福建省师大附中高三期中数学理科

高考帮——帮你实现大学梦想！1/212016-2017学年福建省师大附中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．若集合M={x|﹣2＜x＜3}，N={y|y=x2+1，x∈R}，则集合M∩N=（）A．（﹣2，+∞）B．（﹣2，3）C．[1，3）D．R2．若复数（α∈R）是纯虚数，则复数2a+2i在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知向量=（2，1），=10，|+|=，则||=（）A．B．C．5D．254．已知cos（）=，则sin（2）的值为（）A．B．C．﹣D．﹣5．《莱因德纸草书》（RhindPapyrus）是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，问最小一份为（）A．B．C．D．6．等比数列{na}中，1a＞0，则“1a＜3a”是“3a＜6a”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．已知函数f（x）=﹣x3+ax2+bx（a，b∈R）的图象如图所示，它与x轴相切于原点，且x轴与函数图象所围成区域（图中阴影部分）的面积为，则a的值为（）A．0B．1C．﹣1D．﹣28．已知函数f（x）是定义域为R的偶函数，且f（x+1）=，若f（x）在[﹣1，0]上是减函数，记a=f（log0.52），b=f（log24），c=f（20.5），则（）A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．b＞c＞aD．b＞a＞c高考帮——帮你实现大学梦想！2/219．将函数f（x）=2cos2x的图象向右平移个单位后得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在区间[0，]和[2a，]上均单调递增，则实数a的取值范围是（）A．[，]B．[，]C．[，]D．[，]10．已知数列{an}满足：2an=an﹣1+an+1（n≥2），a1=1，且a2+a4=10，若Sn为数列{an}的前n项和，则的最小值为（）A．4B．3C．D．11．已知函数f（x）=（其中e为自对数的底数），则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．12．定义在R上的函数f（x）满足：f'（x）＞1﹣f（x），f（0）=6，f′（x）是f（x）的导函数，则不等式exf（x）＞ex+5（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（1，+∞）D．（3，+∞）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，则tanB=．14．已知x，y满足，且z=2x﹣y的最大值与最小值的比值为﹣2，则a的值是．15．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B、C两点间的距离是海里．16．{an}满足an+1=an+an﹣1（n∈N*，n≥2），Sn是{an}前n项和，a5=1，则S6=．三、解答题（共5小题，满分60分）高考帮——帮你实现大学梦想！3/2117．（12分）如图，在△ABC中，点D在边BC上，∠CAD=，AC=，cos∠ADB=﹣（1）求sin∠C的值；（2）若△ABD的面积为7，求AB的长．18．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=+1（n≥2）．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：Tn＜．19．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，，∠BAC=θ，a=4．（1）求bc的最大值；（2）求函数的值域．20．（12分）已知数列{an}是公差为正数的等差数列，其前n项和为Sn，且a2•a3=15，S4=16．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）数列{bn}满足b1=a1，．①求数列{bn}的通项公式；②是否存在正整数m，n（m≠n），使得b2，bm，bn成等差数列？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知a为常数，a∈R，函数f（x）=x2+ax﹣lnx，g（x）=ex．（其中e是自然对数的底数）（Ⅰ）过坐标原点O作曲线y=f（x）的切线，设切点为P（x0，y0），求证：x0=1；（Ⅱ）令，若函数F（x）在区间（0，1]上是单调函数，求a的取值范围．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）在极坐标系中，圆C的极坐标方程为：ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣3．若以极点O为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系．（Ⅰ）求圆C的参数方程；（Ⅱ）在直角坐标系中，点P（x，y）是圆C上动点，试求x+2y的最大值，并求出此时点P的直角坐标．高考帮——帮你实现大学梦想！4/21选修4-5：不等式选讲23．已知m，n都是实数，m≠0，f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|．（Ⅰ）若f（x）＞2，求实数x的取值范围；（Ⅱ）若|m+n|+|m﹣n|≥|m|f（x）对满足条件的所有m，n都成立，求实数x的取值范围．高考帮——帮你实现大学梦想！5/212016-2017学年福建省师大附中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．若集合M={x|﹣2＜x＜3}，N={y|y=x2+1，x∈R}，则集合M∩N=（）A．（﹣2，+∞）B．（﹣2，3）C．[1，3）D．R【考点】交集及其运算．【专题】计算题．【分析】先将N化简，再求出M∩N．【解答】解：N={y|y=x2+1，x∈R}={y|y≥1}=[1，+∞），∵M={x|﹣2＜x＜3}=（﹣2，3），∴M∩N=[1，3）故选C．【点评】本题考查了集合的含义、表示方法，集合的交集的简单运算，属于基础题．