湖南省20182019学年长沙市南雅中学高一上第三次月考数学试

湖南省长沙市南雅中学2018-2019学年高一上第三次月考数学试（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设全集为𝑈={𝑛|𝑛∈𝑁∗且𝑛9}，集合𝑆={1,3，5}，𝑇={3,6}，则∁𝑈(𝑆∪𝑇)等于()A.⌀B.{2,4，7，8}C.{1,3，5，6}D.{2,4，6，8}【答案】B【解析】解：全集为𝑈={𝑛|𝑛∈𝑁∗且𝑛9}={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合𝑆={1,3，5}，𝑇={3,6}，∴𝑆∪𝑇={1,3，5，6}，∴∁𝑈(𝑆∪𝑇)={2,4，7，8}．故选：B．用列举法写出全集U，根据并集与补集的定义运算即可．本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题．2.下列函数中是偶函数，且在(0,+∞)上单调递增的是()A.𝑦=√𝑥B.𝑦=𝑥3C.𝑦=−𝑥2D.𝑦=log2|𝑥|【答案】D【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，𝑦=√𝑥，其定义域为[0,+∞)，不是偶函数，不符合题意；对于B，𝑦=𝑥3，为奇函数，不符合题意；对于C，𝑦=−𝑥2，是二次函数，是偶函数，在(0,+∞)上单调递减，不符合题意；对于D，𝑦=log2|𝑥|={log2(−𝑥),𝑥0log2𝑥,𝑥0，是偶函数，且在(0,+∞)上单调递增，符合题意；故选：D．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．本题考查函数的单调性与奇偶性的判定，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．3.设矩形边长分别为a、𝑏(𝑎𝑏)，将其按两种方式卷成高为a和b的圆柱(无底面)，其体积分别为𝑉𝑎和𝑉𝑏，则𝑉𝑎与𝑉𝑏的大小关系是()A.𝑉𝑎𝑉𝑏B.𝑉𝑎=𝑉𝑏C.𝑉𝑎𝑉𝑏D.不确定【答案】C【解析】解：当高为a时，底面周长为b，则底面半径为：𝑏2𝜋故𝑉𝑎=𝜋⋅(𝑏2𝜋)2⋅𝑎=𝑎𝑏4𝜋⋅𝑏，同理可得当高为b时，𝑉𝑏=𝑎𝑏4𝜋⋅𝑎，∵𝑎𝑏∴𝑉𝑎𝑉𝑏故选：C．根据圆柱的几何特征，分别计算𝑉𝑎和𝑉𝑏，根据不等式的基本性质，可得答案．本题考查的知识点是旋转体，熟练掌握圆柱的几何特征，是解答的关键．4.三个数0.993.3，log3𝜋，log20.8的大小关系为()A.log3𝜋0.993.3log20.8B.log20.8log3𝜋0.993.3C.log20.80.993.3log3𝜋D.0.993.3log20.8𝑙log3𝜋【答案】C【解析】解：∵00.993.30.990=1，log3𝜋log33=1，log20.8log21=0．∴log20.80.993.3log3𝜋．故选：C．利用指数函数和对数函数的运算性质，逐一比较三个数与0和1的关系即可得到答案．本题考查了对数值的大小比较，考查了不等关系与不等式，考查了指数函数和对数函数的性质，是基础题．5.已知m，n是不同的直线，𝛼，𝛽是不重合的平面，给出下面四个命题：①若𝛼//𝛽，𝑚⊂𝛼，𝑛⊂𝛽，则𝑚//𝑛②若m，𝑛⊂𝛼，𝑚//𝛽，𝑛//𝛽，则𝛼//𝛽③若m，n是两条异面直线，若𝑚//𝛼，𝑚//𝛽，𝑛//𝛼，𝑛//𝛽，则𝛼//𝛽④如果𝑚⊥𝛼，𝑛//𝛼，那么𝑚⊥𝑛上面命题中，正确的序号为()A.①②B.①③C.③④D.②③④【答案】C【解析】解：对于①，若𝛼//𝛽，𝑚⊂𝛼，𝑛⊂𝛽，则𝑚//𝑛或异面，故错；对于②，若m，𝑛⊂𝛼，𝑚//𝛽，𝑛//𝛽且m、n相交，则𝛼//𝛽，故错；对于③，若m，n是两条异面直线，若𝑚//𝛼，𝑛//𝛼，在平面𝛼内一定存在两条平行m、n的相交直线，由面面平行的判定可知𝛼//𝛽，故正确；对于④，如果𝑚⊥𝛼，m垂直平面𝛼内及与𝛼平行的直线，故𝑚⊥𝑛，故正确；故选：C．