高一数学导数及其运用练习题7

高考网本资料来源于《七彩教育网》．已知函数3()fxxx．（1）求曲线()yfx在点(())Mtft，处的切线方程；（2）设0a，如果过点()ab，可作曲线()yfx的三条切线，证明：()abfa．12．已知函数321()(2)13fxaxbxbx在1xx处取得极大值，在2xx处取得极小值，且12012xx．（1）证明0a；（2）若z=a+2b,求z的取值范围。13．设函数2()ln(1)fxxbx，其中0b．（Ⅰ）当12b时，判断函数()fx在定义域上的单调性；（Ⅱ）求函数()fx的极值点；（Ⅲ）证明对任意的正整数n，不等式23111ln1nnn都成立．14．设函数2()lnfxaxbx，其中0ab．证明：当0ab时，函数()fx没有极值点；当0ab时，函数()fx有且只有一个极值点，并求出极值．15．设函数f(x)=,22aaxxc其中a为实数.(Ⅰ)若f(x)的定义域为R,求a的取值范围;(Ⅱ)当f(x)的定义域为R时，求f(x)的单减区间.16．已知cxbxaxxf23)(在区间[0,1]上是增函数,在区间),1(),0,(上是减函数,又.23)21(f高考网(Ⅰ)求)(xf的解析式;(Ⅱ)若在区间],0[m(m＞0)上恒有)(xf≤x成立,求m的取值范围.17.已知函数0()(2xxaxxf，常数)aR．（1）讨论函数)(xf的奇偶性，并说明理由；（2）若函数)(xf在[2)x，上为增函数，求a的取值范围．18.已知函数0()(2xxaxxf，常数)aR．（1）当2a时，解不等式12)1()(xxfxf；（2）讨论函数)(xf的奇偶性，并说明理由．19．设函数),1,(11)(NxnNnnxfn且.(Ⅰ)当x=6时,求nn11的展开式中二项式系数最大的项;(Ⅱ)对任意的实数x,证明2)2()2(fxf＞);)()()((的导函数是xfxfxf(Ⅲ)是否存在Na,使得an＜nkk111＜na)1(恒成立?若存在,试证明你的结论并求出a的值;若不存在,请说明理由.本题考察函数、不等式、导数、二项式定理、组合数计算公式等内容和数学思想方法。考查综合推理论证与分析解决问题的能力及创新意识。答案解析11.解：（1）求函数()fx的导数；2()31xxf．曲线()yfx在点(())Mtft，处的切线方程为：()()()yftftxt，即23(31)2ytxt．高考网（2）如果有一条切线过点()ab，，则存在t，使23(31)2btat．于是，若过点()ab，可作曲线()yfx的三条切线，则方程32230tatab有三个相异的实数根．记32()23gttatab，则2()66gttat6()tta．当t变化时，()()gtgt，变化情况如下表：t(0)，0(0)a，a()a，()gt00()gt极大值ab极小值()bfa由()gt的单调性，当极大值0ab或极小值()0bfa时，方程()0gt最多有一个实数根；当0ab时，解方程()0gt得302att，，即方程()0gt只有两个相异的实数根；当()0bfa时，解方程()0gt得2atta，，即方程()0gt只有两个相异的实数根．综上，如果过()ab，可作曲线()yfx三条切线，即()0gt有三个相异的实数根，则0()0.abbfa，即()abfa．12.解：求函数()fx的导数2()22fxaxbxb．高考网（Ⅰ）由函数()fx在1xx处取得极大值，在2xx处取得极小值，知12xx，是()0fx的两个根．所以12()()()fxaxxxx当1xx时，()fx为增函数，()0fx，由10xx，20xx得0a．（Ⅱ）在题设下，12012xx等价于(0)0(1)0(2)0fff即202204420babbabb．化简得203204520babab．此不等式组表示的区域为平面aOb上三条直线：203204520babab，，．所围成的ABC△的内部，其三个顶点分别为：46(22)(42)77ABC，，，，，．z在这三点的值依次为16687，，．所以z的取值范围为1687，．13.解：（Ⅰ）由题意知，()fx的定义域为(1)，，322()211bxxbfxxxx设2()22gxxxb，其图象的对称轴为1(1)2x，，max11()22gxgb．当12b时，max1()02gxb，即2()230gxxxb在(1)，上恒成立，当(1)x，时，()0fx，ba2124O4677A，(42)C，(22)B，高考网当12b时，函数()fx在定义域(1)，上单调递增．（Ⅱ）①由（Ⅰ）得，当12b时，函数()fx无极值点．