高中人教A版数学必修4第5课时同角三角函数的基本关系1Word版含解析

第5课时同角三角函数的基本关系(1)课时目标1.理解并掌握同角三角函数的基本关系式．2．能够利用同角三角函数的基本关系进行简单的化简、求值与恒等证明．识记强化1．同角三角函数的基本关系式包括：①平方关系：sin2α＋cos2α＝1②商数关系：tanα＝sinαcosα.2．商数关系tanα＝sinαcosα成立的角α的范围是α≠kπ＋π2(k∈Z)．3．sin2α＋cos2α＝1的变形有sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，1＝sin2α＋cos2α等．tanα＝sinαcosα的变形有sinα＝tanα·cosα，cosα＝sinαtanα等．课时作业一、选择题1．已知sinα＝45，且α是第二象限角，那么tanα的值是()A．－43B．－34C.34D.43答案：A解析：cosα＝－1－sin2α＝－35，所以tanα＝sinαcosα＝－43.2.11＋tan23π5化简结果为()A．cos3π5B．－cos3π5C．±cos3π5D．－cos2π5答案：B3．已知sinθ＋cosθ＝1，则sinθ－cosθ的值为()A．1B．－1C．±1D．0答案：C解析：将sinθ＋cosθ＝1两边平方得sinθcosθ＝0.即sinθ＝0cosθ＝1或cosθ＝0sinθ＝1，故sinθ－cosθ＝±1.4．已知α、β均为锐角，2tanα＋3sinβ＝7，tanα－6sinβ＝1，则sinα的值是()A.355B.377C.31010D.13答案：C解析：由2tanα＋3sinβ＝7，tanα－6sinβ＝1，解得tanα＝3.∴sinαcosα＝3，又sin2α＋cos2α＝1，且α为锐角，∴sinα＝31010.故选C.5．如果sinα|sinα|＋cosα|cosα|＝－1，那么角α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角答案：C解析：∵－sin2α＋(－cos2α)＝－1，∴只有|sinα|＝－sinα，|cosα|＝－cosα时，sinα|sinα|＋cosα|cosα|＝－1才能成立．sinα、cosα同时小于零，所以α是第三象限角．6．若角α的终边落在直线x＋y＝0上，则sinα1－sin2α＋1－cos2αcosα的值为()A．－2B．2C．－2或2D．0答案：D解析：∵角α的终边在x＋y＝0上，∴当α在第二象限时，sinα＝－cosα＝22；当α在第四象限时，sinα＝－cosα＝－22，∴原式＝sinα|cosα|＋|sinα|cosα＝0.二、填空题7．若sinα＋cosαsinα－cosα＝12，则tanα＝________.答案：－3解析：sinα＋cosαsinα－cosα＝tanα＋1tanα－1＝12，∴tanα＝－3.8．化简：1－2sin20°cos20°＝________.答案：cos20°－sin20°解析：原式＝sin220°＋cos220°－2sin20°cos20°＝sin20°－cos20°2＝|cos20°－sin20°|＝cos20°－sin20°.9．如果tanα＝13，π＜α＜32π，则sinαcosα＝________.答案：310解析：sinαcosα＝sinαcosα1＝sinαcosαsin2α＋cos2α＝sinαcosαcos2αsin2α＋cos2αcos2α＝tanα1＋tan2α＝131＋132＝310.三、解答题10．已知sinα＝45，求cosα，tanα的值．解：因为sinα0，sinα≠1，所以α是第一或第二象限角．由sin2α＋cos2α＝1，得cos2α＝1－sin2α＝925.若α是第一象限角，那么cosα0，于是cosα＝35，从而tanα＝sinαcosα＝43；若α是第二象限角，那么cosα＝－35，tanα＝－43.11．已知0απ，sinα＋cosα＝15，求tanα的值．解：由sinα＋cosα＝15两边平方，得sinαcosα＝－12250，由0απ可知：sinα0，cosα0，故π2απ，所以(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1＋2425＝4925.由π2απ知：sinα－cosα0，所以sinα－cosα＝75，联立sinα＋cosα＝15sinα－cosα＝75得sinα＝45，cosα＝－35，所以，tanα＝sinαcosα＝－43.能力提升12．若α是三角形的内角，且sinα＋cosα＝23，则这个三角形是()A．等边三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形答案：D解析：等式sinα＋cosα＝23，两边平方得：1＋2sinαcosα＝49，∴sinαcosα＝－518，而α∈(0，π)，∴sinα0，cosα0，即α是钝角．13．已知方程8x2＋6kx＋2k＋1＝0的两个实根是sinθ和cosθ.(1)求k的值；(2)求tanθ的值(其中sinθ＞cosθ)．解：(1)由已知得：Δ＝36k2－32·2k＋1≥0，①sinθ＋cosθ＝－3k4，②sinθ·cosθ＝2k＋18.③∵sin2θ＋cos2θ＝1，即(sinθ＋cosθ)2－2sinθcosθ＝1.∴将②、③代入后，得9k216－2k＋14＝1，即9k2－8k－20＝0，解之，得k＝－109或k＝2.∵k＝2不满足①式，故舍去，∴k＝－109.(2)把k＝－109，代入②、③得sinθ＋cosθ＝56，sinθ·cosθ＝－1172，解之，得sinθ＝5＋4712，cosθ＝5－4712，(sinθ＞cosθ)∴tanθ＝sinθcosθ＝5＋475－47＝－72＋104722＝－36＋54711.