第五章平面向量基础测试题

高考网基础测试（一）选择题（第题4分，共24分）1．计算BACDDBAC等于（）．（A）0（B）0（C）2DB（D）2AC【提示】BACDDBAC＝（CDAC）＋（BADB）＝DAAD＝0．【答案】（B）．【点评】本题考查向量的加法及运算律，相反向量，零向量的表示方法．2．若向量a＝（3，2），b＝（0，－1），则向量2b－a的坐标是（）．（A）（3，－4）（B）（－3，4）（C）（3，4）（D）（－3，－4）【提示】2b－a＝2（0，－1）－（3，2）＝（－3，－4）．【答案】（D）．【点评】本题考查向量的坐标运算．3．下列各组向量中，共线的是（）．（A）a＝（－2，3），b＝（4，6）（B）a＝（1，－2），b＝（7，14）（C）a＝（2，3），b＝（3，2）（D）a＝（－3，2），b＝（6，－4）【提示】若a＝（x，y），b＝（x2，y2），则a与b共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0．这里（－3）×（－4）－2×6＝0．故选（D）．【答案】（D）．【点评】本题以坐标的形式考查向量共线的充要条件．对于（A），（－2）×6－3×4＝－24≠0，排除（A）；对于（B），1×14－（－2）×7＝28≠0，排除（B）；对于（C），2×2－3×3＝－5≠0，排除（C）．高考网．平面上有三个点A（1，3），B（2，2），C（7，x），若∠ABC＝90°，则x的值为（）．（A）5（B）6（C）7（D）8【提示】∠ABC＝90°，即AB⊥BC，因AB＝（1，－1），BC＝（5，x－2），得1×5＋（－1）×（x－2）＝0，解出x＝7．【答案】（C）．【点评】本题考查向量的坐标运算及向量垂直的充要条件．5．设s、t为非零实数，a与b均为单位向量时，若|sa＋tb|＝|ta－sb|，则a与b的夹角的大小为（）．（A）30°（B）45°（C）60°（D）90°【提示】由|sa＋tb|＝|ta－sb|，得s2a2＋t2b2＋2sta·b＝t2a2＋s2b2－2stab．又a、b均为单位向量，|a|＝1，|b|＝1，即a2＝1，b2＝1．∴4sta·b＝0，有|a|·|b|cos＝0，得cos＝0．∴＝90°．【答案】（D）．【点评】本题主要考查平面向量的数量积及运算律．6．如图，D、C、B三点在地面同一条直线上，从C、D两点测得A点仰角分别为、，（＞），则A点距地面高度AB等于（）．（A）)sin(cossinm（B）)cos(cossinm（C）)sin(coscosm（D）)cos(coscosm高考网【提示】在△ACD由正弦定理，得AC＝)(sinsinsm，再在直角三角形中求AB．【答案】（A）．【点评】本题主要考查应用正弦定理解三角形的有关知识．（二）填空题（每题4分，共20分）1．已知向量a＝（1，2），b＝（3，1），那么向量2a－21b的坐标是_________．【提示】2a－21b＝2（1，2）－21（3，1）＝（2，4）－（23，21）＝（2－23，4－21）＝（21，321）．【答案】（21，321）．【点评】本题考查平面向量的坐标运算．2．已知A（－1，2），B（2，4），C（4，－3），D（x，1），若AB与CD共线，则|BD|的值等于________．【提示】由AB与CD共线，先得x＝10，再求|BD|的长．【答案】73．【点评】本题考查向量的模、向量的坐标运算及向量共线的充要条件．3．已知点P1（1，2），P2（－2，1），直线P1P2与x轴相交于点P，则点P分21PP所成的比的值为_____．【提示】由直线P1P2与x轴相交于点P，得点P的纵坐标为0，于是0＝112，即＝－2．【答案】－2．【点评】本题考查线段的定比分点的坐标公式．高考网．将点A（2，4）按向量a＝（－5，－2）平移后，所得到的对应点A′的坐标是______．【提示】由已知，x＝2，y＝4，h＝－5，k＝－2，代入平移公式kyyhxx，得x′＝－3，y′＝2．【答案】（－3，2）．【点评】本题考查点的平移公式．主要应分清平移前后点的坐标．5．在△ABC中，已知a＝2，b＝22，c＝6＋2．则这个三角形的最小角的度数是___________．【提示】先由已知条件判断△ABC三条边中的最短的边，它所对的角便是该三角形的最小角．由于c＞b＞a，则a对的角A为最小．利用余弦定理，得cosA＝bcacb2222＝)26(2222)26()22(222＝23，∴A＝30°．【答案】30°．【点评】本题主要考查应用余弦定理解决三角形的有关问题．（三）解答题（每题14分，共56分）1．设平面三点A（1，0），B（0，1），C（2，5）．（1）试求向量2AB＋AC的模；（2）试求向量AB与AC的夹角；（3）试求与BC垂直的单位向量的坐标．【提示】AB、AC的坐标为终点坐标与始点坐标的差，求出AB、AC的坐标后，可得2AB＋高考网的坐标，（1）可解，对于（2），可先求AB、AC的值，代入cos＝||||ACABACAB，即可；对于（3），设所求向量的坐标为（x，y），根据题意，可得关于x、y的二元方程组，解出x，y．【答案】（1）∵AB＝（0－1，1－0）＝（－1，1），AC＝（2－1，5－0）＝（1，5）．∴2AB＋AC＝2（－1，1）＋（1，5）＝（－1，7）．∴|2AB＋AC|＝227)1(＝50．（2）∵|AB|＝221)1(＝2．|AC|＝2251＝26，AB·AC＝（－1）×1＋1×5＝4．∴cos＝||||ACABACAB＝2624＝13132．