第2章21同步练习高中数学练习试题

1高中数学人教A版选2-1同步练习1.已知直线l：x＋y－3＝0及曲线C：(x－3)2＋(y－2)2＝2，则点M(2，1)()A．在直线l上，但不在曲线C上B．在直线l上，也在曲线C上C．不在直线l上，也不在曲线C上D．不在直线l上，但在曲线C上解析：选B.将x＝2，y＝1代入直线l：x＋y－3＝0及曲线C：(x－3)2＋(y－2)2＝2的方程均成立，故点M(2，1)在直线l上，也在曲线C上．故选B.2.已知两点M(－2，0)，N(2，0)，点P满足PM→·PN→＝12，则点P的轨迹方程为()A.x216＋y2＝1B．x2＋y2＝16C．y2－x2＝8D．x2＋y2＝8解析：选B.设P(x，y)，由PM→·PN→＝12可得x2＋y2＝16.3.曲线y＝|x|－1与x轴围成的图形的面积是__________．解析：在y＝|x|－1中令x＝0得y＝－1，令y＝0得x＝±1，所以曲线y＝|x|－1与x轴围成的图形的面积为12×2×1＝1.答案：14.长为3的线段AB的端点A、B分别在x、y轴上移动，动点C(x，y)满足AC→＝2CB→，则动点C的轨迹方程是__________．解析：动点C(x，y)满足AC→＝2CB→，则B0，32y，A(3x，0)，根据题意得9x2＋94y2＝9，即x2＋14y2＝1.答案：x2＋y24＝1[A级基础达标]1.命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是正确的，下列命题中正确的是()A．方程f(x，y)＝0的曲线是CB．方程f(x，y)＝0的曲线不一定是CC．f(x，y)＝0是曲线C的方程D．以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上解析：选B.不论方程f(x，y)＝0是曲线C的方程，还是曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线，都必须同时满足两层含义：曲线上的点的坐标都是方程的解，以方程的解为坐标的点都在曲线上，所以选项A，C，D错误．2.方程x2＋xy＝x的曲线是()A．一个点B．一条直线C．两条直线D．一个点和一条直线解析：选C.根据x2＋xy＝x得x＝0或x＋y＝1，故表示两条直线．3.直线x－y＝0与曲线xy＝1的交点是()A．(1，1)B．(－1，－1)C．(1，1)、(－1，－1)D．(0，0)2解析：选C.由y＝x，xy＝1，得x＝1y＝1或x＝－1，y＝－1.4.在平面直角坐标系xOy中，若定点A(1，2)与动点P(x，y)满足OP→·OA→＝4，则动点P的轨迹方程是__________．解析：由OP→·OA→＝4得x·1＋y·2＝4，因此所求轨迹方程为x＋2y－4＝0.答案：x＋2y－4＝05.给出下列结论：①方程yx－2＝1表示斜率为1，在y轴上的截距为－2的直线；②到x轴距离为2的点的直线的方程为y＝2；③方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示四个点．其中正确的结论的序号是__________．解析：①不正确．方程等价于y＝x－2(x≠2)，∴原方程表示斜率为1，在y轴上的截距为－2的直线，但除去点(2，0)；到x轴距离为2的点的直线的方程应是|y－0|＝2，即y＝2或y＝－2，故②不正确；对于③，原方程可化为x2－4＝0y2－4＝0，即x＝±2y＝±2，∴方程表示四个点，所以③正确．答案：③6.一个动点到直线x＝8的距离是它到点A(2，0)的距离的2倍，求动点的轨迹方程．解：设动点坐标为(x，y)，则动点到直线x＝8的距离为|x－8|，到点A的距离为（x－2）2＋y2.由已知，得|x－8|＝2（x－2）2＋y2，化简得3x2＋4y2＝48.∴动点的轨迹方程为3x2＋4y2＝48.[B级能力提升]7.“点M在曲线y＝|x|上”是“点M到两坐标轴距离相等”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.“点M在曲线y＝|x|上”⇒,⇐/)“点M到两坐标轴距离相等”．故选B.8.方程x＋|y|＝0所表示的曲线是()解析：选B.原方程可化为y＝－x(y≥0)或y＝x(y0)．9.(2011·高考北京卷)曲线C是平面内与两个定点F1(－1，0)和F2(1，0)的距离的积等于常数a2(a1)的点的轨迹．给出下列三个结论：①曲线C过坐标原点；②曲线C关于坐标原点对称；3③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于12a2.其中，所有正确结论的序号是__________．解析：因为原点O到两个定点F1(－1，0)，F2(1，0)的距离的积是1，而a1，所以曲线C不过原点，即①错误；因为F1(－1，0)，F2(1，0)关于原点对称，所以|PF1||PF2|＝a2对应的轨迹关于原点对称，即②正确；因为S△F1PF2＝12|PF1||PF2|sin∠F1PF2≤12|PF1||PF2|＝12a2，即面积不大于12a2，所以③正确．答案：②③10.已知曲线C的方程为x＝4－y2，说明曲线C是什么样的曲线，并求该曲线与y轴围成的图形的面积．解：由x＝4－y2，得x2＋y2＝4.又x≥0，∴方程x＝4－y2表示的曲线是以原点为圆心，2为半径的右半圆，从而该曲线C与y轴围成的图形是半圆，其面积S＝12π·4＝2π.所以，所求图形的面积为2π.11.(创新题)已知F(1，0)，M点在x轴上，P点在y轴上，且MN→＝2MP→，PM→⊥PF→.当点P在y轴上运动时，求N点的轨迹C的方程．解：∵MN→＝2MP→，故P为MN中点．又∵PM→⊥PF→，P在y轴上，F为(1，0)，故M在x轴的负半轴上，设N(x，y)，则M(－x，0)，P0，y2(x0)，∴PM→＝－x，－y2，PF→＝1，－y2，又∵PM→⊥PF→，∴PM→·PF→＝0，即－x＋y24＝0，∴y2＝4x(x0)是轨迹C的方程．