高中人教A版数学必修4第23课时平面向量共线的坐标表示Word版含解析

第23课时平面向量共线的坐标表示课时目标1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．2．会根据平面向量的坐标，判断向量是否共线．识记强化两向量平行的条件(1)设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a∥b⇔a1b2－a2b1＝0.(2)设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)且(b1b2≠0)，则a∥b⇔a1b1＝a2b2，即两条向量平行的条件是相应坐标成比例．课时作业一、选择题1．若三点A(1,1)、B(2，－4)、C(x，－9)共线，则()A．x＝－1B．x＝3C．x＝92D．x＝5答案：B解析：因为A、B、C三点共线，所以AB→与BC→共线．AB→＝(1，－5)，BC→＝(x－2，－5)，所以(x－2)·(－5)＋5＝0.所以x＝3.2．已知点A(1,1)，B(4,2)和向量a＝(2，λ)，若a∥AB→，则实数λ的值为()A．－23B.32C.23D．－32答案：C解析：根据A，B两点的坐标，可得AB→＝(3,1)，∵a∥AB→，∴2×1－3λ＝0，解得λ＝23，故选C.3．已知向量a＝(x,2)，b＝(3，－1)，若(a＋b)∥(a－2b)，则实数x的值为()A．－3B．2C．4D．－6答案：D解析：因为(a＋b)∥(a－2b)，a＋b＝(x＋3,1)，a－2b＝(x－6,4)，所以4(x＋3)－(x－6)＝0，解得x＝－6.4．已知向量a＝(x,5)，b＝(5，x)两向量方向相反，则x＝()A．－5B．5C．－1D．1答案：A解析：由两向量共线可得x2－25＝0∴x＝±5，又两向量方向相反，∴x＝－5.5．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)．若ma＋4b与a－2b共线，则m的值为()A.12B．2C．－12D．－2答案：D解析：根据题意，得ma＋4b＝(2m－4,3m＋8)，a－2b＝(4，－1)，因为ma＋4b与a－2b共线，所以(2m－4)×(－1)＝4(3m＋8)，解得m＝－2.6．已知a＝(－2,1－cosθ)，b＝(1＋cosθ，－14)且a∥b，则锐角θ等于()A．45°B．30°C．60°D．30°或60°答案：A解析：由向量共线条件得－2×(－14)－(1－cosθ)(1＋cosθ)＝0，即cos2θ＝12.所以θ＝45°.二、填空题7．已知向量a＝(3，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，3)，若a－2b与c共线，则k＝________.答案：1解析：a－2b＝(3，3)，根据a－2b与c共线，得3k＝3×3，解得k＝1.8．已知向量a＝(3x－1,4)与b＝(1,2)共线，则实数x的值为________．答案：1解析：∵向量a＝(3x－1,4)与b＝(1,2)共线，∴2(3x－1)－4×1＝0，解得x＝1.9．已知a＝(4,3)，b＝(－1,2)，m＝a－λb，n＝2a＋b，若m∥n，则λ＝________.答案：－12解析：m＝(4＋λ，3－2λ)，n＝(7,8)，由(4＋λ，3－2λ)，k(7,8)，得λ＝－12.三、解答题10．设A，B，C，D为平面内的四点，且A(1,3)，B(2，－2)，C(4，－1)．(1)若AB→＝CD→，求点D的坐标；(2)设向量a＝AB→，b＝BC→，若ka－b与a＋3b平行，求实数k的值．解：(1)设D(x，y)．由AB→＝CD→，得(2，－2)－(1,3)＝(x，y)－(4，－1)，即(1，－5)＝(x－4，y＋1)，所以x－4＝1y＋1＝－5，解得x＝5y＝－6.所以点D的坐标为(5，－6)．(2)因为a＝AB→＝(2，－2)－(1,3)＝(1，－5)，b＝BC→＝(4，－1)－(2，－2)＝(2,1)，所以ka－b＝k(1，－5)－(2,1)＝(k－2，－5k－1)，a＋3b＝(1，－5)＋3(2,1)＝(7，－2)．由ka－b与a＋3b平行，得(k－2)×(－2)－(－5k－1)×7＝0，所以k＝－13.11．平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．(1)求3a＋b－2c；(2)求满足a＝mb＋nc的实数m、n；(3)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k.解：(1)∵a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)，∴3a＋b－2c＝3(3,2)＋(－1,2)－2(4,1)＝(0,6)．(2)∵a＝mb＋nc，∴(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)＝(－m＋4n,2m＋n)．∴－m＋4n＝3，2m＋n＝2.解得m＝59，n＝89.(3)由a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，∴2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，∴k＝－1613.能力提升12．已知向量a＝(1,1)，b＝(－1,0)，λa＋μb与a－2b共线，则λμ等于()A.12B．2C．－12D．－2答案：C解析：易知a，b不共线，则有λ1＝μ－2，故λμ＝－12.13．已知点A(2,3)、B(5,4)、C(7,10)．若AP→＝AB→＋λAC→(λ∈R)，试求λ为何值时，(1)点P在第一、三象限的角平分线上？(2)点P在第三象限内？解：设点P的坐标为(x，y)，则AP→＝(x，y)－(2,3)＝(x－2，y－3)．AB→＋λAC→＝[(5,4)－(2,3)]＋λ[(7,10)－(2,3)]＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3,1)＋(5λ，7λ)＝(3＋5λ，1＋7λ)．∵AP→＝AB→＋λAC→，∴(x－2，y－3)＝(3＋5λ，1＋7λ)．∴x－2＝3＋5λ，y－3＝1＋7λ.∴x＝5＋5λ，y＝4＋7λ.∴点P的坐标为(5＋5λ，4＋7λ)．(1)若点P在第一、三象限的角平分线上，则5＋5λ＝4＋7λ，此时λ＝12.(2)若点P在第三象限内，则5＋5λ＜0，4＋7λ＜0.∴λ＜－1，λ＜－47.∴λ＜－1.即当λ＜－1时，点P在第三象限内．