式等价于，因为0＜x1＜x2，原式恒成立，即恒成立．令，t∈（0，1），则不等式在t∈（0，1）上恒成立．……8分令，又=，当λ2≥1时，可见t∈（0，1）时，h′（t）＞0，所以h（t）在t∈（0，1）上单调增，又h（1）=0，h（t）＜0在t∈（0，1）恒成立，符合题意．当λ2＜1时，可见t∈（0，λ2）时，h′（t）＞0，t∈（λ2，1）时h′（t）＜0，所以h（t）在t∈（0，λ2）时单调增，在t∈（λ2，1）时单调减，又h（1）=0，高考帮——帮你实现大学梦想！12/12所以h（t）在t∈（0，1）上不能恒小于0，不符合题意，舍去．综上所述，若不等式恒成立，只须λ2≥1，又λ＞0，所以λ≥1．…12分