高中数学人教A必修5学业分层测评10等差数列的前n项和Word版含解析

学业分层测评（十）(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．在等差数列{an}中，a2＝1，a4＝5，则{an}的前5项和S5＝()A．7B．15C．20D．25【解析】S5＝5×a1＋a52＝5×a2＋a42＝5×62＝15.【答案】B2．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a5a3＝59，则S9S5等于()A．1B．－1C．2D．12【解析】S9S5＝92a1＋a952a1＋a5＝9×2a55×2a3＝9a55a3＝95×59＝1.【答案】A3．等差数列{an}中，a1＝1，a3＋a5＝14，其前n项和Sn＝100，则n等于()A．9B．10C．11D．12【解析】∵a3＋a5＝2a4＝14，∴a4＝7.d＝a4－a13＝2，Sn＝na1＋nn－12·d＝n＋nn－12×2＝n2＝100，∴n＝10.【答案】B4．(2015·全国卷Ⅰ)已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S8＝4S4，则a10＝()A.172B.192C．10D．12【解析】∵公差为1，∴S8＝8a1＋8×8－12×1＝8a1＋28，S4＝4a1＋6.∵S8＝4S4，∴8a1＋28＝4(4a1＋6)，解得a1＝12，∴a10＝a1＋9d＝12＋9＝192.故选B.【答案】B5．若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10＝()A．15B．12C．－12D．－15【解析】a1＋a2＋…＋a10＝－1＋4－7＋10＋…＋(－1)10·(3×10－2)＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－1)9·(3×9－2)＋(－1)10·(3×10－2)]＝3×5＝15.【答案】A二、填空题6．已知{an}是等差数列，a4＋a6＝6，其前5项和S5＝10，则其公差为d＝.【解析】a4＋a6＝a1＋3d＋a1＋5d＝6，①S5＝5a1＋12×5×(5－1)d＝10，②由①②联立解得a1＝1，d＝12.【答案】127．{an}为等差数列，Sn为其前n项和，已知a7＝5，S7＝21，则S10＝.【解析】设公差为d，则由已知得S7＝7a1＋a72，即21＝7a1＋52，解得a1＝1，所以a7＝a1＋6d，所以d＝23.所以S10＝10a1＋10×92d＝10＋10×92×23＝40.【答案】408．若数列1nn＋1的前n项和为Sn，且Sn＝1920，则n＝.【导学号：05920068】【解析】Sn＝11×2＋12×3＋…＋1nn＋1＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n－1n＋1＝1－1n＋1＝nn＋1.由已知得nn＋1＝1920，解得n＝19.【答案】19三、解答题9．等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50.(1)求数列的通项公式；(2)若Sn＝242，求n.【解】(1)设数列{an}的首项为a1，公差为d.则a10＝a1＋9d＝30，a20＝a1＋19d＝50，解得a1＝12，d＝2，∴an＝a1＋(n－1)d＝12＋(n－1)×2＝10＋2n.(2)由Sn＝na1＋nn－12d以及a1＝12，d＝2，Sn＝242，得方程242＝12n＋nn－12×2，即n2＋11n－242＝0，解得n＝11或n＝－22(舍去)．故n＝11.10．在我国古代，9是数学之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计．例如，北京天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成(如图2­3­2所示)，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第1圈有9块石板，从第2圈开始，每1圈比前1圈多9块，共有9圈，则：图2­3­2(1)第9圈共有多少块石板？(2)前9圈一共有多少块石板？【解】(1)设从第1圈到第9圈石板数所成数列为{an}，由题意可知{an}是等差数列，其中a1＝9，d＝9，n＝9.由等差数列的通项公式，得第9圈石板块数为：a9＝a1＋(9－1)·d＝9＋(9－1)×9＝81(块)．(2)由等差数列前n项和公式，得前9圈石板总数为：S9＝9a1＋9×9－12d＝9×9＋9×82×9＝405(块)．答：第9圈共有81块石板，前9圈一共有405块石板．[能力提升]1．如图2­3­3所示将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n(n1，n∈N*)个点，相应的图案中总的点数记为an，则a2＋a3＋a4＋…＋an等于()图2­3­3A.3n22B.nn＋12C.3nn－12D．nn－12【解析】由图案的点数可知a2＝3，a3＝6，a4＝9，a5＝12，所以an＝3n－3，n≥2，所以a2＋a3＋a4＋…＋an＝n－13＋3n－32＝3nn－12.【答案】C2．已知命题：“在等差数列{an}中，若4a2＋a10＋a()＝24，则S11为定值”为真命题，由于印刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为()A．15B．24C．18D．28【解析】设括号内的数为n，则4a2＋a10＋a(n)＝24，∴6a1＋(n＋12)d＝24.又S11＝11a1＋55d＝11(a1＋5d)为定值，所以a1＋5d为定值．所以n＋126＝5，n＝18.【答案】C3．(2015·安徽高考)已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋12(n≥2)，则数列{an}的前9项和等于．【解析】由a1＝1，an＝an－1＋12(n≥2)，可知数列{an}是首项为1，公差为12的等差数列，故S9＝9a1＋9×9－12×12＝9＋18＝27.【答案】274．(2015·全国卷Ⅰ)Sn为数列{an}的前n项和．已知an＞0，a2n＋2an＝4Sn＋3.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝1anan＋1，求数列{bn}的前n项和．【解】(1)由a2n＋2an＝4Sn＋3，①可知a2n＋1＋2an＋1＝4Sn＋1＋3.②②－①，得a2n＋1－a2n＋2(an＋1－an)＝4an＋1，即2(an＋1＋an)＝a2n＋1－a2n＝(an＋1＋an)(an＋1－an)．由an0，得an＋1－an＝2.又a21＋2a1＝4a1＋3，解得a1＝－1(舍去)或a1＝3.所以{an}是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为an＝2n＋1.(2)由an＝2n＋1可知bn＝1anan＋1＝12n＋12n＋3＝1212n＋1－12n＋3.设数列{bn}的前n项和为Tn，则Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝1213－15＋15－17＋…＋12n＋1－12n＋3＝n32n＋3.