高中数学人教A必修5学业分层测评7数列的通项与递推公式Word版含解析

学业分层测评（七）(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知数列{an}满足：a1＝－14，an＝1－1an－1(n1)，则a4等于()A.45B.14C．－14D.15【解析】a2＝1－1a1＝5，a3＝1－1a2＝45，a4＝1－1a3＝－14.【答案】C2．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是()A．an＋1＝an＋n，n∈N*B．an＝an－1＋n，n∈N*，n≥2C．an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N*，n≥2D．an＝an－1＋(n－1)，n∈N*，n≥2【解析】由a2－a1＝3－1＝2，a3－a2＝6－3＝3，a4－a3＝10－6＝4，a5－a4＝15－10＝5，归纳猜想得an－an－1＝n(n≥2)，所以an＝an－1＋n，n∈N*，n≥2.【答案】B3．设an＝－3n2＋15n－18，则数列{an}中的最大项的值是()A.163B.133C．4D．0【解析】∵an＝－3n－522＋34，由二次函数性质得，当n＝2或3时，an最大，最大为0.【答案】D4．在数列{an}中，a1＝2，an＋1－an－3＝0，则{an}的通项公式为()A．an＝3n＋2B．an＝3n－2C．an＝3n－1D．an＝3n＋1【解析】因为a1＝2，an＋1－an－3＝0，所以an－an－1＝3，an－1－an－2＝3，an－2－an－3＝3，…a2－a1＝3，以上各式相加，则有an－a1＝(n－1)×3，所以an＝2＋3(n－1)＝3n－1.【答案】C5．已知在数列{an}中，a1＝3，a2＝6，且an＋2＝an＋1－an，则a2016＝()A．3B．－3C．6D．－6【解析】由题意知：a3＝a2－a1＝3，a4＝a3－a2＝－3，a5＝a4－a3＝－6，a6＝a5－a4＝－3，a7＝a6－a5＝3，a8＝a7－a6＝6，a9＝a8－a7＝3，a10＝a9－a8＝－3，…故知{an}是周期为6的数列，∴a2016＝a6＝－3.【答案】B二、填空题6．数列{an}中，若an＋1－an－n＝0，则a2016－a2015＝.【解析】由已知a2016－a2015－2015＝0，∴a2016－a2015＝2015.【答案】20157．数列{an}满足an＝4an－1＋3，且a1＝0，则此数列的第5项是．【解析】因为an＝4an－1＋3，所以a2＝4×0＋3＝3，a3＝4×3＋3＝15，a4＝4×15＋3＝63，a5＝4×63＋3＝255.【答案】2558．数列{an}满足：a1＝6，a1＋a2＋a3＋…＋an＝32an－3，那么这个数列的通项公式为．【解析】由a1＋a2＋a3＋…＋an＝32an－3，得a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝32an－1－3(n≥2)，两式作差得3an－1＝an(n≥2)，∴an＝a1·a2a1·a3a2·…·anan－1＝6·3n－1＝2·3n(n≥2)．∵a1＝6也适合上式，∴an＝2·3n(n∈N*)(n∈N*)．【答案】an＝2·3n(n∈N*)三、解答题9．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝3anan＋3(n∈N*)，求通项an.【解】将an＋1＝3anan＋3两边同时取倒数得：1an＋1＝an＋33an，则1an＋1＝1an＋13，即1an＋1－1an＝13，∴1a2－1a1＝13，1a3－1a2＝13，…，1an－1an－1＝13，把以上这(n－1)个式子累加，得1an－1a1＝n－13.∵a1＝1，∴an＝3n＋2(n∈N*)．10．已知数列{an}的通项公式an＝(n＋2)·67n，试求数列{an}的最大项.【导学号：05920065】【解】假设第n项an为最大项，则an≥an－1，an≥an＋1.即n＋2·67n≥n＋1·67n－1，n＋2·67n≥n＋3·67n＋1.解得n≤5，n≥4，即4≤n≤5，所以n＝4或5，故数列{an}中a4与a5均为最大项，且a4＝a5＝6574.[能力提升]1．已知数列{an}对任意的p，q∈N*满足ap＋q＝ap＋aq，且a2＝－6，那么a10等于()A．－165B．－33C．－30D．－21【解析】由已知得a2＝a1＋a1＝2a1＝－6，∴a1＝－3.∴a10＝2a5＝2(a2＋a3)＝2a2＋2(a1＋a2)＝4a2＋2a1＝4×(－6)＋2×(－3)＝－30.【答案】C2．(2015·吉林高二期末)已知函数f(x)＝x＋12，x≤12，2x－1，12x1，x－1，x≥1，若数列{an}满足a1＝73，an＋1＝f(an)，n∈N*，则a2014＋a2015等于()A．4B.32C.76D．116【解析】a2＝f73＝73－1＝43；a3＝f43＝43－1＝13；a4＝f13＝13＋12＝56；a5＝f56＝2×56－1＝23；a6＝f23＝2×23－1＝13；…∴从a3开始数列{an}是以3为周期的周期数列．∴a2014＋a2015＝a4＋a5＝32.故选B.【答案】B3．(2015·龙山高二检测)我们可以利用数列{an}的递推公式an＝n，n为奇数时，an2，n为偶数时(n∈N*)求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数．研究发现，该数列中的奇数都会重复出现，那么第8个5是该数列的第项．【解析】由题意可知，a5＝a10＝a20＝a40＝a80＝a160＝a320＝a640＝…＝5.故第8个5是该数列的第640项．【答案】6404．已知数列{an}，满足a1＝1，an＝an－1＋1nn－1(n≥2)，求数列的通项公式．【解】法一由an－an－1＝1nn－1＝1n－1－1n(n≥2)，则an－1－an－2＝1n－2－1n－1，…a3－a2＝12－13，a2－a1＝1－12.将上式相加得an－a1＝1－1n(n≥2)，又a1＝1，∴an＝2－1n.a1＝1也适合，∴an＝2－1n(n∈N*)．法二由已知得an－an－1＝1n－1－1n(n≥2)，则an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋(an－2－an－3)＋…＋(a2－a1)＋a1＝1n－1－1n＋1n－2－1n－1＋1n－3－1n－2＋…＋1－12＋1＝2－1n(n≥2)．a1＝1也适合，∴an＝2－1n(n∈N*).