第五章平面向量提高测试题二

海量资源尽在星星文库：提高测试（二）（一）选择题（每题4分，共24分）1．设a、b、c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则①（a·b）c－（c·a）b＝0；②|a|－|b|＜|a－b|；③（b·c）a－（c·a）b不与c垂直；④（3a＋2b）·（3a－2b）＝9|a|2－4|b|2中，是真命题的有（A）①②（B）②③（C）③④（D）②④【提示】对于②，|a|、|b|，|a－b|表示三角形的三条边长，可得|a|－|b|＜|a－b|，故②是正确的，排除（C）；对于④，利用向量的运算，可得④正确的．【答案】（D）．【点评】本题考查平面向量中零向量、共线向量、向量的垂直、向量的横等有关概念和向量的加、减、与实数的积，数量积这些基本的运算及其运算性质．因为向量的数量积不满足结合律，即（a·b）·c≠a·（b·c），故命题①是错误的；而对于[（b·c）a－（c·a）b]·c＝（b·c）a·c－（c·a）b·c＝0，有（b·c）a－（c·a）b与c是垂直的，故命题③是错误的．2．已知向量1e＝[1，0），2e＝（0，1），则与21e＋2e垂直的向量是（）．（A）21e－2e（B）1e－22e（C）21e＋2e（D）1e＋22e【提示一】利用向量的坐标计算∵1e＝（1，0），2e＝（0，1），海量资源尽在星星文库：∴21e＋2e＝（2，1）而1e－22e＝（1，－2）有（21e＋2e）（1e－22e）＝2×1＋（－2）×1＝0，∴（21e＋2e）⊥（1e－22e）．【提示二】利用向量的运算由已知，得|1e|＝1，|2e|＝1，1e·2e＝0，∴（21e＋2e）（1e－22e）＝21e－31e·2e－22e＝0，∴（21e＋2e）⊥（1e－22e）．【提示三】利用向量的几何意义．由已知，可得1e与2e是互相垂直的单位向量．如图，在直角坐标系中，21e＋2e＝OP．显然21e－2e表示的向量1OP不与OP垂直，21e＋2e表示的向量3OP与OP重合；1e＋22e表示的向量4OP也不与OP垂直．海量资源尽在星星文库：【答案】（B）．【点评】本题主要考查向量垂直的充要条件．通常有三种方法，一是利用向量的坐标运算；二是利用向量的运算，三是利用向量的几何意义．3．已知a＝（－2，3），b＝（3，2），若m1＝a·b，m2＝a·（a＋b），m3＝b（a＋b），m4＝（a＋b）（a－b），m5＝(a＋b)2，则m1，m2，m3，m4，m5的大小顺序是（）．（A）m1＜m2＝m3＜m4＜m5（B）m1＜m3＝m4＜m2＜m5（C）m1＝m4＜m2＝m3＜m5（D）m1＝m5＜m4＝m2＜m3【提示】利用向量的坐标运算，分别计算出m1＝（－2）×3＋3×2＝0，m2＝（－2）×1＋3×5＝13，m3＝3×1＋2×5＝13，m4＝1×（－5）＋5×1＝0，m5＝26，于是m1＝m4＜m2＝m3＜m5．【答案】（C）．【点评】本题主要考查向量的坐标运算及计算能力．4．已知向量a与b不共线，AB＝a＋kb，AC＝la＋b（k，l∈R），则AB与AC共线的条件是（）．（A）k＋l＝0（B）k－l＝0（C）kl＋1＝0（D）kl－1＝0【提示】∵AB∥AC，∴a＋kb＝（la＋b）（∈R）即（1－l）a＋（k－）b＝0∵a、b不共线，则001kl，消去，海量资源尽在星星文库：∴kl－1＝0．【答案】（D）．【点评】本题考查向量共线的充要条件、向量相等的充要条件及逻辑推理能力．即引入后，再设法消去，寻求k与l的关系式．5．设0x，1x，2x为平面上的三个向量，且满足0xkx＝k1，1xkx＝11k，2x·kx＝21k（k＝1，2），则能使a1x＋b2x＝0x成立的常数a、b的值是（）．（A）a＝6，b＝6（B）a＝－6，b＝6（C）a＝6，b＝－6（D）a＝－6，b＝－6【提示】要求a、b的值，必需寻求含有a、b的两个关系式．