（3）设所求向量为m＝（x，y），则x2＋y2＝1．①又BC＝（2－0，5－1）＝（2，4），由BC⊥m，得2x＋4y＝0．②由①、②，得．55552yx或．－55552yx∴（552，－55）或（－552，55）即为所求．【点评】本题考查向量的模，向量的坐标运算、向量的数量积，向量垂直的充要条件以及运算能力．高考网．如图，已知AB＝DC＝a，BC＝b，且|a|＝|b|．（1）用a，b表示AD，AO，OB；（2）求AC·BD．【提示】由AB＝DC，可判定四边形ABCD为平行四边形，于是利用平行四边形的性质．可求AD，AO，OB．又AC＝AB＋BC．BD＝AD－AB，AD＝BC利用数量积的运算性质及已知条件|a|＝|b|．可求AC·BD．【答案】（1）∵AB＝DC，∴四边形ABCD为平行四边形．∴AD＝BC＝b．∴AC＝AB＋BC＝a＋b，BD＝AD－AB＝b－a，而AO＝21AC，OB＝－21BD，∴AO＝21a＋21b，OB＝21a－21b．（2）∵AC＝a＋b，BD＝b－a，∴AC·BD＝（b＋a）（b－a）＝b2－a2＝|b|2－|a|2＝0．【点评】本题考查平面向量的加减法，基本定理、数量积及运算律．解题时注意结合平面图形的高考网几何特征，寻求向量之间的联系．由题目的条件及结论可知，四边形ABCD为菱形．3．一只船按照北偏西30°方向，以36海里/小时的速度航行，一灯塔M在船北偏东15°，经40分钟后，灯塔在船北偏东45°．求船与灯塔原来的距离．【提示】先画船航行的示意图，将题目的已知条件分别与三角形内的边、角对应起来，从而确定三角形内的边角关系，运用正弦定理或余弦定理解决．【答案】如图，设船原来的位置为A，40分钟后的位置为B，则AB＝36×32＝24（海里）．在△ABM中，∠BAM＝30°＋15°＝45°．∠ABM＝180°－（45°＋30°）＝105°，∴∠AMB＝180°－（∠ABM＋∠BAM）＝30°．由正弦定理，得AM＝AMBABsin·sin∠ABM＝30sin24·sin105°＝12（2＋6）（海里）．答：船与灯塔原来的距离为12（2＋6）海里．【点评】本题考查解斜三角形的应用问题．关键是画出示意图（这里必须弄清方位角的概念），建立数学模型，将实际问题转化为解斜三角形的问题．4．在□ABCD中，对角线AC＝65，BD＝17，周长为18，求这个平行四边形的面积．【提示一】要求得平行四边形的面积，须知两条邻边及它的夹角．由周长为18，知两条邻边的和高考网，可据两条已知的对角线，利用余弦定理求得两条邻边及夹角．【提示二】在△AOB和△BOC中利用余弦定理求解．【解法一】如图，在□ABCD中，设AB＝x，则BC＝9－x，在△ABC中，据余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2ABBCcosABC．在△ABD中，据余弦定理，得BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcosDAB．由已知AC＝65，BD＝17，∠DAB＋∠ABC＝180°，BC＝AD．故角65＝x2＋(9－x)2－2ABBCcosABC，17＝x2＋（9－x2）＋2ABBCcosABC，二式相加，得82＝4x2－36x＋162即x2－9x＋20＝0解得x＝4，或x＝5，在△ADB中，由余弦定理，得cos∠DAB＝ABADBDABAD2222＝542175422＝53．∴sin∠DAB＝54．∴sin□ABCD＝AB·ADsinDAB＝4×5×54＝16．高考网【解法二】在△AOB和△BOC中，由余弦定理，得AB2＝OA2＋OB2－2OA·OBcos∠AOB，BC2＝OC2＋OB2－2OC·OBcos∠BOC，可设AB＝x，则BC＝9－x，而OA＝OC＝21AC，OB＝21BD，∠AOB＋∠BOC＝180°，代入后化简，可求得x＝4或x＝5．在△ADB中，由余弦定理，得cos∠DAB＝ABADBDABAD2222＝542175422＝53．∴sin∠DAB＝54．∴sin□ABCD＝AB·ADsinDAB＝4×5×54＝16．【点评】本题考查余弦定理的灵活运用．3．如图，某观测站C在城A的南偏西20°方向上，从城A出发有一条出路，走向是南偏东40°，在C处测得距C处31千米的公路上的B处有一人正沿着公路向城A走去．走20千米后到达D处．测得CD＝21千米，这时此人距城A多少千米．【提示】要求AD的长，在△ACD中，应用正弦定理，只需求∠ACD，而∠CDB是△ACD的一个外角，∠CAD已知，故只需求∠CDB，在△CDB中，已知两边，可利用余弦定理求角．高考网【答案】由已知，在△CDB中，CD＝21，DB＝20，BC＝31，据余弦定理，有cos∠CDB＝DBCDBCDBCD2222＝－71．∴sin∠CDB＝CDB2cos1＝374．在△ACD中，∠CAD＝20°＋40°＝60°，∴∠ACD＝∠CDB－∠CAD＝∠CDB－60°．∴sin∠ACD＝sin（∠CDB－60°）＝sin∠CDBcos60°－cos∠CDBsin60°＝374×21－（－71）×23＝1435．由正弦定理，得AD＝CADCDsin·sin∠ACD＝15（千米）．答：此人距A城15千米．【点评】本题结合三角函数的知识，主要考查了正弦、余弦定理的应用．解此类应用问题的关键是正确理解题意，建立数学模型，将实际问题转化为解斜三角形的问题，再根据正弦、余弦定理予以解决．4．已知平面向量a＝（7，9），若