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陕西省西安市西安中学2018-2019学年高一上12月月考数学试卷(解析版)一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)1.设集合𝐴={𝑦|𝑦=2𝑥,𝑥∈𝑅},𝐵={𝑥|𝑥2−10},则𝐴∪𝐵=()A.(−1,1)B.(0,1)C.(−1,+∞)D.(0,+∞)【答案】C【解析】解:∵𝐴={𝑦|𝑦=2𝑥,𝑥∈𝑅}=(0,+∞),𝐵={𝑥|𝑥2−10}=(−1,1),∴𝐴∪𝐵=(0,+∞)∪(−1,1)=(−1,+∞).故选:C.求解指数函数的值域化简A,求解一元二次不等式化简B,再由并集运算得答案.本题考查并集及其运算,考查了指数函数的值域,考查一元二次不等式的解法,是基础题.2.函数𝑓(𝑥)=1√(log2𝑥)2−1的定义域为()A.(0,12)B.(2,+∞)C.(0,12)∪(2,+∞)D.(0,12]∪[2,+∞)【答案】C【解析】解:要使函数有意义,则(log2𝑥)2−10,即log2𝑥1或log2𝑥−1,解得𝑥2或0𝑥12,即函数的定义域为(0,12)∪(2,+∞),故选:C.根据函数出来的条件,建立不等式即可求出函数的定义域.本题主要考查函数定义域的求法,根据对数函数的性质是解决本题的关键,比较基础.3.下列函数中,满足“𝑓(𝑥+𝑦)=𝑓(𝑥)𝑓(𝑦)”的单调递增函数是()A.𝑓(𝑥)=𝑥 12B.𝑓(𝑥)=𝑥3C.𝑓(𝑥)=(12)𝑥D.𝑓(𝑥)=3𝑥【答案】D【解析】解:𝐴.𝑓(𝑥)=𝑥12,𝑓(𝑦)=𝑦12,𝑓(𝑥+𝑦)=(𝑥+𝑦)12,不满足𝑓(𝑥+𝑦)=𝑓(𝑥)𝑓(𝑦),故A错;B.𝑓(𝑥)=𝑥3,𝑓(𝑦)=𝑦3,𝑓(𝑥+𝑦)=(𝑥+𝑦)3,不满足𝑓(𝑥+𝑦)=𝑓(𝑥)𝑓(𝑦),故B错;C.𝑓(𝑥)=(12)𝑥,𝑓(𝑦)=(12)𝑦,𝑓(𝑥+𝑦)=(12)𝑥+𝑦,满足𝑓(𝑥+𝑦)=𝑓(𝑥)𝑓(𝑦),但𝑓(𝑥)在R上是单调减函数,故C错.D.𝑓(𝑥)=3𝑥,𝑓(𝑦)=3𝑦,𝑓(𝑥+𝑦)=3𝑥+𝑦,满足𝑓(𝑥+𝑦)=𝑓(𝑥)𝑓(𝑦),且𝑓(𝑥)在R上是单调增函数,故D正确;故选:D.对选项一一加以判断,先判断是否满足𝑓(𝑥+𝑦)=𝑓(𝑥)𝑓(𝑦),然后考虑函数的单调性,即可得到答案.本题主要考查抽象函数的具体模型,同时考查幂函数和指数函数的单调性,是一道基础题.4.函数𝑓(𝑥)=log12(𝑥2−4)的单调递增区间为()A.(0,+∞)B.(−∞,0)C.(2,+∞)D.(−∞,−2)【答案】D【解析】解:令𝑡=𝑥2−40,可得𝑥2,或𝑥−2,故函数𝑓(𝑥)的定义域为(−∞,−2)∪(2,+∞),当𝑥∈(−∞,−2)时,t随x的增大而减小,𝑦=log12𝑡随t的减小而增大,所以𝑦=log12(𝑥2−4)随x的增大而增大,即𝑓(𝑥)在(−∞,−2)上单调递增.故选:D.令𝑡=𝑥2−40,求得函数𝑓(𝑥)的定义域为(−∞,−2)∪(2,+∞),且函数𝑓(𝑥)=𝑔(𝑡)=log12𝑡.根据复合函数的单调性,本题即求函数t在(−∞,−2)∪(2,+∞)上的减区间.再利用二次函数的性质可得,函数t在(−∞,−2)∪(2,+∞)上的减区间.本题主要考查复合函数的单调性,二次函数的性质,体现了转化的数学思想,属于中档题.5.已知奇函数𝑓(𝑥)在R上是增函数.若𝑎=−𝑓(log215),𝑏=𝑓(log24.1),𝑐=𝑓(20.8),则a,b,c的大小关系为()A.𝑎𝑏𝑐B.𝑏𝑎𝑐C.𝑐𝑏𝑎D.𝑐𝑎𝑏【答案】C【解析】解:奇函数𝑓(𝑥)在R上是增函数,∴𝑎=−𝑓(log215)=𝑓(log25),𝑏=𝑓(log24.1),𝑐=𝑓(20.8),又120.82log24.1log25,∴𝑓(20.8)𝑓(log24.1)𝑓(log25),即𝑐𝑏𝑎.