高中人教A版数学必修4第4课时三角函数线Word版含解析

第4课时三角函数线课时目标借助单位圆理解任意角三角函数定义(正弦、余弦、正切)．识记强化1．在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆．2．利用单位圆定义求任意角的三角函数．设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：(1)y叫做α的正弦，记作sinα，即sinα＝y；(2)x叫做α的余弦，记作cosα，即cosα＝x；(3)yx叫做α的正切，记作tanα，即tanα＝yx(x≠0)．3．三角函数线图中有向线段MP，OM，AT分别表示正弦线、余弦线和正切线．课时作业一、选择题1．已知有向线段MP、OM、AT分别是60°角的正弦线，余弦线，正切线，则一定有()A．MP＜OM＜ATB．OM＜MP＜ATC．AT＜OM＜MPD．OM＜AT＜MP答案：B解析：画出三角函数线可作出判断．2．下列判断错误的是()A．角α一定时，单位圆中的正弦线一定B．在单位圆中，有相同正弦线的角相等C．角α与角α＋π有相同的正切线D．具有相同正切线的两个角的终边在同一条直线上答案：B3．已知角α(0α2π)的正弦线与余弦线的长度相等，且符号相异，那么α的值为()A.π4B.3π4C.5π4D.3π4或7π4答案：D解析：依题意，角α的终边是第二、四象限角的平分线．4．已知角α的正弦线的长度为单位长度，那么角α的终边()A．在x轴上B．在y轴上C．在直线y＝x上D．在直线y＝－x上答案：B解析：当角α的正弦线的长度为单位长度，即单位圆的半径，此时角α的终边在y轴上．5．sin1，cos1，tan1的大小关系是()A．sin1＜cos1＜tan1B．sin1＞tan1＞cos1C．cos1＜sin1＜tan1D．tan1＜sin1＜cos1答案：C解析：作出角1的正弦线MP，余弦线OM和正切线AT，比较大小可知：OM＜MP＜AT.所以sin1、cos1、tan1从小到大排列顺序为cos1＜sin1＜tan1(如图所示)．6．在(0,2π)内，使sinαcosα成立的α的取值范围是()A.π4，π2∪π，5π4B.π4，πC.π4，5π4D.π4，π∪5π4，3π2答案：C解析：如图所示，当α∈π4，5π4时，恒有MPOM，而当α∈0，π4∪5π4，2π时，则是MPOM.二、填空题7．若sinα≥32，则α的取值范围是________．答案：{α|2kπ＋π3≤α≤2kπ＋2π3，k∈Z}解析：如图作直线y＝32交单位圆于A，B两点，连结OA，OB，则图中的阴影部分即为角α的终边的范围．故满足条件的角α的取值范围为{α|2kπ＋π3≤α≤2kπ＋2π3，k∈Z}．8．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且sinα0，cosα≤0，则实数a的取值范围是________．答案：(－2,3]解析：∵点(3a－9，a＋2)在角α的终边上，sinα0，cosα≤0，∴a＋203a－9≤0，解得－2a≤3.9．观察角α从0°增大到360°时正弦线长度的变化，填写空格：①当α从0°逐渐增大到90°时，sinα从________逐渐________到________；②当α从90°逐渐增大到180°时，sinα从________逐渐________到________；③当α从180°逐渐增大到270°时，sinα从________逐渐________到________；④当α从270°逐渐增大到360°时，sinα从________逐渐________到________．答案：①0，增大，1；②1，减小，0；③0，减小，－1；④－1，增大，0.三、解答题10．利用三角函数线比较sin2π5，cos6π5，tan7π5的大小．解：如图所示：由图可知cos6π50，tan7π50，sin2π50，且tan7π5＝tan2π5，∵02π5π2，sin2π5tan2π5.故cos6π5sin2π5tan7π5.11．利用三角函数线，写出满足下列条件的角x的集合．(1)sinx－12且cosx12；(2)tanx≥－1.解：(1)由图①，知当sinx－12且cosx12时，角x满足的集合为x－π6＋2kπxπ3＋2kπ，k∈Z.(2)由图②，知当tanx≥－1时，角x满足的集合为x2kπ－π4≤x2kπ＋π2，k∈Z∪x2kπ＋3π4≤x2kπ＋3π2，k∈Z，即xnπ－π4≤xnπ＋π2，n∈Z.能力提升12．如果π4θπ2，那么下列各式中正确的是()A．cosθtanθsinθB．sinθcosθtanθC．tanθsinθcosθD．cosθsinθtanθ答案：D解析：如图所示，由三角函数线易知，cosθcosπ4＝22，1sinθsinπ4＝22，tanθtanπ4＝1.13．已知0απ2，求证：(1)sinα＋cosα1；(2)sinααtanα.证明：如图所示，设α的终边与单位圆交于P，作PM⊥x轴于M，过点A(1,0)作AT⊥x轴，交α的终边于T，则sinα＝MP，cosα＝OM，tanα＝AT.(1)在△OMP中，∵OM＋MPOP，∴sinα＋cosα1.(2)连接PA，则S△POA＝12OA·MP，S扇形AOP＝12OA2·α，S△OTA＝12OA·AT.又∵S△POAS扇形POAS△OTA，∴12OA·MP12OA2·α＜12OA·AT，∴MPαAT，即sinααtanα.