由已知，得0x·1x＝1，0x·2x＝21，1x·2x＝31，1x2＝21，2x2＝41．对于a1x＋b2x＝0x，等式两边同乘以1x，得a1x2＋b1x·2x＝0x·1x，即21a＋31b＝1．①等式两边同乘以2x，得a1x·2x＋b2x2＝0x·2x，即31a＋41b＝21．②由①、②，可得a＝6，b＝－6．【答案】（C）．【点评】本题考查平面向量的数量积及运算律，考查方程的思想方法及逻辑推理能力．6．在四边形ABCD中，E是AB的中点，K是CD的中点，则以线段AK，CE，BK，DE的中点为顶点的四边形是（）．海量资源尽在星星文库：（A）任意四边形（B）平行四边形（C）矩形（D）菱形【提示一】利用坐标法．设A（a1，a2），B（b1，b2），C（c1，c2），D（d1，d2），则K（211dc，222dc），E（211ba，222ba），若AK，BK，CE，DE的中点分别为O1，O2，O3，O4，则O1，O2，O3，O4，则O1（42211dca，42222dca），O2（42111dcb，42222dcb），O3（42111bac，42222bac），O4（42111bad，42222bad）．于是，O1O2的中点坐标为（41111dcba，42222dcba），O3O4的中点坐标为（41111dcba，42222dcba）．∴四边形O1O4O2O3为平行四边形．利用向量的坐标运算，可进一步验证41OO·24OO≠0，排除（C）；21OO·43OO≠0，排除（D）．【提示二】利用向量式若AK，BK，CE，DE的中点分别为O1，O2，O3，O4，则1EO＝21（EA＋EK），2EO＝21（EB＋EK），3EO＝21EC＝21（EB＋BC），4EO＝21ED＝21（EA＋AD）．∴14OO＝1EO－4EO＝21[（EA＋EK）－（EA＋AD）]＝21（EK－AD）海量资源尽在星星文库：＝21[（EA＋AD＋DK）－AD]＝21（EA＋DK）＝21[（21BA）＋（21DC）]＝41（BA＋DC）．又32OO＝3EO－2EO＝21[（EB＋BC）－（EB＋EK）]＝21（BC－EK）＝21[BC－（EB＋BC＋CK）]＝21（－EB－CK）＝21[（21BA）＋（21DC）]＝41（BA＋DC）．∴14OO＝32OO，即四边形O1O4O2O3是平行四边形．【答案】（B）．【点评】本题主要考查了向量的运算，提示一利用向量的坐标表示及线段的中点坐标公式．将平面几何图形的位置关系转化为坐标的计算问题；提示二利用向量的加、减法运算律，线段中点的向量形式，将问题转化为向量的线性运算，这正体现了向量工具的重要作用之一．（二）填空题（每题4分，共20分）1．已知平行四边形ABCD的三个顶点A（0，0），B（3，1），C（4，1），则D点的坐标为__________．【提示】设D（x，y），在□ABCD中，由AB＝DC，得（4－x，3－y）＝（3，1）∴．1334yx即．21yx【提示二】设点O为□ABCD中两条对角线AC、BD的交点．海量资源尽在星星文库：∵A（O，O），C（4，3），且O为AC的中点，∴O（2，23）．又O为BD的中点，B（3，1），∴D（1，2）．【答案】（1，2）．【点评】本题考查向量的基础知识及其运算．求点的坐标的基本方法有两种，一是利用向量的坐标运算，本题提示一利用了相等向量的定义，也可由AD＝BC，求得点D的坐标；二是利用线段的定比分点的坐标公式，提示二的解法利用了中点坐标公式．2．已知a＝（m＋1，－3），b＝（1，m－1），且（a＋b）⊥（a－b），则m的值是__________．【提示】先由向量a、b的坐标，求得a＋b＝（m＋2，m－4），a－b＝（m，－2－m），再利用向量垂直的充要条件，得（a＋b）·（a－b）＝0，即（m＋2）×m＋（m－4）×（－2－m）＝0，解出m＝－2．