高中人教A版数学必修4第16课时三角函数模型的简单应用Word版含解析

第16课时三角函数模型的简单应用课时目标1.能运用三角函数模型解决一些具有周期性变化规律的问题．2．能解决一些简单的与三角函数有关的物理问题和实际问题．识记强化三角函数模型应用的四个问题是：(1)根据图象建立解析式；(2)根据解析式画图象；(3)将实际问题转化为与三角函数有关的简单函数模型；(4)利用收集到的相关数据作散点图进行函数拟合，从而得到三角函数模型．课时作业一、选择题1．某人的血压满足函数式f(t)＝24sin(160πt)＋110，其中f(t)为血压，t为时间，则此人每分钟心跳的次数为()A．60B．70C．80D．90答案：C解析：由于ω＝160π，故函数的周期T＝2π160π＝180，所以f＝1T＝80，即每分钟心跳的次数为80.故选C.2．单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离Scm和时间ts的函数关系为S＝8sin2πt＋π3，那么单摆来回摆动一次所需的时间为()A．2πsB．πsC．0.5sD．1s答案：D解析：因为ω＝2π，所以T＝2πω＝1.3．水平地面上发射的炮弹，初速度大小为v0，发射角为θ，重力加速度为g，则炮弹上升的高度y与飞行时间t之间的关系式为()A．y＝v0tB．y＝v0sinθt－12gt2C．y＝v0sinθtD．y＝v0cosθt答案：B解析：竖直方向的分速度v0sinθ，由竖直上抛运动的位移公式y＝v0sinθt－12gt2，故选B.4．单位圆上有两个动点M、N，同时从P(1,0)点出发，沿圆周转动，M点按逆时针方向转，速度为π6rad/s，N点按顺时针方向转，速度为π3rad/s，则它们出发后第三次相遇时各自走过的弧度数分别为()A．π，2πB．π，4πC．2π，4πD．4π，8π答案：C解析：设M、N两点走过的弧长分别为l1和l2，自出发至第三次相遇，经过t秒，则l1＝π6t，l2＝π3t.∴π6t＋π3t＝6π，∴t＝12，∴l1＝2π，l2＝4π.5．如图为2015年某市某天中6h至14h的温度变化曲线，其近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋bA0，ω0，π2φπ的半个周期的图象，则该天8h的温度大约为()A．16℃B．15℃C．14℃D．13℃答案：D解析：由题意得A＝12×(30－10)＝10，b＝12×(30＋10)＝20.∵2×(14－6)＝16，∴2πω＝16，∴ω＝π8，∴y＝10sinπ8x＋φ＋20，将x＝6，y＝10代入得10sinπ8×6＋φ＋20＝10，即sin3π4＋φ＝－1，由于π2φπ，可得φ＝3π4，∴y＝10sinπ8x＋3π4＋20，x∈[6,14]．当x＝8时，y＝10sinπ8×8＋34π＋20＝20－52≈13，即该天8h的温度大约为13℃，故选D.6．一根长l厘米的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时，离开平衡位置的位移s(厘米)和时间t(秒)的函数关系是：s＝3cosglt＋π3.已知g＝980厘米/秒，要使小球摆动的周期是1秒，线的长度应当是()A.980πcmB.245πcmC.245π2cmD.980π2cm答案：C解析：由周期T＝2πω＝2π/gl＝2πlg，所以小球的摆动周期T＝2πlg.由l＝gT2π2，代入π＝3.14，g＝980，T＝1，得l＝98012π2＝245π2cm.二、填空题7．电流I(mA)随时间t(s)变化的函数关系是I＝3sin100πt＋π3，则电流I变化的最小正周期、频率和振幅分别为______，______，______.答案：150503解析：最小正周期T＝2π100π＝150；频率f＝1T＝50；振幅A＝3.8．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A0，ω0，|φ|π2的模型波动(x为月份)．已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元．根据以上条件可确定f(x)的解析式为________．答案：f(x)＝2sinπ4x－π4＋7(1≤x≤12，x∈N*)解析：由题意，可得A＝9－52＝2，B＝7，周期T＝2πω＝2×(7－3)＝8，∴ω＝π4.