②12b时，3122()01xfxx有两个相同的解12x，112x，时，()0fx，12x，时，()0fx，12b时，函数()fx在(1)，上无极值点．③当12b时，()0fx有两个不同解，11122bx，21122bx，0b时，111212bx，211202bx，即1(1)x，，21x，．0b时，()fx，()fx随x的变化情况如下表：x1(1)x，1x2()x，()fx0()fx极小值由此表可知：0b时，()fx有惟一极小值点11122bx，当102b时，111212bx，12(1)xx，，此时，()fx，()fx随x的变化情况如下表：x1(1)x，1x12()xx，1x1()x，高考网()fx00()fx极大值极小值由此表可知：102b时，()fx有一个极大值11122bx和一个极小值点21122bx；综上所述：0b时，()fx有惟一最小值点1122bx；102b时，()fx有一个极大值点1122bx和一个极小值点112bxx；12b≥时，()fx无极值点．（Ⅲ）当1b时，函数2()ln(1)fxxx，令函数222()()ln(1)hxxfxxxx，则22213(1)()3211xxhxxxxx．当0x，时，()0fx，所以函数()hx在0，上单调递增，又(0)0h．(0)x，时，恒有()(0)0hxh，即23ln(1)xxx恒成立．故当(0)x，时，有23ln(1)xxx．对任意正整数n取1(0)xn，，则有23111ln1nnn．所以结论成立．高考网证明：因为2()ln0fxaxbxab，，所以()fx的定义域为(0)，．()fx222baxbaxxx．当0ab时，如果00()0()abfxfx，，，在(0)，上单调递增；如果00()0()abfxfx，，，在(0)，上单调递减．所以当0ab，函数()fx没有极值点．当0ab时，222()bbaxxaafxx令()0fx，将1(0)2bxa，（舍去），2(0)2bxa，，当00ab，时，()()fxfx，随x的变化情况如下表：x02ba，2ba2ba，()fx0()fx极小值从上表可看出，函数()fx有且只有一个极小值点，极小值为1ln222bbbfaa．当00ab，时，()()fxfx，随x的变化情况如下表：x02ba，2ba2ba，高考网()fx0()fx极大值从上表可看出，函数()fx有且只有一个极大值点，极大值为1ln222bbbfaa．综上所述，当0ab时，函数()fx没有极值点；当0ab时，若00ab，时，函数()fx有且只有一个极小值点，极小值为1ln22bba．若00ab，时，函数()fx有且只有一个极大值点，极大值为1ln22bba．15.解：（Ⅰ）()fx的定义域为R，20xaxa恒成立，240aa，04a，即当04a时()fx的定义域为R．（Ⅱ）22(2)e()()xxxafxxaxa，令()0fx≤，得(2)0xxa≤．由()0fx，得0x或2xa，又04a，02a时，由()0fx得02xa；当2a时，()0fx≥；当24a时，由()0fx得20ax，即当02a时，()fx的单调减区间为(02)a，；当24a时，()fx的单调减区间为(20)a，．16.解：（Ⅰ）2()32fxaxbxc，由已知(0)(1)0ff，高考网，，解得032cba，．2()33fxaxax，13332422aaf，2a，32()23fxxx．（Ⅱ）令()fxx≤，即32230xxx≤，(21)(1)0xxx≥，102x≤≤或1x≥．又()fxx≤在区间0m，上恒成立，102m≤．17.解：（1）当0a时，2)(xxf，对任意(0)(0)x，，，)()()(22xfxxxf，)(xf为偶函数．当0a时，2()(00)afxxaxx，，取1x，得(1)(1)20(1)(1)20ffffa，，(1)(1)(1)(1)ffff，，函数)(xf既不是奇函数，也不是偶函数．（2）解法一：设122xx≤，22212121)()(xaxxaxxfxfaxxxxxxxx)()(21212121，要使函数)(xf在[2)x，上为增函数，必须0)()(21xfxf恒成立．121204xxxx，，即)(2121xxxxa恒成立．又421xx，16)(2121xxxx．a的取值范围是(16]，．解法二：当0a时，2)(xxf，显然在[2)，为增函数．当0a时，反比例函数xa在[2)，为增函数，xaxxf2)(在[2)，为增函数．高考网a时，同解法一．18．解：（1）1212)1(222xxxxx，0122xx，0)1(xx．原不等式的解为10x．（2）当0a时，2)(xxf，对任意(0)(0)x，，，)()()(22xfxxxf，)(xf为偶函数．当0a时，2()(