课时提升作业十三42

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业十三用数学归纳法证明不等式举例一、选择题(每小题6分,共18分)1.用数学归纳法证明不等式++…+(n≥2,n∈N+)的过程中,由n=k递推到n=k+1时不等式左边()A.增加了一项B.增加了两项和C.增加了B中两项但减少了一项D.以上各种情况均不对【解析】选C.因为n=k时,左边=++…+,n=k+1时,左边=++…+++,所以增加了两项和,少了一项.2.(2016·淮南高二检测)用数学归纳法证明“2nn2+1对于n≥n0的正整数n都成立”时,第一步证明中的起始值n0应取()A.2B.3C.5D.6【解析】选C.当n≤4时,2nn2+1;当n≥5时,2nn2+1.于是n0应取5.【补偿训练】用数学归纳法证明2n≥n2(n≥5,n∈N+)成立时第二步归纳假设的正确写法是()A.假设n=k时命题成立B.假设n=k(k∈N+)时命题成立C.假设n=k(k≥5)时命题成立D.假设n=k(k5)时命题成立【解析】选C.由题意知n≥5,n∈N+,所以应假设n=k(k≥5)时命题成立.3.(2016·长春高二检测)证明1+++…+(n∈N*),假设当n=k时成立,当n=k+1时,左端增加的项数为()A.1项B.k-1项C.k项D.2k项【解析】选D.当n=k时,不等式左端为1+++…+,当n=k+1时,不等式左端为1+++…+++…+,左端增加了+…+,共2k项.二、填空题(每小题6分,共12分)4.用数学归纳法证明“2n+1≥n2+n+2(n∈N+)”时,第一步的验证为____________.【解析】当n=1时,21+1≥12+1+2,即4≥4成立.答案:21+1≥12+1+25.(2016·南昌高二检测)已知1+2×3+3×32+4×33+…+n·3n-1=3n(na-b)+c对一切n∈N*都成立,则a=______,b=______,c=________.【解析】当n=1时,3a-3b+c=1,当n=2时,18a-9b+c=7,当n=3时,81a-27b+c=34,解得,a=,b=c=.答案:三、解答题(每小题10分,共30分)6.(2016·广州高二检测)证明:1+++…+≥(n∈N*).【证明】(1)当n=1时,不等式为1≥1,显然成立.(2)假设当n=k时不等式成立,即1+++…+≥.那么,当n=k+1时,1+++…++≥+,而+-==0,即+,所以1+++…++≥,即当n=k+1时不等式也成立.综合(1)(2)得,不等式对一切正整数n都成立.7.(2016·济南高二检测)求证:+++…+(n≥2,n∈N+).【解题指南】本题由n=k到n=k+1时的推证过程中,n=k时,首项是,尾项是,分母是从k+1开始的连续正整数,因而当n=k+1时,首项应为,尾项是,与n=k时比较,后面增加,,共三项,而不只是增加一项,且还减少了一项.【证明】(1)当n=2时,左边=+++=,不等式成立.(2)假设n=k(k≥2,k∈N+)时,不等式成立,即++…+,则当n=k+1时,++…++++=++…++++=+=.所以当n=k+1时,不等式也成立.由(1)(2),知原不等式对一切n≥2且n∈N+都成立.8.数列{an}满足Sn=2n-an(n∈N+).(1)计算a1,a2,a3,a4,并由此猜想通项公式an.(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想.【解析】(1)a1=1,a2=,a3=,a4=,由此猜想an=(n∈N+).(2)当n=1时,a1=1,结论成立.假设n=k(k≥1)时,结论成立,即ak=,那么当n=k+1时,ak+1=Sk+1-Sk=2(k+1)-ak+1-2k+ak=2+ak-ak+1.所以2ak+1=2+ak,所以ak+1===.这表明当n=k+1时,结论成立.所以an=(n∈N+).一、选择题(每小题5分,共10分)1.用数学归纳法证明:1+++…+n(n∈N+且n1)第一步验证n=2时,左边的项为()A.1B.1+C.D.1++【解析】选D.当n=2时,左边最后一项为=,所以左边的项为1++.2.(2016·济南高二检测)已知数列的前n项和为Sn,且Sn=2n-an(n∈N*),若已经算出a1=1,a2=,则猜想an=()A.B.C.D.【解析】选D.因为a1=1,a2=,由S3=1++a3=6-a3,所以a3=,同理,a4=.猜想,得an=.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2016·太原高二检测)在△ABC中,不等式++≥成立;在四边形ABCD中,不等式+++≥成立;在五边形ABCDE中,不等式++++≥成立.猜想在n边形A1A2…An中,类似成立的不等式为__.【解析】由题中已知不等式可猜想:+++…+≥(n≥3且n∈N*).答案:+++…+≥(n≥3且n∈N*)4.设a,b均为正实数,n∈N+,已知M=(a+b)n,N=an+nan-1b,则M,N的大小关系为_.【解析】由贝努利不等式(1+x)n1+nx(x-1,且x≠0,n1,n∈N+),知当n1时,令x=,所以1+n·,所以1+n·,即(a+b)nan+nan-1b,当n=1时,M=N,故M≥N.答案:M≥N三、解答题(每小题10分,共20分)5.(2016·苏州高二检测)已知函数f(x)=x3-x,数列{an}满足条件:a1≥1,且an+1≥f′(an+1),证明:an≥2n-1(n∈N+).【证明】由f(x)=x3-x,得f′(x)=x2-1.因此an+1≥f′(an+1)=(an+1)2-1=an(an+2).(1)当n=1时,a1≥1=21-1,不等式成立.(2)假设当n=k(k≥1)时,不等式成立,即ak≥2k-1.当n=k+1时,ak+1≥ak(ak+2)≥(2k-1)(2k-1+2)=22k-1.又k≥1,所以22k≥2k+1,所以当n=k+1时,ak+1≥2k+1-1,即不等式成立.根据(1)和(2)知,对任意n∈N+,an≥2n-1都成立.6.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+2n+1(n∈N+).(1)求证{an-2n}为等差数列.(2)设数列{bn}满足bn=2log2(an+1-n).(n∈N+)证明:…(n∈N+).【证明】(1)由an+1=an+2n+1得(an+1-2n+1)-(an-2n)=1,因此{an-2n}是等差数列.(2)an-2n=(a1-2)+(n-1)=n-1,即an=2n+n-1,bn=2log2(an+1-n)=2n.下面用数学归纳法证明···…·.①当n=1时,左端==右端,不等式成立;②假设n=k(k≥1)时不等式成立,即···…·,当n=k+1时,···…···==.由①②知不等式···…·对于一切n∈N+都成立.关闭Word文档返回原板块