【答案】－2．【点评】本题考查向量的坐标运算，向量垂直的充要条件及计算能力．3．将函数y＝log3（2x＋1）－4的图象按向量a平移后得到的是函数y＝log32x的图象，则a的坐标是___________．【提示】设平移向量a＝（h，k）．由平移公式．kyyhxx即．kyyhxx把（x，y）代入y＝log3（2x＋1）－4中，得y′－k＝log3[2（x′－h）＋1]－4，即y′＝log3[2x′＋（1－2h）]＋（k－4）．∵平移后得到的是函数y＝log32x的图象，海量资源尽在星星文库：∴．－04021kh即．421kh∴a＝（21，4）．【点评】利用平移可以将复杂函数式转化为简单函数式，这是研究函数的一种重要方法．4．若向量m＝（3，－1），p＝（21，23），u＝m＋（x2－3）p，v＝－ym＋xp，且x3－3x－4y＝0，则u与v的夹角等于________．【提示】要求u与v的夹角，可通过u·v来解．据已知，u·v＝－y|m|2＋x（x2－3）|p|2＋[x－y（x2－3）]m·p．又|m|2＝4，|p|2＝1，m·p＝3×21＋（－1）×23＝0．∴u·v＝－4y＋x3－3x＝（x3－3x）＋x3－3x＝0．∴u⊥v，即u与v的夹角为90°．【答案】90°．【点评】本题主要考查向量的数量积及运算律．考查计算及逻辑推理能力．5．求值：sin220°＋cos280°＋3sin20°cos80°＝_________．【提示】分析原式的结构特点，联想到余弦定理．将其转化为边长的形式，构造三角形可求得原式的值．【解】由于cos80°＝sin10°，则sin220＋cos280°＋3sin20°cos80°＝sin220°＋sin210°＋3sin20°sin10°．构造△ABC，使A＝20°，B＝10°，C＝150°，三角形的外接圆半径为R．海量资源尽在星星文库：则由正弦定理，得a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC．再据余弦定理，有c2＝a2＋b2－2abcosC，(2RsinC)2＝(2RsinA)2＋(2RsinB)2－2(2RsinA)(2RsinB)cosC．即sin2C＝sin2A＋sin2B－2sinAsinBcosC．sin2150°＝sin220°＋sin210°－2sin20°sin10°cos150°．∴sin220°＋cos280°＋3sin20°cos80°＝41．【点评】本题的解法很多，常用的方法是逆用倍角公式，由sin220°＝240cos1，cos280°＝2160cos1，然后再利用和差化积，积化和差公式，两角和差的三角函数式来化简，一般解题过程较长．前面提供的解法可以说另辟蹊径，据已知三角形函数式结特点，构造三角形，借用余弦定理求解思路新奇，简捷明快．（三）解答题（每题14分，共56分）1．在△ABC中，A＝120°，sinB∶sinC＝3︰2，S△ABC＝63，求a．【提示】在△ABC中，要求a的值，已知A，应用余弦定理，只需求得b，c的长．由sinB∶sinC＝3∶2，应用正弦定理，可将角的关系转化为b、c边的关系，再利用面积公式，得b、c的另一个关系式，解关于b、c的二元方程组，即可．【答案】在△ABC中，由正弦定理，得cb＝CBsinsin＝23．①又S△ABC＝21bcsinA＝21bcsin120°＝63，于是，bc＝24．②由①、②，可得b＝6，c＝4．（负值舍去）据余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝36＋16－2×6×4×cos120°＝76，海量资源尽在星星文库：∴a＝219．【点评】本题考查应用正弦定理、余弦定理解斜三角形的有关知识．在解三角形时，