①，若𝛼//𝛽，𝑚⊂𝛼，𝑛⊂𝛽，则𝑚//𝑛或异面；②，若m，𝑛⊂𝛼，𝑚//𝛽，𝑛//𝛽且m、n相交，则𝛼//𝛽；③，若m，n是两条异面直线，若𝑚//𝛼，𝑛//𝛼，在平面𝛼内一定存在两条平行m、n的相交直线，由面面平行的判定可知𝛼//𝛽；④，如果𝑚⊥𝛼，m垂直平面𝛼内及与𝛼平行的直线，故𝑚⊥𝑛；本题考查了空间线线，线面，面面的位置关系，属于基础题．6.函数𝑓(𝑥)=𝑥2√2−𝑥+log2(𝑥+3)的定义域是()A.(−3,2)B.[−3,2)C.(−3,2]D.[−3,2]【答案】A【解析】解：由{𝑥+302−𝑥0，解得−3𝑥2．∴函数𝑓(𝑥)=𝑥2√2−𝑥+log2(𝑥+3)的定义域是(−3,2)．故选：A．由分母中根式内部的代数式对于0，对数式的真数大于0联立不等式组求解．本题考查函数的定义域及其求法，是基础的计算题．7.在矩形ABCD中，𝐴𝐵=1，𝐵𝐶=√2，𝑃𝐴⊥面ABCD，𝑃𝐴=1，则PC与面ABCD所成的角是()A.30∘B.45∘C.60∘D.90∘【答案】A【解析】解：连接AC，如图所示：因为𝑃𝐴⊥面ABCD，所以∠𝑃𝐴𝐶是PC与面ABCD所成的角，即为所求角．因为在矩形ABCD中，𝐴𝐵=1，𝐵𝐶=√2，所以𝐴𝐶=√3，又因为𝑃𝐴=1，所以tan∠𝑃𝐴𝐶=1√3=√33，所以PC与面ABCD所成的角∠𝑃𝐴𝐶是30∘．故选：A．连接AC，由𝑃𝐴⊥面ABCD，可得∠𝑃𝐴𝐶是PC与面ABCD所成的角，即为所求角，再结合题中条件与三角形的有关知识即可得到答案．此题主要考查线面角，空间角解决的关键是做角，由图形的结构及题设条件正确作出平面角来，是求角的关键，也可以根据几何体的结构特征建立空间直角坐标系利用向量的有关知识解决空间角等问题．8.如图正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1的棱长为2，线段𝐵1𝐷1上有两个动点E、F，且𝐸𝐹=12，则下列结论中错误的是()A.𝐴𝐶⊥𝐵𝐸B.𝐸𝐹//平面ABCDC.三棱锥𝐴−𝐵𝐸𝐹的体积为定值D.△𝐴𝐸𝐹的面积与△𝐵𝐸𝐹的面积相等【答案】D【解析】解：连结BD，则𝐴𝐶⊥平面𝐵𝐵1𝐷1𝐷，𝐵𝐷//𝐵1𝐷1，∴𝐴𝐶⊥𝐵𝐸，𝐸𝐹//平面ABCD，三棱锥𝐴−𝐵𝐸𝐹的体积为定值，从而A，B，C正确．∵点A、B到直线𝐵1𝐷1的距离不相等，∴△𝐴𝐸𝐹的面积与△𝐵𝐸𝐹的面积不相等，故D错误．故选：D．连结BD，则𝐴𝐶⊥平面𝐵𝐵1𝐷1𝐷，𝐵𝐷//𝐵1𝐷1，点A、B到直线𝐵1𝐷1的距离不相等，由此能求出结果．本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．9.已知2lg(𝑥−2𝑦)=lg𝑥+lg𝑦，则𝑥𝑦的值为()A.1B.4C.1或4D.14或4【答案】B【解析】解：∵2lg(𝑥−2𝑦)=lg(𝑥−2𝑦)2=lg(𝑥𝑦)，∴𝑥2+4𝑦2−4𝑥𝑦=𝑥𝑦∴(𝑥−𝑦)(𝑥−4𝑦)=0∴𝑥=𝑦(舍)或𝑥=4𝑦∴𝑥𝑦=4故选：B．根据对数的运算法则，2lg(𝑥−2𝑦)=lg(𝑥−2𝑦)2=lg(𝑥𝑦)，可知：𝑥2+4𝑦2−4𝑥𝑦=𝑥𝑦，即可得答案．本题主要考查对数的运算性质．10.已知定义域为R的函数𝑓(𝑥)在区间(−∞,5)上单调递减，对任意实数t，都有𝑓(5+𝑡)=𝑓(5−𝑡)，那么下列式子一定成立的是()A.𝑓(−1)𝑓(9)𝑓(13)B.𝑓(13)𝑓(9)𝑓(−1)C.𝑓(9)𝑓(−1)𝑓(13)D.𝑓(13)𝑓(−1)𝑓(9)【答案】C【解析】解：∵𝑓(5+𝑡)=𝑓(5−𝑡)∴函数𝑓(𝑥)的图象关于𝑥=5对称∴𝑓(−1)=𝑓(11)，∵函数𝑓(𝑥)在区间(−∞,5)上单调递减，∴𝑓(𝑥)在(5,+∞)上为单调递增．∴𝑓(9)𝑓(11)𝑓(13)，即𝑓(9)𝑓(−1)𝑓(13)．