湖南省郴州市20182019学年高二上学期学科教学状况抽测数学理试题解析版

2018-2019学年湖南省郴州市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.命题“∀𝑥∈𝑅，都有𝑥2≤1”的否定是()A.∃𝑥0∈𝑅，使得𝑥021B.∀𝑥∈𝑅，都有𝑥≤−1或𝑥≥1C.∃𝑥0∈𝑅，使得𝑥021D.∃𝑥0∈𝑅，使得𝑥02≥1【答案】C【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀𝑥∈𝑅，都有𝑥2≤1”的否定是∃𝑥0∈𝑅，使得𝑥021．故选：C．直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．本题考查的知识点是命题的否定，其中熟练掌握全称命题：“∀𝑥∈𝐴，𝑃(𝑥)”的否定是特称命题：“∃𝑥∈𝐴，非𝑃(𝑥)”，是解答此类问题的关键．2.在△𝐴𝐵𝐶中，若𝑎=𝑏cos𝐶，则△𝐴𝐵𝐶是()A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰三角形【答案】C【解析】解：由余弦定理得cos𝐶=𝑎2+𝑏2−𝑐22𝑎𝑏，把cos𝐶代入𝑎=𝑏cos𝐶得：𝑎=𝑏⋅𝑎2+𝑏2−𝑐22𝑎𝑏=𝑎2+𝑏2−𝑐22𝑎，∴2𝑎2=𝑎2+𝑏2−𝑐2，∴𝑎2+𝑐2=𝑏2，即三角形为直角三角形．故选：C．根据余弦定理表示出cos𝐶，代入已知的等式中，化简后即可得到a，b，c满足勾股定理，进而得到此三角形为直角三角形．此题考查了余弦定理，以及三角形的形状判定，利用余弦定理表示出cos𝐶是本题的突破点．3.△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=3，𝐵𝐶=√13，𝐴𝐶=4，则角A的大小是()A.60∘B.90∘C.120∘D.135∘【答案】A【解析】解：∵在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝑐=3，𝐵𝐶=𝑎=√13，𝐴𝐶=𝑏=4，∴由余弦定理得：cos𝐴=𝑏2+𝑐2−𝑎22𝑏𝑐=16+9−132×4×3=12，∵𝐴∈(0∘,180∘)，则𝐴=60∘．故选：A．利用余弦定理表示出cos𝐴，把三边长代入求出cos𝐴的值，即可确定出A的度数．此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键，属于基础题．4.若𝑎𝑏0，则下列不等式成立的是()A.𝑎𝑏𝑏2B.1𝑎1𝑏C.𝑎𝑏𝑎2D.|𝑎||𝑏|【答案】B【解析】解：若𝑎𝑏0，不妨设𝑎=−2，𝑏=−1代入各个选项，错误的是A、C、D，故选：B．该题是选择题，可利用排除法，数可以是满足𝑎𝑏0任意数，代入后看所给等式是否成立，即可得到正确选项．本题主要考查了比较大小，利用特殊值法验证一些式子错误是有效的方法，属于基础题．5.抛物线𝑦2=8𝑥的焦点到双曲线𝑥2−𝑦23=1的一条渐近线的距离为()A.1B.2C.√3D.2√3【答案】C【解析】解：抛物线𝑦2=8𝑥的焦点为(2,0)，双曲线𝑥2−𝑦23=1的一条渐近线为𝑦=√3𝑥，则焦点到渐近线的距离为𝑑=|2√3|√3+1=√3．故选：C．求出抛物线的焦点和双曲线的渐近线方程，再由点到直线的距离公式计算即可得到所求．本题考查抛物线和双曲线的性质，主要考查渐近线方程和焦点坐标，运用点到直线的距离公式是解题的关键．6.古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，该女子第二天织布多少尺？()A.531B.1031C.9D.10【答案】B【解析】解：根据题意，该女子每天织的布组成等比数列，且其公比为2，设该等比数列为{𝑎𝑛}，又由她5天共织布5尺，则𝑆5=𝑎1(1−25)1−2=5，解可得𝑎1=531，则𝑎1=𝑎1×𝑞=531×2=1031，故选：B．