第3章312同步练习高中数学练习试题

1高中数学人教A版选2-1同步练习1.设a，b是不共线的两个向量，λ，μ∈R，且λa＋μb＝0，则()A．λ＝μ＝0B．a＝b＝0C．λ＝0，b＝0D．μ＝0，a＝0解析：选A.∵a，b不共线，∴a，b为非零向量，又∵λa＋μb＝0，∴λ＝μ＝0.2.已知点M在平面ABC内，并且对空间任一点O，OM→＝xOA→＋12OB→＋13OC→，则x的值为()A.16B.13C.12D．0解析：选A.由四点共面的充要条件知，x＋12＋13＝1，因此x＝16.3.化简12(a＋2b－3c)＋523a－12b＋23c－3(a－2b＋c)＝__________．答案：56a＋92b－76c4.非零向量e1，e2不共线，使ke1＋e2与e1＋ke2共线的k＝________．解析：若ke1＋e2与e1＋ke2共线，则ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，∴k＝λ，λk＝1，∴k＝±1.答案：±1[A级基础达标]1.若a、b是平面α内的两个向量，则()A．α内任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R)B．若存在λ，μ∈R使λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0C．若a、b不共线，则空间任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R)D．若a、b不共线，则α内任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R)解析：选D.当a与b是共线向量时，A不正确；当a与b是相反向量，λ＝μ≠0时，λa＋μb＝0，故B不正确；若a、b不共线，则平面α内的向量都可用a、b表示，对空间向量不行，故C不正确，D正确，故选D.22.如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，若CA→＝a，CB→＝b，CC1→＝c，则A1B→等于()A．a＋b－cB．a－b＋cC．－a＋b＋cD．－a＋b－c解析：选D.如图所示，连A1C，则在△A1CB中，有A1B→＝CB→－CA1→＝CB→－(CC1→＋CA→)＝b－(a＋c)＝－a＋b－c.3.在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD→＝2DB→，CD→＝13CA→＋λCB→，则λ等于()A.23B.13C．－13D．－23解析：选A.∵CD→＝CA→＋AD→＝CA→＋23AB→＝CA→＋23(CB→－CA→)＝13CA→＋23CB→，∴λ＝23.4.已知i，j，k是三个不共面向量，已知向量a＝12i－j＋k，b＝5i－2j－k，则4a－3b＝__________．解析：4a－3b＝412i－j＋k－3(5i－2j－k)＝－13i＋2j＋7k.答案：－13i＋2j＋7k5.ABCD­A1B1C1D1为平行六面体，设AB→＝a，AD→＝b，AA1→＝c，E、F分别是AD1、BD的中点，则EF→＝________．解析：EF→＝EA→＋AB→＋BF→＝12(D1A1→＋A1A→)＋AB→＋12(BA→＋AD→)3＝12(－b－c)＋a＋12(－a＋b)＝12a－12c.答案：12a－12c6.已知e1，e2是不共线向量，a＝3e1＋4e2，b＝－3e1＋8e2，判断a与b是否共线．解：设a＝λb，即3e1＋4e2＝λ(－3e1＋8e2)＝－3λe1＋8λe2，∴－3λ＝38λ＝4⇒λ＝－1λ＝12，∴不存在λ，使a＝λb，即a与b不共线．[B级能力提升]7.下列条件使M与A、B、C一定共面的是()A.OM→＝2OA→－OB→＋OC→B.OM→＋OA→＋OB→＋OC→＝0C.OM→＝15OA→＋23OB→＋12OC→D.MA→＋MB→＋MC→＝0解析：选D.根据共面向量定理知A、B、C均错，只有D能使其一定共面．8.如图所示空间四边形ABCD，连接AC、BD，设M、G分别是BC、CD的中点，则MG→－AB→＋AD→等于()A.32DB→B．3MG→C．3GM→D．2MG→解析：选B.MG→－AB→＋AD→＝MG→－(AB→－AD→)＝MG→－DB→＝MG→＋BD→＝MG→＋2MG→＝3MG→.9.有下列命题：①若AB→∥CD→，则A，B，C，D四点共线；②若AB→∥AC→，则A，B，C三点共线；③若e1，e2为不共线的非零向量，a＝4e1－25e2，b＝－e1＋110e2，则a∥b；4④若向量e1，e2，e3是三个不共面的向量，且满足等式k1e1＋k2e2＋k3e3＝0，则k1＝k2＝k3＝0.其中是真命题的序号是__________(把所有真命题的序号都填上)．解析：根据共线向量的定义，若AB→∥CD→，则AB∥CD或A，B，C，D四点共线，故①错；AB→∥AC→且AB→，AC→有公共点A，所以②正确；由于a＝4e1－25e2＝－4－e1＋110e2＝－4b，所以a∥b.故③正确；易知④也正确．答案：②③④10.对于任意空间四边形ABCD，E、F分别是AB、CD的中点，试判断：EF→与BC→、AD→的关系．解：如图所示，空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，利用多边形加法法则可得，EF→＝EA→＋AD→＋DF→①EF→＝EB→＋BC→＋CF→②又EA→＝－EB→，DF→＝－CF→③将③代入①得EF→＝－EB→＋AD→－CF→④②＋④得2EF→＝AD→＋BC→，所以EF→＝12AD→＋12BC→，即EF→与BC→、AD→共面．11.(创新题)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为DD1的中点，N在AC上，且AN∶NC＝2∶1，求证：A1N→与A1B→、A1M→共面．证明：A1B→＝AB→－AA1→，A1M→＝A1D1→＋D1M→＝AD→－12AA1→，AN→＝23AC→＝23(AB→＋AD→)，∴A1N→＝AN→－AA1→＝23(AB→＋AD→)－AA1→＝23(AB→－AA1→)＋23(AD→－12AA1→)＝23A1B→＋23A1M→.∴A1N→与A1B→、A1M→共面．