本题中N表示的是函数的值域．2．若复数（α∈R）是纯虚数，则复数2a+2i在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【专题】转化思想；定义法；数系的扩充和复数．【分析】化简复数，根据纯虚数的定义求出a的值，写出复数2a+2i对应复平面内点的坐标，即可得出结论．【解答】解：复数==（a+1）+（﹣a+1）i，该复数是纯虚数，∴a+1=0，解得a=﹣1；所以复数2a+2i=﹣2+2i，它在复平面内对应的点是（﹣2，2），它在第二象限．故选：B．【点评】本题考查了复数的化简与代数运算问题，也考查了纯虚数的定义与复平面的应用问题，是基础题．3．已知向量=（2，1），=10，|+|=，则||=（）A．B．C．5D．25【考点】平面向量数量积的运算；向量的模．高考帮——帮你实现大学梦想！6/21【专题】平面向量及应用．【分析】根据所给的向量的数量积和模长，对|a+b|=两边平方，变化为有模长和数量积的形式，代入所给的条件，等式变为关于要求向量的模长的方程，解方程即可．【解答】解：∵|+|=，||=∴（+）2=2+2+2=50，得||=5故选C．【点评】本题考查平面向量数量积运算和性质，根据所给的向量表示出要求模的向量，用求模长的公式写出关于变量的方程，解方程即可，解题过程中注意对于变量的应用．4．已知cos（）=，则sin（2）的值为（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】两角和与差的正弦函数．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】用已知角表示未知角，再结合二倍角公式即可求得sin（2）的值．【解答】解：∵cos（）=，则sin（2）=﹣sin（2α+）=﹣sin[2（α+）+]=﹣cos2（α+）=﹣[2cos2（α+）﹣1]=﹣[﹣1]=，故选：B．【点评】本题主要考查诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．5．《莱因德纸草书》（RhindPapyrus）是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，问最小一份为（）A．B．C．D．【考点】等差数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】设五个人所分得的面包为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d（d＞0），根据条件列出方程求出a和d的值，从而得最小一份的值．【解答】解：设五个人所分得的面包为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，（其中d＞0）；∵把100个面包分给5个人，高考帮——帮你实现大学梦想！7/21∴（a﹣2d）+（a﹣d）+a+（a+d）+（a+2d）=5a=100，得a=20，∵使较大的三份之和的是较小的两份之和，∴（a+a+d+a+2d）=a﹣2d+a﹣d，得3a+3d=7（2a﹣3d），化简得24d=11a，∴d==，所以最小的1分为a﹣2d=20﹣2×=，故选：A．【点评】本题考查了等差数列模型的实际应用，解题时应巧设数列的中间项，从而容易得出结果，属于基础题．6．等比数列{na}中，1a＞0，则“1a＜3a”是“3a＜6a”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；等比数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】先用等比数列的通项公式，表示出3a＜6a，进而可判断1a＜3a不一定成立；同时根据1a＜a3成立可知1aq2＜1aq5，进而推断出1a＜3a，判断出必要条件．最后综合可得答案．【解答】解：如果1a＜3a，∴1a＜1aq2∴q2＞1，若q＜﹣1，则3a=1aq2＞0，6a=1aq5＜0∴3a＞6a，∴“1a＜3a”不是“3a＜a6”的充分条件；如果3a＜a6成立，则1aq2＜1aq5，又a1＞0，∴1＜q3∴q＞1，∴1a＜a2＜3a，故可判断，“1a＜3a”是“3a＜6a”的必要条件．综合可知，“1a＜3a”是“3a＜6a”必要而不充分条件．故选B．【点评】本题主要考查了等比数列的性质和必要条件，充分条件与充要条件的判断．高考帮——帮你实现大学梦想！8/217．已知函数f（x）=﹣x3+ax2+bx（a，b∈R）的图象如图所示，它与x轴相切于原点，且x轴与函数图象所围成区域（图中阴影部分）的面积为，则a的值为（）A．0B．1C．﹣1D．﹣2【考点】定积分．【专题】数形结合；转化思想；数形结合法；导数的概念及应用．【分析】由x=0是f（x）=0的一个极值点，可得f′（0）=0，求得b的值，确定出f（x）的解析式，由于阴影部分面积为，利用定积分求面积的方法列出关于a的方程求出a并判断a的取舍即可【解答】解：由f（x）=﹣x3+ax2+bx，得f′（x）=﹣3x2+2ax+b．∵x=0是原函数的一个极值点，∴f′（0）=b=0．∴f（x）=﹣x2（x﹣a），有∫a0（x3﹣ax2）dx=（）|a0=0﹣+==，∴a=±1．函数f（x）与x轴的交点横坐标一个为0，另一个a，根据图形可知a＜0，得a=﹣1．故选：C【点评】本题主要考查了定积分在求面积中的应用，以及定积分的运算法则，同时考查了计算能力和识图能力，属于中档题．8．（2016•红桥区二模）已知函数f（x）是定义域为R的偶函数，且f（x+1）=，若f（x）在[﹣1，0]上是减函数，记a=f（log0.52），b=f（log24），c=f（20.5），则（）A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．b＞c＞aD．b＞a＞c【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】确定函数是周期为2的周期函数，f（x）在[0，1]上单调递增，并且a=f（log0.52）=f（log22）=f（1），b=f（log24）=f（2）=f（0），c=f（20.5），即可比较出a，b，c的大小．【解答】解：∵f（x+1）=，∴f（x+2）=f（x），∴函数是周期为2的周期函数；∵f（x）为偶函数，f（x）在[﹣1，0]上是减函数，高考帮——帮你实现大学梦想！9/21∴f（x）在[0，1]上单调递增，并且a=f（