第四章三角函数提高测试题一

高考网提高测试（一）（一）选择题（每题3分，共30分）1．下列命题中，真命题是（）．（A）若sin＞0，则02sin（B）若sin＞0，则cos＞（C）若tan＞0，则sin2＞0（D）若cos＜0，则cos2＜0【提示】根据三角函数值的符号，确定角所在的象限，再由角2，2所在的象限，判断相应三角函数值的符号．【答案】（C）．【点评】本题考查三角函值的符号．由sin＞0，得2k＜＜2k＋（kZ），于是k＜2＜k＋2π（kZ），知2是第一或第三象限角，故排除（A）．由sin＞0，得是第一或第二象限角，排除（B）．由cos＜0，得2k＋2π＜＜2k＋23π（kZ），于是4k＋＜＜4k＋（kZ），此时，可能是任何象限的角，排除（D）．而由tan＞0，知k＜＜k＋2π（kZ），于是2k＜＜2k＋，此时sin2＞0成立．2．若f（cosx）＝cos2x，则f（sin15°）的值是（）．（A）21（B）23（C）－21（D）－23【提示一】由f（cosx）＝cos2x＝2cos2x－1，得f（x）＝2x2－1，于是f（sin15°）＝2(sin15°)2－1＝―cos30°＝―23．【提示二】高考网（sin15°）＝f（cos75°）＝cos150°＝―cos30°＝―23．【答案】（D）．【点评】本题结合函数的概念考查二倍角公式或诱导公式的灵活应用．3．下列函数中，周期为2π的偶函数是（）．（A）f（x）＝sin4x，x∈R（B）f（x）＝cos22x－sin22x，x∈R（C）f（x）＝tan2x，x∈R且x2πk＋4π（k∈Z）（D）f（x）＝cos2x，x∈R【提示】（A）、（C）中的函数为奇函数，（D）中的函数周期是，而对于（），f（x）＝cos4x是周期为2π的偶函数．【答案】（B）．【点评】本题考查三角函数的奇偶性、周期性和二倍角公式．4．比较23cos，101sin，－47cos的大小顺序是（）．（A）23cos＜101sin＜－47cos（B）23cos＜－47cos＜101sin（C）101sin＜23cos＜－47cos（D）－47cos＜101sin＜23cos【提示】23coscos86°，101sinsin5.7°＝cos84.3°，－47cos－cos100.3°＝cos79.7°，而y＝cosx在（0，2π）为减函数，得cos86°＜cos84.3°＜cos79.7°，即23cos＜101sin＜－47cos．【答案】（A）．【点评】本题考查诱导公式及余弦函数的单调性．在比较大小时，一般是先将各三角函数都高考网化为同名的三角函数，再将各角化为第一象限的角，最后利用三角函数的单调性来比较．5．要使sin－3cos＝mm464有意义，m的取值范围是（）．（A）[－1，0]（B）[0，37]（C）[－1，37]（D）[23，4]【提示】由于sin－3cos＝sin（－3π），得－2mm4642，解不等式，得m∈[－1，37]．【答案】（C）．【点评】本题考查两角差的正弦，三角函数的值域以及解不等式的有关知识．6．在直角三角形中两锐角为A和B，则sinAsinB（）．（A）有最大值21和最小值0（B）有最大值21，但无最小值（C）既无最大值也无最小值（D）有最大值1，但无最小值【提示】因为A＋Ｂ＝90°，有sinAsinB＝sinAcosA＝21sin2A．又0°＜A＜90°，所以当A＝45°时，sinAsinB有最大值21，但2A∈(0，180°)，sin2A无最小值．【答案】（B）．【点评】本题考查三角函数的诱导公式及二倍角的正弦公式、正弦函数的有界性等知识．高考网．函数y＝Asin（x＋）在同一区间内，当x＝9π时，y取得最大值21；当x＝94π时，y取得最小值－21，则函数的解析式是（）．（A）y＝21sin（3x－6π）（B）y＝21sin（3x＋6π）（C）y＝21sin（3x＋6π）（D）y＝21sin（3x－6π）【提示】显然A＝21，2T＝94π－9π＝3π，T＝32π．则＝T2π＝3，将（9π，21）代入y＝21sin（x＋），得＝6π，于是y＝21sin（3x＋6π）．【答案】（B）．【点评】本题考查三角函数y＝Asin（x＋）的图象和性质．8．下列各式中正确的是（）．（A）arcsin（－3π）＝－23（B）arcsin（sin45π）＝－4π（C）arcsin（arcsin3π）＝3π（D）sin[arccos（－21）]＝－23【提示】利用反正弦函数、反余弦函数的定义．高考网【答案】（B）．【点评】本题考查反正弦、反余弦的定义．对于arcsinx＝，x表示角的正弦值，且x|1，而－3π＜－1，排除（A）；又3π＞1，排除（C）；由于arccos（－21）＝3π2，sin3π2＝23，排除（D）．而sin45π＝－22，arcsin（－22）＝－4π．故选（B）．9．使函数y＝sin（2x＋）＋3cos（2x＋）为奇函数，且在，4π上是减函数的的一个值是（）．（A）3π（B）3π2（C）3π4（D）3π5【提示】由于y＝2sin（2x＋＋3π）为奇函数，再将各选项的的值逐项代入，可排除（A）、（C）．又x∈，4π时原函数为减函数，再排除（D）．【答案】（B）．