第3章312同步训练及详解高中数学练习试题

1高中数学必修一同步训练及解析1．定义在R上的奇函数f(x)()A．未必有零点B．零点的个数为偶数C．至少有一个零点D．以上都不对解析：选C.∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，∴f(x)至少有一个零点，且f(x)零点的个数为奇数．2．已知函数f(x)的图象是连续不断的曲线，有如下的x与f(x)的对应值表x1234567f(x)132.115.4－2.318.72－6.31－125.112.6那么，函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有()A．5个B．4个C．3个D．2个解析：选C.观察对应值表可知，f(1)＞0，f(2)＞0，f(3)＜0，f(4)＞0，f(5)＜0，f(6)＜0，f(7)＞0，∴函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有3个，故选C.3．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次算得f(0)0，f(0.5)0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．答案：(0,0.5)f(0.25)4．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：f(1.6000)≈0.200f(1.5875)≈0.133f(1.5750)≈0.067f(1.5625)≈0.003f(1.55625)≈－0.029f(1.5500)≈－0.060据此数据，可得f(x)＝3x－x－4的一个零点的近似值(精确度0.01)为________．解析：由参考数据知，f(1.5625)≈0.0030，f(1.55625)≈－0.0290，即f(1.5625)·f(1.55625)0，且1.5625－1.55625＝0.006250.01，∴f(x)＝3x－x－4的一个零点的近似值可取为1.5625.答案：1.5625[A级基础达标]1．用二分法求函数f(x)＝3x3－6的零点时，初始区间可选为()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)解析：选B.∵f(1)＝－3，f(2)＝18，∴f(1)·f(2)0.∴可选区间为(1,2)．2．下列函数中，有零点但不能用二分法求零点近似值的是()①y＝3x2－2x＋52②y＝－x＋1，x≥0x＋1，x0③y＝2x＋1，x∈(－∞，0)④y＝x3－2x＋3⑤y＝12x2＋4x＋8A．①③B．②⑤C．⑤D．①④解析：选C.二分法只适用于在给定区间上图象连续不间断的函数变号零点的近似值的求解．题中函数①无零点，函数②③④都有变号零点．函数⑤有不变号零点－4，故不能用二分法求零点近似值，应选C.3．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)＜0，f(1.5)＞0，f(1.25)＜0，则方程的根落在区间()A．(1,1.25)B．(1.25,1.5)C．(1.5,2)D.不能确定解析：选B.由已知f(1)＜0，f(1.5)＞0，f(1.25)＜0，∴f(1.25)f(1.5)＜0，因此方程的根落在区间(1.25,1.5)内，故选B.4．用二分法求函数y＝f(x)在区间(2,4)上的近似解．验证f(2)·f(4)0，给定精确度ε＝0.01，取区间(2,4)的中点，x1＝2＋42＝3.计算f(2)·f(x1)0，则此时零点x0∈________(填区间)．解析：∵f(2)·f(4)0，f(2)·f(3)0，f(3)·f(4)0，故x0∈(2,3)．答案：(2,3)5．在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一台天平，则应用二分法的思想，最多称________次就可以发现这枚假币．解析：将26枚金币平均分成两份，放在天平上，则假币一定在质量小的那13枚金币里面；从这13枚金币中拿出1枚，然后将剩下的12枚金币平均分成两份，放在天平上，若天平平衡，则假币一定是拿出的那一枚；若不平衡，则假币一定在质量小的那6枚金币里面；将这6枚金币平均分成两份，放在天平上，则假币一定在质量小的那3枚金币里面；从这3枚金币中任拿出2枚放在天平上，若天平平衡，则剩下的那一枚即是假币；若不平衡，则质量小的那一枚即是假币．综上可知，最多称4次就可以发现这枚假币．答案：46．方程x2－1x＝0在(－∞，0)内是否存在实数解？并说明理由．解：令f(x)＝x2－1x，则当x∈(－∞，0)时，x20，1x0，所以－1x0，所以f(x)＝x2－1x0恒成立，所以x2－1x＝0在(－∞，0)内无实数解．[B级能力提升]7．方程log2x＋x2＝2的解一定位于区间()A．(0,1)3B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)解析：选B.设f(x)＝log2x＋x2－2，∵f(1)＝0＋1－2＝－10，f(2)＝1＋4－2＝30，∴f(1)f(2)0，由根的存在性定理知，方程log2x＋x2＝2的解一定位于区间(1,2)，故选B.8．某方程在区间D＝(2,4)内有一无理根，若用二分法求此根的近似值，要使所得近似值的精确度达到0.1，则应将D分()A．2次B．3次C．4次D．5次解析：选D.等分1次，区间长度为1.等分2次区间长度为0.5，…，等分4次，区间长度为0.125，等分5次，区间长度为0.06250.1.9．关于“二分法”求方程的近似解，下列说法正确的有________．①“二分法”求方程的近似解一定可将y＝f(x)在[a，b]内的所有零点得到②“二分法”求方程的近似解有可能得到f(x)＝0在[a，b]内的重根③“二分法”求方程的近似解y＝f(x)在[a，b]内有可能没有零点④“二分法”求方程的近似解可能得到f(x)＝0在[a，b]内的精确解解析：利用二分法求函数y＝f(x)在[a，b]内的零点，那么在区间[a，b]内肯定有零点存在，而对于重根无法求解出来，且所得的近似解可能是[a，b]内的精确解．答案：④10．如果在一个风雨交加的夜里查找线路，从某水库闸房(设为A)到防洪指挥部(设为B)的电话线路发生了故障．这是一条10km长的线路，如何迅速查出故障所在？如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多．每查一个点要爬一次电线杆子，10km长，大约有200多根电线杆子呢？想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？要把故障可能发生的范围缩小到50m～100m左右，即一两根电线杆附近，最多要查多少次？解：(1)如图所示，他首先从中点C检查，用随身带的话机向两端测试时，假设发现AC段正常，断定故障在BC段，再到BC段中点D查，这次若发现BD段正常，可见故障在CD段，再到CD段中点E来查．依次类推……(2)每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，因此只要7次就够了．11．求方程2x3＋3x－3＝0的一个近似解(精确度为0.1)．解：设f(x)＝2x3＋3x－3，经试算，f(0)＝－30，f(1)＝20，所以函数在(0,1)内存在零点，即方程2x3＋3x－3＝0在(0,1)内有实数根．取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)0，又f(1)0，所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)内有实数根．如此继续下去，得到方程的一个实数根所在的区间，如下表：(a，b)(a，b)的中点f(a)f(b)fa＋b2(0,1)0.5f(0)0f(1)0f(0.5)0(0.5,1)0.75f(0.5)0f(1)0f(0.75)0(0.5,0.75)0.625f(0.5)0f(0.75)0f(0.625)0(0.625,0.75)0.6875f(0.625)0f(0.75)0f(0.6875)0因为|0.6875－0.75|＝0.06250.1，所以方程2x3＋3x－3＝0的一个精确度为0.1的近似解可取为0.75.