陕西省咸阳市20182019学年高二上学期期末数学试题理

陕西省咸阳市2018-2019学年高二上学期期末考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.与命题“若x=3，则x2−2x−3=0”等价的命题是()A.若x≠3，则x2−2x−3≠0B.若x=3，则x2−2x−3≠0C.若x2−2x−3≠0，则x≠3D.若x2−2x−3≠0，则x=3【答案】C【解析】解：原命题与逆否命题属于等价命题，此命题的逆否命题是：若x2−2x−3≠0，则x≠3．故选：C．原命题与逆否命题属于等价命题，写出命题的逆否命题得答案．本题考查了四种命题间的逆否关系，是基础题．2.在等比数列{an}中，若a2，a9是方程x2−x−6=0的两根，则a5⋅a6的值为()A.6B.−6C.−1D.1【答案】B【解析】解：∵在等比数列{an}中，a2，a9是方程x2−x−6=0的两根，∴a5⋅a6=a2⋅a9=−6．∴a5⋅a6的值为−6．故选：B．利用韦达定理和等比数列的通项公式直接求解．本题考查等比数列中两项积的求法，考查韦达定理和等比数列的通项公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.设xa0，则下列不等式一定成立的是()A.x2axa2B.x2axa2C.x2a2axD.x2a2ax【答案】B【解析】解∵xa0，∴axa2，x2ax，∴x2axa2故选：B．直接利用不等式性质ab，在两边同时乘以一个负数时，不等式改变方向即可判断．本题主要考查了不等式的性质的简单应用，属于基础试题．4.命题“∀x∈R，exx”的否定是()A.∃x∈R，exxB.∀x∈R，exxC.∀x∈R，ex≤xD.∃x∈R，ex≤x【答案】D【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀x∈R，ex”的否定是：∃x∈R，ex≤x．故选：D．直接利用全称命题是否定是特称命题写出结果即可．本题考查命题的否定特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．5.不等式2x+1x−3≤0的解集为()A.{x|−12≤x≤3}B.{x|−12x3}C.{x|−12≤x3}D.{x|x≤12或x≥3}【答案】C【解析】解：不等式等价为{x−3≠0(2x+1)(x−3)≤0，得{−12≤≤x≤3x≠3，即|−12≤x3，即不等式的解集为{x|−12≤x3}，故选：C．将分式不等式转化为一元二次不等式，进行求解即可．本题主要考查分式不等式的求解，利用转化转化为一元二次不等式是解决本题的关键．6.命题甲：x=−2是命题乙：x2=4的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：x2=4⇔x=±2，∵x=−2⇒x=±2，x=±2推不出x=−2，∴x=−2是x2=4的充分不必要条件．故选：A．把x2=4转化为x=±2，由x=−2⇒x=±2，x=±2推不出x=−2，得x=−2是x2=4的充分不必要条件．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．7.△ABC中，a，b，C分别是角A，B、C所对应的边，a=4，b=4√3，A=30∘，则B=()A.60∘或120∘B.60∘C.30∘或150∘D.30∘【答案】A【解析】解：由a=4，b=4√3，A=30∘，可得BA=30∘；正弦定理：asinA=bsinB，可得412=4√3sinB解得：sinB=√32；∵0Bπ，∴B=60∘或120∘；故选：A．根据正弦定理和大边对大角，可得答案．本题考查三角形的正弦定理和内角和定理的运用，考查运算能力，属于基础题．8.设实数a=√5−√3.b=√3−1，c=√7−√5，则()A.bacB.cbaC.abcD.cab【答案】A【解析】解：√5−√3=2√5+√3．√3−1=2√3+1，√7−√5=2√7+√5，∵√3+1√3+√5√5+√7，∴2√3+12√5+√32√7+√5，即bac，故选：A．利用分子有理化进行化简，结合不等式的性质进行判断即可．本题主要考查不等式的大小比较，利用分子有理化进行化简是解决本题的关键．