故选:C.根据奇函数𝑓(𝑥)在R上是增函数,化简a、b、c,即可得出a,b,c的大小.本题考查了函数的奇偶性与单调性的应用问题,是基础题.6.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最长棱的长度为()A.3√2B.2√3C.2√2D.2【答案】B【解析】解:由三视图可得直观图,再四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中,最长的棱为PA,即𝑃𝐴=√𝑃𝐵2+𝑃𝐶2=√22+(2√2)2=2√3,故选:B.根据三视图可得物体的直观图,结合图形可得最长的棱为PA,根据勾股定理求出即可.本题考查了三视图的问题,关键画出物体的直观图,属于基础题.7.如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是()A.B.C.D.【答案】A【解析】解:对于选项B,由于𝐴𝐵//𝑀𝑄,结合线面平行判定定理可知B不满足题意;对于选项C,由于𝐴𝐵//𝑀𝑄,结合线面平行判定定理可知C不满足题意;对于选项D,由于𝐴𝐵//𝑁𝑄,结合线面平行判定定理可知D不满足题意;所以选项A满足题意,故选:A.利用线面平行判定定理可知B、C、D均不满足题意,从而可得答案.本题考查空间中线面平行的判定定理,利用三角形中位线定理是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属于中档题.8.如果圆台的母线与底面成60∘角,那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为()A.2𝜋B.32𝜋C.2√33𝜋D.12𝜋【答案】C【解析】解:∵圆台的母线与底面成60∘角,∴设上底圆半径为r,下底面圆半径为R,母线为l,可得𝑙=2(𝑅−𝑟)因此,圆台的侧面积为𝑆侧=𝜋(𝑟+𝑅)𝑙=2𝜋(𝑅2−𝑟2)又∵圆台的高ℎ=√3(𝑅−𝑟)∴圆台的轴截面面积为𝑆轴=12(2𝑟+2𝑅)ℎ=√3(𝑅2−𝑟2)由此可得圆台的侧面积与轴截面面积的比为2𝜋(𝑅2−𝑟2):√3(𝑅2−𝑟2)=2√3𝜋3故选:C.设圆台上、下底面圆半径为r、R,则母线𝑙=2(𝑅−𝑟),高ℎ=√3(𝑅−𝑟),由此结合圆台侧面积公式和梯形面积公式,即可算出该圆台的侧面积与轴截面面积的比.本题给出母线与底面成60∘角的圆台,求它的侧面积与轴截面面积的比值.着重考查了圆台侧面积公式、梯形面积公式和解三角形等知识,属于基础题.9.已知A,B是球O的球面上两点,∠𝐴𝑂𝐵=90∘,C为该球面上的动点,若三棱锥𝑂−𝐴𝐵𝐶体积的最大值为36,则球O的表面积为()A.36𝜋B.64𝜋C.144𝜋D.256𝜋【答案】C【解析】解:如图所示,当点C位于垂直于面AOB的直径端点时,三棱锥𝑂−𝐴𝐵𝐶的体积最大,设球O的半径为R,此时𝑉𝑂−𝐴𝐵𝐶=𝑉𝐶−𝐴𝑂𝐵=13×12×𝑅2×𝑅=16𝑅3=36,故𝑅=6,则球O的表面积为4𝜋𝑅2=144𝜋,故选:C.当点C位于垂直于面AOB的直径端点时,三棱锥𝑂−𝐴𝐵𝐶的体积最大,利用三棱锥𝑂−𝐴𝐵𝐶体积的最大值为36,求出半径,即可求出球O的表面积.本题考查球的半径与表面积,考查体积的计算,确定点C位于垂直于面AOB的直径端点时,三棱锥𝑂−𝐴𝐵𝐶的体积最大是关键.10.如图,在正四面体𝑃−𝐴𝐵𝐶中,D、E、F分别是AB、BC、CA的中点,下面四个结论不成立的是()A.𝐵𝐶//平面PDFB.𝐷𝐹⊥平面PAEC.平面𝑃𝐷𝐹⊥平面PAED.平面𝑃𝐷𝐸⊥平面ABC【答案】D【解析】解:由𝐷𝐹//𝐵𝐶,可得𝐵𝐶//平面PDF,故A正确.若𝑃𝑂⊥平面ABC,垂足为O,则O在AE上,则𝐷𝐹⊥𝑃𝑂,又𝐷𝐹⊥𝐴𝐸故DF⊥平面PAE,故B正确.由𝐷𝐹⊥平面PAE可得,平面𝑃𝐷𝐹⊥平面PAE,故C正确.