根据题意，分析可得该女子每天织的布组成等比数列，且其公比为2，设该等比数列为{𝑎𝑛}，由等比数列的前n项和公式可得𝑆5=𝑎1(1−25)1−2=5，解可得𝑎1的值，结合等比数列的通项公式计算可得答案．本题考查等比数列的求和，涉及数列的应用，关键是建立等比数列的数学模型．7.对于实数x，规定[𝑥]表示不大于x的最大整数，那么不等式4[𝑥]2−63[𝑥]+450成立的x的取值范围是()A.[1,15)B.[2,8]C.[2,8)D.[2,15)【答案】A【解析】解：解4[𝑥]2−63[𝑥]+450得，34[𝑥]15；∵[𝑥]表示不大于x的最大整数；∴1≤𝑥15；∴𝑥的取值范围是[1,15)．故选：A．可解关于[𝑥]的一元二次不等式不等式4[𝑥]2−63[𝑥]+450得到34[𝑥]15，从而得出1≤𝑥15，即得出x的范围．考查一元二次不等式的解法，知道[𝑥]表示不超过x的最大整数．8.若AB是过椭圆𝑥28+𝑦24=1中心的弦，𝐹1为椭圆的焦点，则△𝐹1𝐴𝐵面积的最大值为()A.4B.8C.12D.24【答案】A【解析】解：根据题意，椭圆的方程为𝑥28+𝑦24=1，其中𝑎=2√2，𝑏=2，则𝑐=√8−4=2，设𝐹1为椭圆的右焦点，其坐标为(2,0)，椭圆的中心为(0,0)，若AB是过椭圆𝑥28+𝑦24=1中心的弦，则A、B关于原点对称，设A的坐标(𝑥,𝑦)，则B的坐标为(−𝑥,−𝑦)，△𝐹1𝐴𝐵面积𝑆=𝑆△𝐴𝑂𝐹1+𝑆△𝐵𝑂𝐹1=12×|𝑂𝐹1|×|𝑦|+12×|𝑂𝐹1|×|−𝑦|=2|𝑦|，当A点在椭圆的顶点，即|𝑦|=2时，其△𝐹1𝐴𝐵面积最大，此时𝑆=2×2=4，故选：A．根据题意，由椭圆的方程求出a、b、c的值，设𝐹1为椭圆的右焦点，其坐标为(2,0)，再设A的坐标(𝑥,𝑦)则根据对称性得：𝐵(−𝑥,−𝑦)，再表示出△𝐹1𝐴𝐵面积，由图知，当A点在椭圆的顶点时，其△𝐹1𝐴𝐵面积最大，最后结合椭圆的标准方程即可求出△𝐹1𝐴𝐵面积的最大值．本题考查椭圆的几何性质，注意椭圆的对称性，属于简单题．9.设函数𝑓(𝑥)在R上可导，其导函数为，且函数𝑓(𝑥)在𝑥=−2处取得极大值，则函数的图象可能是()A.B.C.D.【答案】D【解析】解：∵函数𝑓(𝑥)在R上可导，其导函数𝑓′(𝑥)，且函数𝑓(𝑥)在𝑥=−2处取得极大值，∴当𝑥−2时，𝑓′(𝑥)0；当𝑥=−2时，𝑓′(𝑥)=0；当𝑥−2时，𝑓′(𝑥)0．∴当0𝑥−2时，𝑥𝑓′(𝑥)0；𝑥0时，𝑥𝑓′(𝑥)0；当𝑥=−2时，𝑥𝑓′(𝑥)=0；当𝑥−2时，𝑥𝑓′(𝑥)0．故选：D．由题设条件知：当0𝑥−2以及𝑥0时，𝑥𝑓′(𝑥)的符号；当𝑥=−2时，𝑥𝑓′(𝑥)=0；当𝑥−2时，𝑥𝑓′(𝑥)符号.由此观察四个选项能够得到正确结果．本题考查利用导数研究函数的极值的应用，解题时要认真审题，注意导数性质和函数极值的性质的合理运用．10.已知等比数列{𝑎𝑛}的前n项和𝑆𝑛=𝑡⋅2𝑛−1−12，则函数𝑓(𝑥)=(𝑥+5)2𝑥+𝑡(𝑥0)的最小值为()A.9B.12C.16D.25【答案】C【解析】解：当𝑛≥2时，𝑎𝑛=𝑆𝑛−𝑆𝑛−1=𝑡⋅2𝑛−1−12−𝑡⋅2𝑛−2+12=𝑡⋅2𝑛−1−𝑡⋅2𝑛−2=2𝑡⋅2𝑛−2−𝑡⋅2𝑛−2=𝑡⋅2𝑛−1，当𝑛=1时，𝑎1=𝑆1=𝑡−12，而当𝑛=1时，𝑡⋅21−2=𝑡2，则满足𝑡−12=𝑡2，即𝑡2=12，得𝑡=1，则𝑓(𝑥)=(𝑥+5)2𝑥+𝑡=(𝑥+5)2𝑥+1=(𝑥+1+4)2𝑥+1=(𝑥+1)2+8(𝑥+1)+16𝑥+1=(𝑥+1)+8+16𝑥+1≥8+2√(𝑥+1)⋅16𝑥+1=8+8=16，当且仅当𝑥+1=16𝑥+1，即𝑥+1=4，𝑥=3时，取等号，即𝑓(𝑥)的最小值为16，故选：C．根据等比数列的前n项和公式，求出t的值，结合基本不等式的性质进行转化求解即可．本题主要考查函数最值的求解，结合等比数列的性质以及分式函数分子常数法转化为基本不等式形式是解决本题的关键．二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）11.若函数𝑓(𝑥)=√𝑥，是𝑓(𝑥)的导函数，则的值是______．