故选：C．由𝑓(5+𝑡)=𝑓(5−𝑡)，知函数𝑓(𝑥)的图象关于𝑥=5对称，然后利用在区间(−∞,5)上单调递减，可得函数在R上的单调性，从而可得函数值的大小关系．本题考查了函数的单调性及单调区间，同时考查了函数图象的对称性，注意数形结合，是个基础题．11.在三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1中，侧棱垂直于底面，∠𝐴𝐶𝐵=90∘，∠𝐵𝐴𝐶=30∘，𝐵𝐶=1，且三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1的体积为3，则三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1的外接球的表面积为()A.16𝜋B.12𝜋C.8𝜋D.4𝜋【答案】A【解析】解：∵∠𝐴𝐶𝐵=90∘，∠𝐵𝐴𝐶=30∘，𝐵𝐶=1，∴𝐴𝐶=√3．∵𝐴𝐴1⊥底面ABC，∴三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1的体积𝑉=12×1×√3⋅𝐶𝐶1=3，得𝐶𝐶1=2√3，∴三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1的外接球半径𝑟=12√1+(√3)2+(2√3)2=2，∴𝑆表=4𝜋×22=16𝜋．故选：A．根据棱柱的体积公式求得棱柱的侧棱长，再利用三棱柱的底面是直角三角形可得外接球的球心为上、下底面直角三角形斜边中点连线的中点O，从而求得外接球的半径R，代入球的表面积公式计算．本题考查了求三棱柱的外接球的表面积，利用三棱柱的结构特征求得外接球的半径是关键．12.已知函数𝑓(𝑥)={|log3𝑥|,0𝑥≤√31−log3𝑥,𝑥√3，若𝑓(𝑎)=𝑓(𝑏)=𝑓(𝑐)且𝑎𝑏𝑐，则𝑎𝑏+𝑏𝑐+𝑎𝑐的取值范围为()A.(1,4)B.(1,5)C.(4,7)D.(5,7)【答案】D【解析】解：作出函数𝑓(𝑥)的图象如图，不妨设𝑎𝑏𝑐，𝑎∈(√33,1)，𝑏∈(1,√3)，𝑐∈(√3,3)，由图象可知，−log3𝑎=log3𝑏，则log3𝑎+log3𝑏=log3𝑎𝑏=0，解得𝑎𝑏=1，1−log3𝑐=log3𝑏，则log3𝑏+log3𝑐=log3𝑏𝑐=1，解得𝑏𝑐=3，∴𝑎𝑐∈(1,3)，∴𝑎𝑏+𝑏𝑐+𝑐𝑎的取值范围为(5,7)故选：D．画出函数𝑓(𝑥)的图象，根据a，b，c互不相等，且𝑓(𝑎)=𝑓(𝑏)=𝑓(𝑐)，我们令𝑎𝑏𝑐，我们易根据对数的运算性质，及a，b，c的取值范围得到𝑎𝑏+𝑏𝑐+𝑐𝑎的取值范围．本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力.解答的关键是图象法的应用，即利用函数的图象交点研究方程的根的问题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知幂函数𝑦=𝑓(𝑥)过点(12,2√2)，则𝑓(9)=______．【答案】127【解析】解：∵幂函数𝑦=𝑓(𝑥)=𝑥𝛼过点(12,2√2)，∴𝑓(12)=(12)𝛼=2√2，解得𝛼=−32，∴𝑓(𝑥)=𝑥−32，𝑓(9)=9−32=127．故答案为：127．由幂函数𝑦=𝑓(𝑥)=𝑥𝛼过点(12,2√2)，求出𝑓(𝑥)=𝑥−32，由此能求出𝑓(9)．本题考查函数值的求法，考查幂函数性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.空间四边形ABCD中，𝐴𝐵=𝐶𝐷且AB与CD所成的角为50∘，E、F分别是BC、AD的中点，则EF与AB所成角的大小为______．【答案】25∘或65∘【解析】解：取BD中点G，连结EG，FG，则由三角形中位线定理得𝐸𝐺//𝐶𝐷，𝐸𝐺=12𝐶𝐷，𝐹𝐺//𝐴𝐵，𝐹𝐺=12𝐴𝐵，∴