9.已知x，y满足约束条件{x−y+4≥0x≤2x+y−2≥0，则z=x+3y的最小值为()A.0B.2C.6D.8【答案】B【解析】解：x，y满足约束条件{x−y+4≥0x≤2x+y−2≥0表示的区域如图：由z=x+3y，当直线经过图中A(2,0)时，直线在y轴上的截距最小，所以最小值为2；故选：B．画出不等式组表示的平面区域，利用目标函数的几何意义求最大值．本题考查了简单线性规划问题；正确画出可行域，利用目标函数的几何意义求最值是解答的关键．10.在等差数列{an}中，已知a6+a70，且S110，则Sn中最大的是()A.S5B.S6C.S7D.S8【答案】B【解析】解：∵在等差数列{an}中，a6+a70，且S110，∴S11=112(a1+a11)=11a60，∴a60，a70，∴Sn中最大的是S6．故选：B．由a6+a70，且S11=112(a1+a11)=11a60，得到a60，a70，由此能求出Sn中最大的是S6．本题考查等差数列中前n项和最大时项数的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11.如图，在四面体OABC中，M、N分别在棱OA、BC上，且满足OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2MA⃗⃗⃗⃗⃗⃗，BN⃗⃗⃗⃗⃗=NC⃗⃗⃗⃗⃗，点G是线段MN的中点，用向量OA⃗⃗⃗⃗⃗，OB⃗⃗⃗⃗⃗，OC⃗⃗⃗⃗⃗表示向量OG⃗⃗⃗⃗⃗应为()A.OG⃗⃗⃗⃗⃗=13OA⃗⃗⃗⃗⃗+14OB⃗⃗⃗⃗⃗+14OC⃗⃗⃗⃗⃗B.OG⃗⃗⃗⃗⃗=13OA⃗⃗⃗⃗⃗−14OB⃗⃗⃗⃗⃗+14OC⃗⃗⃗⃗⃗C.OG⃗⃗⃗⃗⃗=13OA⃗⃗⃗⃗⃗−14OB⃗⃗⃗⃗⃗−14OC⃗⃗⃗⃗⃗D.OG⃗⃗⃗⃗⃗=13OA⃗⃗⃗⃗⃗+14OB⃗⃗⃗⃗⃗−14OC⃗⃗⃗⃗⃗【答案】A【解析】解：∵在四面体OABC中，M、N分别在棱OA、BC上，且满足OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2MA⃗⃗⃗⃗⃗⃗，BN⃗⃗⃗⃗⃗=NC⃗⃗⃗⃗⃗，点G是线段MN的中点，∴OG⃗⃗⃗⃗⃗=OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗+MG⃗⃗⃗⃗⃗⃗=23OA⃗⃗⃗⃗⃗+12MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗=23OA⃗⃗⃗⃗⃗+12(MA⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AN⃗⃗⃗⃗⃗)=23OA⃗⃗⃗⃗⃗+12[13OA⃗⃗⃗⃗⃗+12(AB⃗⃗⃗⃗⃗+AC⃗⃗⃗⃗⃗)]=23OA⃗⃗⃗⃗⃗+16OA⃗⃗⃗⃗⃗+14(OB⃗⃗⃗⃗⃗−OA⃗⃗⃗⃗⃗)+14(OC⃗⃗⃗⃗⃗−OA⃗⃗⃗⃗⃗)=13OA⃗⃗⃗⃗⃗+14OB⃗⃗⃗⃗⃗+14OC⃗⃗⃗⃗⃗．故选：A．利用空间向量加法法则直接求解．本题考查命题真假的判断，考查空间向量加法法则等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．12.设抛物线C：y2=2px(p0)的焦点为F，点M在抛物线C上，|MF|=5，线段MF中点的横坐标为52，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则抛物线C的焦点到准线的距离为()A.4或8B.2或8C.2或4D.4或16【答案】B【解析】解：∵抛物线C方程为y2=2px(p0)，∴焦点F(p2,0)，准线方程为x=−p2，设M(x,y)，由抛物线性质|MF|=x+p2=5，可得x=5−p2，因为圆心是MF的中点，所以根据中点坐标公式可得，圆心横坐标为5−P2+P22=52，由已知圆半径也为52，据此可知该圆与y轴相切于点(0,2)，故圆心纵坐标为2，则M点纵坐标为4，即M(5−p2,4)，代入抛物线方程得p2−10p+16=0，所以p=2或p=8，则则C的焦点到准线距离为2或8．故选：B．