【答案】12【解析】解：根据题意，函数𝑓(𝑥)=√𝑥=𝑥12，其导数𝑓′(𝑥)=12√𝑥，则𝑓′(1)=12，故答案为：12根据题意，求出函数𝑓(𝑥)的导数，将𝑥=1代入导数的解析式，计算可得答案．本题考查函数导数的计算，关键是掌握函数导数的计算公式，属于基础题．12.已知集合𝐴={𝑥|−1𝑥2}，𝐵={𝑥|−1𝑥𝑚+1}，若𝑥∈𝐴是𝑥∈𝐵成立的一个充分不必要条件，则实数m的取值范围是______．【答案】【解析】解：由𝑥∈𝐴是𝑥∈𝐵成立的一个充分不必要条件，得：𝐴⊊𝐵，即{𝑚+12𝑚+1−1，即𝑚1，故答案为：(1,+∞)．由充分必要条件与集合的关系得：𝐴⊊𝐵，列方程组运算得解本题考查了充分必要条件与集合的关系，属简单题．13.已知𝑃(𝑥,𝑦)是抛物线𝑦2=−8𝑥的准线与双曲线𝑥2−𝑦2=1的两条渐近线所围成的三角形平面区域内(含边界)的任意一点，则𝑧=2𝑥−𝑦的最大值为______．【答案】6【解析】解：三角形平面区域(含边界)如下图所示，该区域为△𝑂𝐴𝐵，联立{𝑥+𝑦=0𝑥=2，得{𝑦=−2𝑥=2，当直线𝑧=2𝑥−𝑦经过可行域上的点A时，直线𝑧=2𝑥−𝑦在x轴上的截距最大，此时，z取最大值，即𝑧𝑚𝑎𝑥=2×2−(−2)=6．故答案为：6．作出可行域，并求出可行域的各顶点坐标，将直线𝑧=2𝑥−𝑦进行平移，观察直线经过哪个顶点时，该直线在x轴上的截距最大，此时，z取最大值，再将相应顶点的坐标代入即可得出的答案．本题考查抛物线的性质，考查线性规划问题，考查计算能力，属于中等题．14.若数列{𝑎𝑛}中，𝑎1=3，𝑎𝑛=1−1𝑎𝑛−1(𝑛≥2)，则𝑎2018=______．【答案】【解析】解：数列{𝑎𝑛}中，𝑎1=3，𝑎𝑛=1−1𝑎𝑛−1(𝑛≥2)，当𝑛=2时，𝑎2=1−1𝑎1=23，当𝑛=3时，𝑎3=1−1𝑎2=−12，当𝑛=4时，𝑎4=1−1𝑎3=3，当𝑛=5时，𝑎5=1−1𝑎4=23，故数列的周期为3，所以：2018÷3=672×3+2，故：𝑎2018=𝑎2=23，故答案为：23．直接利用赋值法求出数列的周期，进一步求出结果．本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用，数列的周期的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题．15.△𝐴𝐵𝐶的顶点分别为𝐴(1,−1,2)，𝐵(3,0，−5)，𝐶(1,3，−1)，则AC边上的高BD等于______．【答案】√29【解析】解：△𝐴𝐵𝐶的顶点分别为𝐴(1,−1,2)，𝐵(3,0，−5)，𝐶(1,3，−1)，∴𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(2,1，−7)，𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(0,4，−3)，∴𝐴𝐶边上的高：𝐵𝐷=|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|⋅√1−[cos𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗]2=√54×√1−(25√54⋅√25)2=√29．故答案为：√29．推导出𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(2,1，−7)，𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(0,4，−3)，AC边上的高：𝐵𝐷=|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|⋅√1−[cos𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗]2，由此能求出结果．本题考查三角形的高的求法，考查点到直线的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．三、解答题（本大题