高一数学习题课5

习题课(5)时间：45分钟总分：90分一、选择题(每小题5分，共30分)1．函数f(x)＝lgx－1x的零点所在的区间是()A．(3,4)B．(2,3)C．(1,2)D．(0,1)答案：B解析：∵函数f(x)＝lgx－1x，∴f(2)＝lg2－12＝lg2－lg1012＜0，f(3)＝lg3－13＝lg3－lg1013＞0，∴f(2)f(3)＜0由零点的存在性定理可知：零点所在的区间为(2,3)，故选B.2．如图是函数f(x)＝x2＋ax＋b的部分图象，则函数g(x)＝lnx＋2x＋a的零点所在区间是()A.14，12B．(1,2)C.12，1D．(2,3)答案：C解析：解：由函数f(x)＝x2＋ax＋b的部分图象得0＜b＜1，f(1)＝0，从而－2＜a＜－1，而g(x)＝lnx＋2x＋a在定义域内单调递增，g(12)＝ln12＋1＋a＜0，g(1)＝ln1＋2＋a＝2＋a＞0，∴函数g(x)＝lnx＋2x＋a的零点所在的区间是(12，1)；故选C.3．已知函数y1＝1x－1，y2＝－x2＋2，y3＝2x2－1，y4＝2x－x3，其中能用二分法求出函数零点的函数个数为()A．4B．3C．2D．1答案：A解析：画出四个函数的图象，它们都存在区间[a，b]，使f(a)·f(b)0，因此，都可以用二分法求零点．4．函数f(x)＝ln(x＋1)－2x的零点所在的区间是()A．(0,1)B．(1,2)C．(2，e)D．(3,4)答案：B解析：f(1)＝ln2－20f(2)ln3－10∴f(x)的零点所在区间是(1,2)5．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示，盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半，设剩余酒的高度从左到右依次为h1，h2，h3，h4，则它们的大小关系正确的是()A．h2h1h4B．h1h2h3C．h3h2h4D．h2h4h1答案：A解析：饮各自杯中酒的一半，柱形杯中酒的高度变为原来的一半，其他的比一半大，前三个杯子中圆锥形的杯子酒的高度最高，可排除选项B、C、D.6．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则每件产品的平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品()A．60件B．80件C．100件D．120件答案：B解析：若每批生产x件产品，则平均每件产品的生产准备费用是800x元，仓储费用是x8元，总的费用是800x＋x8元．因为y＝800x＋x8＝800x－x82＋20≥20，当800x＝x8，即x＝80时取等号，所以每批应生产产品80件．二、填空题(每小题5分，共15分)7．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：min)为f(x)＝cx，xAcA，x≥A(A，c为常数)．已知该工人组装第4件产品用时30min，组装第A件产品用时15min，那么c和A的值分别是________．答案：60,16解析：因为组装第A件产品用时15min，所以cA＝15①；所以必有4A，且c4＝c2＝30②，联立①②解得c＝60，A＝16.8．设函数y＝x3与y＝12x－2的图象的交点为(x0，y0)，若x0所在的区间是(n，n＋1)(n∈Z)，则n＝________.答案：1解析：画出函数y＝x3和y＝12x－2的图象，如图所示．由函数图象，知1x02，所以n＝1.9．若关于x的方程|x|x－2＝kx有三个不等实数根，则实数k的取值范围是________．答案：0，12解析：由题意可知k≠0，∵|x|x－2＝kx，∴kx2－2kx＝|x|.当x≥0时，kx2－2kx＝x，解得x＝0或x＝2k＋1k，∴2k＋1k0，∴k0或k－12；当x0时，kx2－2kx＝－x，解得x＝0(舍去)或x＝2k－1k，∴2k－1k0，∴0k12.综上可知，k的取值范围是0，12.三、解答题(本大题共4小题，共45分)10．(12分)已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1仅有一个零点，求m的取值范围，并求出零点．解：f(x)＝4x＋m·2x＋1仅有一个零点，即方程(2x)2＋m·2x＋1＝0仅有一个实根．令t＝2x.(t0)．①当Δ＝0，即m2－4＝0，∴m＝±2.∴t＝1或－1(舍)．∴2x＝1.即x＝0满足题意，即m＝－2时，有唯一的零点0.②当Δ0，即m－2或m2.t2＋mt＋1＝0有一正一负两根满足条件，则t1t20，又t1t2＝10，故不成立．综合所述，m＝－2时，f(x)有唯一的零点0.11．(13分)证明方程2x＋x＝4在区间(1,2)内有唯一一个实数解，并求出这个实数解(精确度为0.3)．参考数据：x1.1251.251.3751.51.6251.751.8752x2.182.382.592.833.083.363.67解：设函数f(x)＝2x＋x－4，∵f(1)＝－10，f(2)＝20，f(x)在区间(1,2)上单调递增，∴f(x)在区间(1,2)内有唯一的零点，则方程2x＋x－4＝0在区间(1,2)内有唯一一个实数解．取区间(1,2)作为起始区间，用二分法逐次计算如下：区间中点的值中点的函数值区间长度(1,2)1.50.331(1,1.5)1.25－0.370.5(1.25,1.5)1.375－0.0310.25由上表可知，区间(1.25,1.5)的长度为0.250.3.∴方程的实数解为1.375.能力提升12．(5分)若容器A有m升水，将水慢慢注入容器B，t分钟后A中剩余水量y符合指数函数y＝me－at(e为自然对数的底)．假设经过5分钟时，容器A和容器B水量相等，且又过n分钟容器A中水只有m8，则n的值为()A．7B．8C．9D．10答案：D解析：m·e－5a＝12m，m·e－a5＋n＝m8，∴e－5a＝12，e－a(5＋n)＝18∴e－15a＝e－a(5＋n)，15＝n＋5，n＝10.13．(15分)某租车公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加60元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每月需要维护费160元，未租出的车每月需要维护费60元．(1)当每辆车的月租金定为3900元时，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金为多少元时，租车公司的月收益最大？最大月收益是多少？解：(1)租金增加了900元，所以未租出的车有15辆，一共租出了85辆．(2)设租金提高后有x辆未租出，则已租出(100－x)辆．租赁公司的月收益为y元，y＝(3000＋60x)(10－x)－160(100－x)－60x，其中，x∈[0,100]，x∈N，整理，得y＝－60x2＋3100x＋284000＝－60x－15562＋9721253.当x＝26时，ymax＝324040，即最大月收益为324040元．此时，月租金为3000＋60×26＝4560(元)．