第3章315同步练习高中数学练习试题

1高中数学人教A版选2-1同步练习1.已知a＝(1，1，0)，b＝(0，1，1)，c＝(1，0，1)，p＝a－b，q＝a＋2b－c，则p·q＝()A．－1B．1C．0D．－2解析：选A.p＝a－b＝(1，0，－1)，q＝a＋2b－c＝(0，3，1)，∴p·q＝1×0＋0×3＋(－1)×1＝－1，故选A.2.已知A点的坐标是(－1，－2，6)，B点的坐标是(1，2，－6)，O为坐标原点，则向量OA→与OB→的夹角是()A．0B.π2C．πD.3π2解析：选C.法一：cos〈OA→，OB→〉＝OA→·OB→|OA→||OB→|＝－1－4－361＋4＋361＋4＋36＝－1.∴〈OA→，OB→〉＝π.法二：注意到A、B关于原点对称，故OA→，OB→为相反向量，所以夹角为π.3.已知△ABC的三个顶点为A(3，3，2)、B(4，－3，7)、C(0，5，1)，M为BC的中点，则|AM→|＝________．解析：M(2，1，4)，∴AM→＝(－1，－2，2)．∴|AM→|＝1＋4＋4＝3.答案：34.已知空间三个向量a＝(1，－2，z)，b＝(x，2，－4)，c＝(－1，y，3)，若它们分别两两垂直，则x＝________，y＝________，z＝________．解析：∵a⊥b，∴x－4－4z＝0.∵a⊥c，∴－1＋(－2)y＋3z＝0.∵b⊥c，∴－x＋2y－12＝0，∴x＝－64，y＝－26，z＝－17.2答案：－64－26－17[A级基础达标]1.已知a＋b＝(2，2，23)，a－b＝(0，2，0)，则cos〈a，b〉＝()A.13B.16C.63D.66解析：选C.由已知得a＝(1，2，3)，b＝(1，0，3)，∴cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝1＋0＋36×4＝63.2.已知a＝(1，0，1)，b＝(－2，－1，1)，c＝(3，1，0)，则|a－b＋2c|等于()A．310B．210C.10D．5解析：选A.∵a－b＋2c＝(1，0，1)－(－2，－1，1)＋(6，2，0)＝(3，1，0)＋(6，2，0)＝(9，3，0)，∴|a－b＋2c|＝310.3.已知a＝(1，2，－y)，b＝(x，1，2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，则()A．x＝13，y＝1B．x＝12，y＝－4C．x＝2，y＝－14D．x＝1，y＝－1解析：选B.a＋2b＝(2x＋1，4，4－y)，2a－b＝(2－x，3，－2y－2)，∵(a＋2b)∥(2a－b)，∴存在λ，使a＋2b＝λ(2a－b)，∴2x＋1＝λ（2－x），4＝3λ，4－y＝（－2y－2）λ，∴x＝12，y＝－4.4.已知a＝(2，－1，3)，b＝(－4，2，x)，c＝(1，－x，2)，若(a＋b)⊥c，则x＝__________．解析：∵a＋b＝(－2，1，x＋3)，∴(a＋b)·c＝－2－x＋2(x＋3)＝x＋4.又∵(a＋b)⊥c，∴x＋4＝0，即x＝－4.答案：－45.已知向量a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(7，0，λ)，若a、b、c三个向量共面，则实数λ＝__________．解析：由a、b、c共面可得c＝xa＋yb，∴7＝2x－y，0＝－x＋4y，λ＝3x－2y，解得λ＝10.3答案：106.已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3，2)．求：(1)|b|；(2)(2a＋3b)·(a－2b)．解：(1)|b|＝b2＝62＋（－3）2＋22＝7；(2)∵|a|＝a2＝42＋（－2）2＋（－4）2＝6，a·b＝4×6＋(－2)×(－3)＋(－4)×2＝22，∴(2a＋3b)·(a－2b)＝2a2＋3a·b－4a·b－6b2＝2×62－22－6×72＝－244.[B级能力提升]7.已知a＝(x，2，0)，b＝(3，2－x，x)，且a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是()A．x－4B．－4x0C．0x4D．x4解析：选A.∵a、b的夹角为钝角，∴a·b0.即3x＋2(2－x)＋0·x＝4＋x0，∴x－4.又当夹角为π时，存在λ0，使b＝λa，∴3＝λx，2－x＝2λ，x＝0，此方程组无解，故选A.8.已知OA→＝(1，2，3)，OB→＝(2，1，2)，OP→＝(1，1，2)，点Q在直线OP上运动，则当QA→·QB→取得最小值时，点Q的坐标为()A.12，34，13B.12，23，34C.43，43，83D.43，43，73解析：选C.设OQ→＝λOP→，则QA→＝OA→－OQ→＝OA→－λOP→＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB→＝OB→－OQ→＝OB→－λOP→＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，所以QA→·QB→＝(1－λ，2－λ，3－2λ)·(2－λ，1－λ，2－2λ)＝2(3λ2－8λ＋5)＝23λ－432－13.所以，当λ＝43时，QA→·QB→最小，此时OQ→＝43OP→＝43，43，83.9.已知3a－2b＝(－2，0，4)，c＝(－2，1，2)，a·c＝2，|b|＝4，则cos〈b，c〉＝__________．解析：(3a－2b)·c＝(－2，0，4)·(－2，1，2)＝12，即3a·c－2b·c＝12.4由a·c＝2，得b·c＝－3.又∵|c|＝3，|b|＝4，∴cos〈b，c〉＝b·c|b||c|＝－14.答案：－1410.(2012·深圳高二检测)已知空间三点A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5)．(1)求以向量AB→，AC→为一组邻边的平行四边形的面积S；(2)若向量a分别与向量AB→，AC→垂直，且|a|＝3，求向量a的坐标．解：(1)∵AB→＝(－2，－1，3)，AC→＝(1，－3，2)，∴cos∠BAC＝AB→·AC→|AB→||AC→|＝12，∴∠BAC＝60°，∴S＝|AB→||AC→|sin60°＝73.(2)设a＝(x，y，z)，则a⊥AB→⇒－2x－y＋3z＝0，a⊥AC→⇒x－3y＋2z＝0，|a|＝3⇒x2＋y2＋z2＝3，解得x＝y＝z＝1或x＝y＝z＝－1，∴a＝(1，1，1)或a＝(－1，－1，－1)．11.(创新题)如图，直三棱柱ABC­A1B1C1的底面ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M、N分别是A1B1、A1A的中点．(1)求BN→的模；(2)求异面直线BA1与CB1所成角的余弦值；(3)求证：A1B⊥C1M.解：以C为坐标原点，以CA→、CB→、CC1→的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系Cxyz，如图．5(1)由题意得N(1，0，1)，B(0，1，0)，∴|BN→|＝12＋（－1）2＋12＝3.(2)依题意得A1(1，0，2)，B(0，1，0)，C(0，0，0)，B1(0，1，2)，C1(0，0，2)．∴BA1→＝(1，－1，2)，CB1→＝(0，1，2)，∴BA1→·CB1→＝3.|BA1→|＝6，|CB1→|＝5，∴cos〈BA1→，CB1→〉＝BA1→·CB1→|BA1→||CB1→|＝3010，∴异面直线BA1与CB1所成角的余弦值为3010.(3)证明：∵M12，12，2，∴C1M→＝(12，12，0)，又∵A1B→＝(－1，1，－2)，∴A1B→·C1M→＝－1×12＋1×12＋(－2)×0＝0，∴A1B→⊥C1M→，即A1B⊥C1M.