求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义和准线和圆相切的条件，求出M(5−P2,4)，代入抛物线方程得p2−10p+16=0，求出p．本题考查抛物线的定义和方程、性质，注意运用第一发和中位线定理和直线和圆相切，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知a⃗=(2,−1,2)，b⃗=(−4,2，x)，且a⃗//b⃗，则x=______．【答案】解：∵a⃗//b⃗，∴2×2=−2×x∴x=−4．故答案为：−4【解析】利用向量共线的充要条件：坐标交叉相乘的积相等，列出方程求出x的值．解决向量共线问题，一般利用向量共线的充要条件：坐标交叉相乘的积相等找解决的思路．14.若一元二次不等式ax2−2x+20的解集是(−12,13)，则a的值是______．【答案】−12【解析】解：一元二次不等式ax2−2x+20的解集是(−12,13)，则−12和13是一元二次方程ax2−2x+2=0的实数根，∴−12×13=2a，解得a=−12．故答案为：−12．根据一元二次不等式和对应方程的关系，利用根与系数的关系求出a的值．本题考查了一元二次不等式与对应方程的应用问题，是基础题．15.已知两个正实数x，y满足2x+1y=1，且恒有x+2ym，则实数m的取值范围是______．【答案】(−∞,8)【解析】解：∵x0，y0，2x+1y=1，∴x+2y=(x+2y)(2x+1y)=2+2+4yx+xy≥4+2√4yx⋅xy=8，(当且仅当x=4，y=2时，取等号)，x+2ym恒成立等价于8m，故答案为：(−∞,8)．先用基本不等式求出x+2y的最小值8，然后解一元二次不等式得到结果．本题考查了基本不等式及其应，属基础题．16.当双线M：x2m−y2m2+4=1的离心率取得最小值时，双曲线M的渐近线方程为______．【答案】y=±2x【解析】解：双曲线M：x2m−y2m2+4=1，显然m0，双曲线的离心率e=√m2+m+4m=√m+4m+1≥√2√m×4m+1=√5，当且仅当m=2时取等号，此时双曲线M：x22−y28=1的双曲线的渐近线方程为：y=±2x．故答案为：y=±2x．求出双曲线的离心率的表达式，然后求解最小值，求出m，即可情况双曲线的渐近线方程．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知{an}为等差数列，且a3=−6，S6=−30．(1)求{an}的通项公式；(2)若等比数列{bn}满足b1=8，b2=a1+a2+a3，求{bn}的前n项和公式．【答案】解：(1)∵{an}为等差数列，设公差为d，由已知可得{6a1+15d=−30a1+2d=−6，解得a1=−10，d=2．∴an=a1+(n−1)d=2n−12；(2)由b1=8，b2=a1+a2+a3=−10−8−6=−24，∴等比数列{bn}的公比q=b2b1=−3，∴{bn}的前n项和公式Tn=b1(1−qn)1−q=8[1−(−3)n]1−(−3)=2−2⋅(−3)n．【解析】(1)设等差数列的公差为d，由已知列关于首项与公差的方程组，求得首项与公差，则{an}的通项公式可求；(2)求出b2，进一步得到公比，再由等比数列的前n项和公式求解．本题考查等差数列的通项公式，考查等比数列的前n项和，是中档题．18.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinC1−cosA=√3c．(Ⅰ)求角A的大小；(Ⅱ)若b+c=10，S△ABC=4√3，求a的值．【答案】解：(Ⅰ)由正弦定理可得：sinAsinC1−cosA=√3sinC，∵sinC≠0，∴sinA=√3(1−cosA)，∴sinA+√3cosA=2sin(A+π3)=√3，可得：sin(A+π3)=√32，∵A+π3∈(π3,4π3)，∴A+π3=2π3，可得：A=π3，(Ⅱ)∵S△ABC=4√3=12bcsinA=√34bc，∴可得：bc=16，∵b+c=10，∴a=√b2+c2−2bccosπ3=√(b+c)2−2bc−bc=2√13．【解析】(Ⅰ)由正弦定理化简已知等式可得：sinAsinC1−cosA=√3sinC，结合sinC≠0，利用两角和的正弦函数公式可求sin(A+π3)=√32，结合范围A+π3∈(π3,4π3)，