高中人教A版数学必修4第6课时同角三角函数的基本关系2Word版含解析

第6课时同角三角函数的基本关系(2)课时目标1.巩固同角三角函数关系式．2．灵活利用公式进行化简求值证明．识记强化1．同角三角函数关系式是根据三角函数定义推导的．2．同角三角函数的基本关系式包括：①平方关系：sin2α＋cos2α＝1②商数关系：tanα＝sinαcosα.3．商数关系tanα＝sinαcosα成立的角α的范围是α≠kπ＋π2(k∈Z)．4．sin2α＋cos2α＝1的变形有sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，1＝sin2α＋cos2α等．tanα＝sinαcosα的变形有sinα＝tanα·cosα，cosα＝sinαtanα等．课时作业一、选择题1．已知cos2θ＝925，且3π2＜θ＜2π，那么tanθ的值是()A.43B．－34C.34D．－43答案：D解析：∵3π2＜θ＜2π，cos2θ＝925，∴cosθ＝35.∴sinθ＝－45，故tanθ＝sinθcosθ＝－43.2．已知tanα＝2，则11＋sinα＋11－sinα的值为()A．6B．10C．5D．8答案：B解析：先将所求关系式化简，再代入求值．11＋sinα＋11－sinα＝21＋sinα1－sinα＝2cos2α.∵tanα＝sinαcosα＝2，∴sinα＝2cosα，∴sin2α＋cos2α＝4cos2α＋cos2α＝5cos2α＝1，∴cos2α＝15，∴原式＝215＝10.故选B.3．设cos100°＝k，则tan100°＝()A.1－k2kB．－1－k2kC．±1－k2kD．±k1－k2答案：A解析：∵100°是第二象限角，cos100°＝k，∴sin100°＝1－k2，∴tan100°＝1－k2k.4．已知sinθ＝m－3m＋5，cosθ＝4－2mm＋5，则m的值为()A．0B．8C．0或8D．3＜m＜9答案：C解析：利用sin2θ＋cos2θ＝1，求m的值．5．化简tanx＋1tanxcos2x＝()A．tanxB．sinxC．cosxD.1tanx答案：D解析：tanx＋1tanxcos2x＝sinxcosx＋cosxsinxcos2x＝sin2x＋cos2xsinxcosx·cos2x＝cosxsinx＝1tanx.6．已知tanα＝12，且α∈π，3π2，则sinα的值是()A．－55B.55C.255D．－255答案：A解析：∵α∈π，3π2，∴sinα0.由tanα＝sinαcosα＝12，sin2α＋cos2α＝1，得sinα＝－55.二、填空题7．已知tanα＝mπ＜α＜3π2，则sinα＝________.答案：－m1＋m2解析：因为tanα＝m，所以sin2αcos2α＝m2，又sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝1m2＋1，sin2α＝m2m2＋1.又因为π＜α＜3π2，所以tanα＞0，即m＞0.因而sinα＝－mm2＋1.8．若cosα＋2sinα＝－5，则tanα＝________.答案：2解析：将已知等式两边平方，得cos2α＋4sin2α＋4sinαcosα＝5(cos2α＋sin2α)，化简得sin2α－4sinαcosα＋4cos2α＝0，即(sinα－2cosα)2＝0，则sinα＝2cosα，故tanα＝2.9．若tanα＋1tanα＝3，则sinαcosα＝________，tan2α＋1tan2α＝________.答案：137解析：∵tanα＋1tanα＝3，∴sinαcosα＋cosαsinα＝3，即sin2α＋cos2αsinαcosα＝3，∴sinαcosα＝13.tan2α＋1tan2α＝tanα＋1tanα2－2tanα1tanα＝9－2＝7.三、解答题10．求证：1－2sin2xcos2xcos22x－sin22x＝1－tan2x1＋tan2x.证明：左边＝cos22x＋sin22x－2sin2xcos2xcos22x－sin22x＝cos2x－sin2x2cos2x－sin2xcos2x＋sin2x＝cos2x－sin2xcos2x＋sin2x＝1－tan2x1＋tan2x＝右边．11．已知tanα＝3，求下列各式的值：(1)4sinα－cosα3sinα＋5cosα；(2)sin2α－2sinαcosα－cos2α4cos2α－3sin2α；(3)34sin2α＋12cos2α.解：(1)4sinα－cosα3sinα＋5cosα＝4tanα－13tanα＋5＝4×3－13×3＋5＝1114(2)sin2α－2sinαcosα－cos2α4cos2α－3sin2α＝tan2α－2tanα－14－3tan2α＝9－6－14－27＝－223(3)34sin2α＋12cos2α＝34sin2α＋12cos2αsin2α＋cos2α＝34tan2α＋12tan2α＋1＝34×9＋129＋1＝2940能力提升12．已知A为锐角，lg(1＋cosA)＝m，lg11－cosA＝n，则lgsinA的值为()A．m＋1nB．m－nC.12m＋1nD.12(m－n)答案：D解析：两式相减得lg(1＋cosA)－lg11－cosA＝m－n⇒lg[(1＋cosA)(1－cosA)]＝m－n⇒lgsin2A＝m－n，∵A为锐角，∴sinA＞0.∴2lgsinA＝m－n.∴lgsinA＝m－n2.13．已知2sin2α＋2sinαcosα1＋tanα＝k0απ2，试用k表示sinα－cosα的值．解：2sin2α＋2sinαcosα1＋tanα＝2sinαsinα＋cosα1＋sinαcosα＝2sinαcosαsinα＋cosαsinα＋cosα＝2sinαcosα＝k.当0απ4时，sinαcosα，此时sinα－cosα0，∴sinα－cosα＝－sinα－cosα2＝－1－2sinαcosα＝－1－k.当π4≤απ2时，sinα≥cosα，此时sinα－cosα≥0，∴sinα－cosα＝sinα－cosα2＝1－2sinαcosα＝1－k.