∴f(x)＝2sinπ4x＋φ＋7.∵当x＝3时，y＝9，∴2sin3π4＋φ＋7＝9.即sin3π4＋φ＝1.∵|φ|π2，∴φ＝－π4.∴f(x)＝2sinπ4x－π4＋7(1≤x≤12，x∈N*)．9．如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8m，圆上最低点与地面距离为0.8m,60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面距离是h，则h与θ间的函数关系式为______________________．答案：h＝5.6＋4.8sinθ－π2解析：以O为原点建立坐标系，如右图，则以Ox为始边，OB为终边的角为θ－π2，故点B的坐标为4.8cosθ－π2，4.8sinθ－π2.∴h＝5.6＋4.8sinθ－π2.三、解答题10．交流电的电压E(单位：V)随时间t(单位：s)变化的关系式是E＝2203sin100πt＋π6，t∈[0，＋∞)．(1)求开始时(t＝0)的电压；(2)求电压的最大值和首次达到最大值的时间；(3)求电压的最大值重复出现一次的时间间隔．解：(1)当t＝0时，E＝2203×sinπ6＝1103，即开始时的电压为1103V.(2)电压的最大值为2203V.当100πt＋π6＝π2时，t＝1300，即电压首次达到最大值的时间为1300s.(3)T＝2π100π＝150，即电压的最大值重复出现一次的时间间隔为150s.11．电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝Asin(ωt＋φ)A0，ω0，|φ|π2.(1)若I＝Asin(ωt＋φ)在一个周期内的图象如图所示，试根据图象写出I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；(2)为了使I＝Asin(ωt＋φ)中的t在任意一个1100s的时间段内电流强度I能取得最大值与最小值，那么正整数ω的最小值是多少？解：(1)由图，可知A＝300.设t0＝－1300，t1＝1150，t2＝160.∵T＝t2－t0＝160－－1300＝150，∴ω＝2πT＝100π，∴I＝300sin(100πt＋φ)．将－1300，0代入解析式，得－π3＋φ＝2kπ，k∈Z，∴φ＝π3＋2kπ，k∈Z.∵|φ|π2，∴φ＝π3，∴I＝300sin100πt＋π3.(2)由题意，知2πω≤1100，∴ω≥200π，∴正整数ω的最小值为629.能力提升12．如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧AP的长为l，弦AB的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致是()答案：C解析：令AP所对的圆心角为θ，由|OA|＝1，得l＝θ.又∵sinθ2＝d2，∴d＝2sinθ2＝2sinl2.∴d＝f(l)＝2sinl2(0≤l≤2π)，它的图象为C.13．节能环保日益受到人们的重视，水污染治理也已成为“十三五”规划的重要议题．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A、B及CD的中点P处，AB＝30km，BC＝15km，为了处理三家工厂的污水，现要在该矩形区域上(含边界)，且与A、B等距离的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO、BO、PO.设∠BAO＝x(弧度)，排污管道的总长度为ykm.(1)将y表示为x的函数；(2)试确定O点的位置，使铺设的排污管道的总长度最短，并求总长度的最短公里数(精确到0.01km)．分析：(1)直接由已知条件求出AO、BO、OP的长度，即可得到所求函数关系式；(2)记p＝2－sinxcosx，则sinx＋pcosx＝2，求出p的范围，即可得出结论．解：(1)由已知得y＝2×15cosx＋15－15tanx，即y＝15＋15×2－sinxcosx(其中0≤x≤π4)(2)记p＝2－sinxcosx，则sinx＋pcosx＝2，则有21＋p2≤1，解得p≥3或p≤－3由于y0，所以，当x＝π6，即点O在CD中垂线上离点P距离为15－1533km处，y取得最小值15＋153≈40.98km.