【点评】本题考查两角和的正弦公式、函数的奇偶性以及函数的单调性．10．已知tan，tan是方程x2＋33x＋4＝0的两根，且－2π＜＜2π，－2π＜＜2π，则＋等于（）．（A）3π（B）－32π（C）3π或32π（D）－3π或32π【提示】因为tan＋tan＝－33，tantan＝4，则tan（＋）＝tantan1tantan＝3．同时由tan＋tan＜，tantan＞，可知tan，tan均小于零，故、（－2π，0），高考网所以＋（－，0），得＋＝－32π．【答案】（B）．【点评】本题考查两角和的正切公式，以及综合运用韦达定理解决问题的能力．（二）填空题（每题4分，共20分）1．函数y＝xxtancot1的周期T＝_______．【提示一】y＝xxxxcossinsincos1＝xxxx22sincoscossin＝xx2cos2sin21＝21tan2x．【提示二】y＝xxtantan11＝xx2tan1tan＝21tan2x．高考网【答案】2π【点评】本题考查同角三角函数关系，二倍角公式及正切函数的周期性．2．求73πcos72πcos7πcos的值等于________．【提示】73πcos72πcos7πcos＝7πsin273πcos72πcos7πcos7πsin2＝7πsin227π3cos7π2cos7π2sin2＝7πsin47π4cos7π4sin＝7πsin87π8sin＝7πsin87πsin＝81．【答案】81．【点评】本题考查二倍角公式及诱导公式以及三角恒等变形的能力．3．函数y＝2sinx＋2cosx在（－2，2）内的递增区间是_____________．高考网【提示】y＝2sinx＋2cosx＝)4π2sin(2x，函数y的单调递增区间由下面的条件决定：π2π2)(2ππ24π22π-π2xkkxkZ解之即可．【答案】[－23π，2π]．【点评】本题考查三角函数式的恒等变形及三角函数的单调性．4．函数f（x），xR是奇函数，且当x0时，f（x）＝x2＋sinx，则当x＜0时，f（x）＝____________．【提示】当x＜0时，－x＞0，由题设f（－x）＝（－x）2＋sin（－x）＝x2－sinx.，又f（x）为奇函数，f（－x）＝－f（x），于是f（x）＝－f（－x）＝－x2＋sinx．【答案】－x2＋sinx．【点评】本题考查函数的概念，函数的奇偶性及运算能力．5．方程2sinx＝31在[，]上的解是___________．【提示】由2sinx＝31，得2x＝k＋（－1）k31arcsin，x＝2k＋（－1）k31arcsin2（kZ），当k＝1时，有x＝2－31arcsin2[，．【答案】2－31arcsin2．高考网【点评】本题考查反正弦的定义．（三）解答题（每题10分，共50分）1．已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在x轴的非负半轴上，终边经过点P（－１，2），求sin（2＋3π2）的值．【提示】画出图形，先求得sin，cos的值．【答案】据已知，OP＝222)1(＝5，由三角函数的定义，sin＝52，cos＝－51．于是，sin2＝sincos＝－54，cos2＝2cos2－1＝－53．∴sin（2＋3π2）＝3π2cos2sin＋3π2sin2cos＝－54×（－21）＋（－53）×23＝10334．【点评】本题考查三角函数的定义，两角和的正弦、倍角公式及计算能力．2．设＜A＜23π，0＜B＜2π，且cosA＝－55，cotB＝3，求证A－B＝π45．【提示】根据已知，先计算tan（A－B）的值，再判断A－B的取值范围．【答案】∵＜A＜23π，cosA＝－55，∴sinA＝－A2cos1＝552，于是，tanA＝AAcossin＝2．又cotB＝3，得tanB＝31．高考网∴tan（A－B）＝BABAtantan1tantan＝321312＝1．∵＜A＜2π3，0＜B＜2π，∴2π＜A－B＜23π．∴A－B＝4π5．【点评】本题考查同角三角函数间的关系，两角差的正切，由三角函数值确定角的方法．3．已知cos＝cosx·sin，cos＝sinx·sin，求证sin2＋sin2＋sin2＝【提示】利用已知条件，注意到sin2＝1－cos2，sin2＝1－cos2，将条件代入原式的左边，化简即可．【答案】左边＝1－cos2＋1－cos2＋sin2＝2－cos2－cos2＋sin2，又cos＝cosxsin，cos＝sinxsin，∴左边＝2－cos2xsin2－sin2xsin2＋sin2＝2－sin2（sin2x＋cos2x）＋sin2＝2－sin2＋sin2＝2∴原结论成立．【点评】本题通过三角恒等式的证明，考查三角函数恒等变形能力．寻求已知条件与所证恒等式之间的关系是证明的关键．4．已知函数y＝x2cos21＋xxcossin23＋1，xR（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；（2）该函数的图象可由y＝sinx，xR的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？【提示】利用三角函数的有关公式，对函数y进行化简．【答案】（1）y