由𝐷𝐹⊥平面PAE可得,𝐴𝐸⊥𝐷𝐹,且AE垂直AE与DF交点和P点边线,从而平面𝑃𝐷𝐹⊥平面ABC,平面𝑃𝐷𝐹∩平面𝑃𝐷𝐸=𝑃𝐷,故D错误.故选:D.正四面体𝑃−𝐴𝐵𝐶即正三棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶,所以其四个面都是正三角形,在正三角形中,联系选项B、C、D中有证明到垂直关系,应该联想到“三线合一”.𝐷,E,F分别是AB,BC,CA的中点,由中位线定理可得𝐵𝐶//𝐷𝐹,所以𝐵𝐶//平面PDF,进而可得答案.本小题考查空间中的线面关系,正三角形中“三线合一”,中位线定理等基础知识,考查空间想象能力和思维能力.11.设m、n是两条不同的直线,𝛼、𝛽、𝛾是三个不同的平面.给出下列四个命题,其中正确命题的序号是()①若𝑚⊥𝛼,𝑛//𝛼,则𝑚⊥𝑛②若𝛼//𝛽,𝛽//𝛾,𝑚⊥𝛼,则𝑚⊥𝛾③若𝑚//𝛼,𝑛//𝛼,则𝑚//𝑛④若𝛼⊥𝛾,𝛽⊥𝛾,则𝛼//𝛽A.①②B.②③C.③④D.①④【答案】A【解析】解:①若𝑚⊥𝛼,𝑛//𝛼,则𝑚⊥𝑛,是直线和平面垂直的判定,正确;②若𝛼//𝛽,𝛽//𝛾,𝑚⊥𝛼,则𝑚⊥𝛾,推出𝛼//𝛾,满足直线和平面垂直的判定,正确;③若𝑚//𝛼,𝑛//𝛼,则𝑚//𝑛,两条直线可能相交,也可能异面,不正确.④若𝛼⊥𝛾,𝛽⊥𝛾,则𝛼//𝛽中m与n可能相交或异面.④考虑长方体的顶点,𝛼与𝛽可以相交.不正确.故选:A.直线与平面平行与垂直,平面与平面平行与垂直的判定与性质,对选项进行逐一判断,推出结果即可.本题考查直线与平面平行与垂直的判定,考查空间想象能力,逻辑思维能力,是基础题.12.设函数𝑔(𝑥)=𝑥2−2,𝑓(𝑥)={𝑔(𝑥)−𝑥,𝑥≥𝑔(𝑥)𝑔(𝑥)+𝑥+4,𝑥𝑔(𝑥),则𝑓(𝑥)的值域是()A.[−94,0]∪(1,+∞)B.[0,+∞)C.[−94,0]D.[−94,0]∪(2,+∞)【答案】D【解析】解:𝑥𝑔(𝑥),即𝑥𝑥2−2,即𝑥−1或𝑥2.𝑥≥𝑔(𝑥),即−1≤𝑥≤2.由题意𝑓(𝑥)={𝑥2−𝑥−2 𝑥≥𝑔(𝑥)𝑥2+𝑥+2 𝑥𝑔(𝑥)={𝑥2−𝑥−2 ,𝑥∈[−1,2]𝑥2+𝑥+2 𝑥∈(−∞,−1)∪(2,+∞)={(𝑥+12)2+74,𝑥∈(−∞,−1)∪(2,+∞)(𝑥−12)2−94,𝑥∈[−1,2],所以当𝑥∈(−∞,−1)∪(2,+∞)时,由二次函数的性质可得𝑓(𝑥)∈(2,+∞);𝑥∈[−1,2]时,由二次函数的性质可得𝑓(𝑥)∈[−94,0],故选:D.根据x的取值范围化简𝑓(𝑥)的解析式,将解析式化到完全平方与常数的代数和形式,在每一段上求出值域,再把值域取并集.本题考查分段函数值域的求法,二次函数的性质的应用,考查分类讨论的数学思想,属于基础题.二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)13.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为______.【答案】9𝜋2【解析】解:设正方体的棱长为a,∵这个正方体的表面积为18,∴6𝑎2=18,则𝑎2=3,即𝑎=√3,∵一个正方体的所有顶点在一个球面上,∴正方体的体对角线等于球的直径,即√3𝑎=2𝑅,即𝑅=32,则球的体积𝑉=43𝜋⋅(32)3=9𝜋2;故答案为:9𝜋2.根据正方体和球的关系,得到正方体的体对角线等于直径,结合球的体积公式进行计算即可.本题主要考查空间正方体和球的关系,利用正方体的体对角线等于直径,结合球的体积公式是解决本题的关键.14.空间四边形ABCD中,𝐴𝐷=𝐵𝐶
本文标题:陕西省20182019学年西安市西安中学高一上12月月考数学试题
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