高中人教A版数学必修4第20课时向量的数乘运算及其几何意义Word版含解析

第20课时向量的数乘运算及其几何意义课时目标1.理解向量数乘的定义及规定，掌握向量数乘的几何意义．2．掌握向量数乘的运算法则，会应用法则进行有关计算．识记强化1．向量数乘的运算律(1)λ(μ)a＝μ(λa)；(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.2．共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当存在唯一实数λ，使b＝λa.课时作业一、选择题1．已知λ∈R，则下列命题正确的是()A．|λa|＝λ|a|B．|λa|＝|λ|aC．|λa|＝|λ||a|D．|λa|0答案：C解析：当λ0时，|λa|＝λ|a|不成立，A错误；|λa|是一个非负实数，而|λ|a是一个向量，所以B错误；当λ＝0或a＝0时，|λa|＝0，D错误．故选C.2．已知AB→＝a＋5b，BC→＝－2a＋8b，CD→＝3(a－b)，则()A．A，B，D三点共线B．A，B，C三点共线C．B，C，D三点共线D．A，C，D三点共线答案：A解析：BD→＝BC→＋CD→＝－2a＋8b＋3(a－b)＝a＋5b＝AB→，∴A，B，D三点共线．3．如图所示，D是△ABC的边AB的中点，则向量CD→＝()A．－BC→＋12BA→B．－BC→－12BA→C.BC→－12BA→D.BC→＋12BA→答案：A解析：CD→＝CB→＋BD→＝－BC→＋12BA→.4．已知向量a与b反向，且|a|＝r，|b|＝R，b＝λa，则λ的值等于()A.rRB．－rRC．－RrD.Rr答案：C解析：∵b＝λa，∴|b|＝|λ||a|.又a与b反向，∴λ＝－Rr.5．在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线交DC于点F，若AB→＝a，AD→＝b，则AF→＝()A.13a＋bB.12a＋bC．a＋13bD．a＋12b答案：A解析：由已知条件可知BE＝3DE，∴DF＝13AB，∴AF→＝AD→＋DF→＝AD→＋13AB→＝13a＋b.6．如图，在△ABC中，AD＝DB，AE＝EC，CD与BE交于点F.设AB→＝a，AC→＝b，AF→＝xa＋yb，则(x，y)为()A.12，12B.23，23C.13，13D.23，12答案：C解析：∵AD＝DB，AE＝EC，∴F是△ABC的重心，则DF→＝13DC→，∴AF→＝AD→＋DF→＝AD→＋13DC→＝AD→＋13(AC→－AD→)＝23AD→＋13AC→＝13AB→＋13AC→＝13a＋13b，∴x＝13，y＝13.二、填空题7．已知x，y是实数，向量a，b不共线，若(x＋y－1)a＋(x－y)b＝0，则x＝________，y＝________.答案：1212解析：由已知得x＋y－1＝0x－y＝0，解得x＝y＝12.8．下面三个命题：①非零向量a与b共线，则a与b所在的直线平行；②向量a与b共线，则存在唯一实数λ，使a＝λb；③若a＝λb，则a与b共线．正确命题的序号为：________.答案：③解析：①a与b所在直线有可能在一条直线上；②若b＝0，λb＝0，∴λ可取任意实数；③正确．9．已知点P，Q是△ABC所在平面上的两个定点，且满足PA→＋PC→＝0,2QA→＋QB→＋QC→＝BC→，若|PQ→|＝λ|BC→|，则正实数λ＝________.答案：12解析：由条件PA→＋PC→＝0，知PA→＝－PC→＝CP→，所以点P是边AC的中点．又2QA→＋QB→＋QC→＝BC→，所以2QA→＝BC→－QB→－QC→＝BC→＋CQ→＋BQ→＝2BQ→，从而有QA→＝BQ→，故点Q是边AB的中点，所以PQ是△ABC的中位线，所以|PQ→|＝12|BC→|，故λ＝12.三、解答题10．设两个非零向量e1与e2不共线，如果AB→＝e1＋e2，BC→＝2e1＋8e2，CD→＝3(e1－e2)．(1)求证：A、B、D三点共线；(2)试确定实数k的值，使ke1＋e2和e1＋ke2共线．解：(1)证明：BD→＝BC→＋CD→＝5e1＋5e2＝5AB→，∴BD→∥AB→，又AB、BD有公共点B，∴A、B、D三点共线．(2)∵ke1＋e2与e1＋ke2共线，∴存在实数λ使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，∴k＝λ1＝kλ，∴k2＝1，∴k＝±1.11.如图，在△ABC中，AN→＝13NC→，P是BN上的一点，若AP→＝mAB→＋211AC→，求实数m的值．解：AP→＝AN→＋NP→＝14AC→＋NP→＝mAB→＋211AC→，∴NP→＝mAB→－344AC→.又NB→＝NC→＋CB→＝34AC→＋(AB→－AC→)＝AB→－14AC→，设NP→＝λNB→，则λAB→－14λAC→＝mAB→－344AC→，∴m＝λ＝311.能力提升12．已知P是△ABC所在平面内的一点，若CB→＝λPA→＋PB→，其中λ∈R，则点P一定在()A．△ABC的内部B．AC边所在直线上C．AB边所在直线上D．BC边所在直线上答案：B解析：由CB→＝λPA→＋PB→，得CB→－PB→＝λPA→，∴CP→＝λPA→，则CP→与PA→为共线向量又有一个公共点P，∴C、P、A三点共线即P点在直线AC上．13．如图，G是△OAB的重心，OG的延长线交AB于点M，P，Q分别是边OA，OB上的动点，且P，G，Q三点共线．(1)设PG→＝λPQ→，将OG→用λ，OP→，OQ→表示；(2)设OP→＝xOA→，OQ→＝yOB→，证明：1x＋1y是定值．解：(1)OG→＝OP→＋PG→＝OP→＋λPQ→＝OP→＋λ(OQ→－OP→)＝(1－λ)OP→＋λOQ→.(2)由(1)及OP→＝xOA→，OQ→＝yOB→，得OG→＝(1－λ)OP→＋λOQ→＝(1－λ)xOA→＋λyOB→.①∵G是△OAB的重心，∴OG→＝23OM→＝23×12(OA→＋OB→)＝13OA→＋13OB→.②由①②得1－λx－13OA→＝13－λyOB→，而OA→，OB→不共线，∴1－λx＝13λy＝13，解得1x＝3－3λ1y＝3λ，∴1x＋1y＝3，即1x＋1y是定值．