高中人教A版数学必修4第28课时两角和与差的正弦余弦Word版含解析

第28课时两角和与差的正弦、余弦课时目标1.掌握两角和的余弦，两角和与差的正弦公式．2．能熟练运用公式进行恒等变形．识记强化cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβsin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ课时作业一、选择题1．cos5π12cosπ12＋sin5π12sinπ12的值为()A.12B．0C.32D．1答案：A解析：由两角差的余弦公式，得cos5π12cosπ12＋sin5π12sinπ12＝cos5π12－π12＝cosπ3＝12，故选A.2．已知cosα－π6＋sinα＝435，则sin(α＋7π6)的值是()A．－235B.235C．－45D.45答案：C解析：原方程可化为32cosα＋32sinα＝453，即sinα＋π6＝45，∴sinα＋76π＝－sinα＋π6＝－45，故选C.3．函数f(x)＝cosx＋π4－cosx－π4是()A．周期为π的偶函数B．周期为2π的偶函数C．周期为π的奇函数D．周期为2π的奇函数答案：D解析：因为f(x)＝cosx＋π4－cosx－π4＝22cosx－22sinx－22cosx＋22sinx＝－2sinx，所以函数f(x)的最小正周期为2π1＝2π.又f(－x)＝－2sin(－x)＝2sinx＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，故选D.4．cos(x＋2y)＋2sin(x＋y)siny可化简为()A．cosxB．sinxC．cos(x＋y)D．cos(x－y)答案：A解析：原式＝cos[(x＋y)＋y]＋2sin(x＋y)siny＝cos(x＋y)cosy－sin(x＋y)siny＋2sin(x＋y)siny＝cos(x＋y)cosy＋sin(x＋y)siny＝cosx.5．在3sinx＋cosx＝2a－3中，a的取值范围是()A.12≤a≤52B．a12C．a52D．－52≤a≤－12答案：A解析：∵3sinx＋cosx＝2a－3，∴32sinx＋12cosx＝a－32.∴sinx＋π6＝a－32.∵sinx＋π6≤1，∴α－32≤1，即－1≤a－32≤1，∴12≤a≤52.6．若sinα·sinβ＝1，则cos(α＋β)的值为()A．0B．1C．±1D．－1答案：D解析：由sinα·sinβ＝1可知sinα，sinβ同时为1或－1，此时cosα，cosβ均等于0.cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝－1.二、填空题7．若cosα＝1517，α∈3π2，2π，则cosπ3－α＝________.答案：15－8334解析：∵cosα＝1517，α∈3π2，2π，∴sinα＝－817∴cosπ3－α＝cosπ3·cosα＋sinπ3·sinα＝15－83348．若在△ABC中，2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是________．答案：等腰三角形解析：△ABC中C＝π－(A＋B)sinC＝sin(A＋B)∴2cosBsinA＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB即cosBsinA－cosAsinB＝0∴sin(A－B)＝0∴A＝B.9．已知sin3π4＋α＝513，cosβ－π4＝35，且0απ4β3π4，则sin(α＋β)＝________.答案：5665解析：由sin3π4＋α＝513，且0απ4，得cos3π4＋α＝－1213.由cosβ－π4＝35，π4β3π4，得sinβ－π4＝45.故cos3π4＋α＋β－π4＝cos3π4＋αcosβ－π4－sin3π4＋αsinβ－π4＝－5665，即cosα＋β＋π2＝－sin(α＋β)＝－5665，所以sin(α＋β)＝5665.三、解答题10．已知sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα＝35，β是第三象限角，求sinβ＋5π4的值．解：∵sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα＝sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα＝sin[(α－β)－α]＝－sinβ＝35∴sinβ＝－35.又∵β为第三象限的角，∴cosβ＝－45，∴sinβ＋5π4＝sinβcos5π4＋cosβsin5π4＝－35×－22＋－45×－22＝7210.11．若0απ2，－π2β0，cos5π4＋α＝－13，cosπ4－β2＝33，求cosα＋β2的值．解：∵cos5π4＋α＝－13，∴cosπ4＋α＝13.∵0απ2，∴π4α＋π43π4，∴sinπ4＋α＝223.∵－π2β0，∴π4π4－β2π2.又cosπ4－β2＝33，∴sinπ4－β2＝63，∴cosα＋β2＝cosπ4＋α－π4－β2＝cosπ4＋αcosπ4－β2＋sinπ4＋αsinπ4－β2＝13×33＋223×63＝539.能力提升12．sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°)的值等于()A．±1B．1C．－1D．0答案：D解析：原式＝sin[(θ＋15°)＋60°]＋cos[(θ＋15°)＋30°]－3cos(θ＋15°)＝12sin(θ＋15°)＋32cos(θ＋15°)＋32cos(θ＋15°)－12sin(θ＋15°)－3cos(θ＋15°)＝0.13．已知向量a＝(sinθ，－2)与b＝(1，cosθ)互相垂直，其中θ∈0，π2.(1)求sinθ和cosθ的值；(2)若5cos(θ－φ)＝35cosφ，0φπ2，求cosφ的值．解：(1)∵a⊥b，∴a·b＝sinθ－2cosθ＝0，即sinθ＝2cosθ.又∵sin2θ＋cos2θ＝1，∴4cos2θ＋cos2θ＝1，即cos2θ＝15，∴sin2θ＝45.又θ∈0，π2，∴sinθ＝255，cosθ＝55.(2)∵5cos(θ－φ)＝5(cosθcosφ＋sinθsinφ)5cosφ＋25sinφ＝35cosφ，∴cosφ＝sinφ，∴cos2φ＝sin2φ＝1－cos2φ，即cos2φ＝12，又0φπ2，∴cosφ＝22.