高中数学人教A版必修4251同步试题含详解高中数学练习试题

1高中数学(人教A版)必修4同步试题1．在四边形ABCD中，若AB→＋CD→＝0，AC→·BD→＝0，则四边形为()A．平行四边形B．矩形C．等腰梯形D．菱形解析由AB→＋CD→＝0，得AB→＝－CD→＝DC→.∴四边形ABCD为平行四边形．又AC→·BD→＝0知，对角线互相垂直，故四边形为菱形．答案D2．在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，则()A.BD→＝CE→B.BD→与CE→共线C.BE→＝BC→D.DE→与BC→共线解析由题意知，DE为△ABC的中位线，∴DE∥BC，∴DE→与BC→共线．答案D3．设a，b，c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a与b不共线，a⊥c，|a|＝|c|，则|b·c|的值一定等于()A．以a，b为邻边的平行四边形的面积B．以b，c为邻边的平行四边形的面积C．以a，b为两边的三角形的面积D．以b，c为两边的三角形的面积2解析如右图，设b与c的夹角为θ，a与b的夹角为α，∵a⊥c，∴|cosθ|＝|sinα|.又|a|＝|c|，∴|b·c|＝|b||c||cosθ|＝|b||a||sinα|，即|b·c|的值一定等于以a，b为邻边的平行四边形的面积．答案A4．已知点A，B的坐标分别为A(4,6)，B－3，32，则与直线AB平行的向量的坐标可以是()①143，3；②7，92；③－143，－3；④(－7,9)．A．①B．①②C．①②③D．①②③④解析∵A(4,6)，B－3，32，∴AB→＝－7，－92，易知①、②、③与AB→平行，故选C.答案C5．已知直线l：mx＋2y＋6＝0，向量(1－m,1)与l平行，则实数m的值为()A．－1B．1C．2D．－1或2解析由题意得－m2＝11－m，解得m＝－1或2.答案D6．G在△ABC所在平面上有一点P，满足PA→＋PB→＋PC→＝AB→，则△PAB与△ABC的面积之比为________．解析∵PA→＋PB→＋PC→＝AB→，3∴PC→＝AB→－PA→－PB→＝AP→＋AB→＋BP→＝2AP→，∴A，P，C三点共线，且点P是靠近点A的线段AC的三等分点，故S△PABS△ABC＝13.答案137．如下图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若AB→＝mAM→，AC→＝nAN→，则m＋n的值为________．解析如下图，过B作BD∥MN，易知m＝ABAM＝ADAN，n＝ACAN，∴m＋n＝AD＋ACAN.∵BOOC＝DNNC＝1，∴AD＋AC＝2AN.∴m＋n＝2.4答案28．利用向量证明：菱形的两条对角线互相垂直．证明设菱形ABCD，则|AB→|＝|AD→|AC→·BD→＝(AB→＋AD→)(AD→－AB→)＝(AD→)2－(AB→)2＝|AD→|2－|AB→|2＝0，∴AC→⊥BD→，即AC⊥BD.9．已知：AM是△ABC中BC边上的中线，求证：AM2＝12(AB2＋AC2)－BM2.证明∵M是BC的中点，∴AM→＝12(AB→＋AC→)，BM→＝MC→，|AM|2＝14(|AB→|2＋|AC→|2)＋12AB→·AC→.5∵AB→＝AM→＋MB→，AC→＝AM→＋MC→，∴AB→·AC→＝|AM→|2－|BM→|2.∴|AM→|2＝14(|AB→|2＋|AC→|2)＋12(|AM→|2－|BM→|2)．∴AM2＝12(AB2＋AC2)－BM2.10．如图所示，以原点和A(5,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB，∠B＝90°，求点B的坐标．解设B(x，y)，则|OB→|＝x2＋y2.∵B(x，y)，A(5,2)，∴|AB→|＝x－52＋y－22.又|AB→|＝|OB→|，∴x－52＋y－22＝x2＋y2，整理，得10x＋4y＝29①∴又OB→＝(x，y)，AB→＝(x－5，y－2)，且OB→⊥AB→.∴OB→·AB→＝0，∴x(x－5)＋y(y－2)＝0，即x2＋y2－5x－2y＝0，②由①、②解得x＝32，y＝72，或x＝72，y＝－32.6∴B32，72或72，－32.教师备课资源1.在△ABC中，若|AB→|＝1.5，|AC→|＝1.5，|BC→|＝1，则|AB→－AC→|的值为()A．0B．1C.3D．2解析|AB→－AC→|＝|CB→|＝1.答案B2．在△ABC中，∠C＝90°，AB→＝(k,1)，AC→＝(2,3)，则k的值是()A.32B．－32C．5D．－5解析BC→＝AC→－AB→＝(2,3)－(k,1)＝(2－k,2)．∵∠C＝90°，∴AC→⊥BC→，∴AC→·BC→＝0.∴(2,3)·(2－k,2)＝0，即2(2－k)＋6＝0，∴k＝5.答案C3．如图，在▱ABCD中，AC→＝(1,2)，BD→＝(－3,2)，则AD→·AC→＝________.解析设AC与BD的交点是O，则OD→＝12BD→＝－32，1，AO→＝12AC→＝(12，1)，∴AD→＝AO→＋OD→＝(－1,2)．又AC→＝(1,2)，7∴AD→·AC→＝1×(－1)＋2×2＝3.答案34．在▱ABCD中，AB→＝(1,2)，AD→＝(－3,2)，则AC→的坐标为________．解析AC→＝AB→＋AD→＝(1,2)＋(－3,2)＝(－2,4)．答案(－2,4)5．已知O，N，P在△ABC所在的平面内，且|OA→|＝|OB→|＝|OC→|，NA→＋NB→＋NC→＝0，PA→·PB→＝PB→·PC→＝PC→·PA→，则点O，N，P依次是△ABC的()A．重心外心垂心B．重心外心内心C．外心重心垂心D．外心重心内心(注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角形的垂心)解析由|OA→|＝|OB→|＝|OC→|知，O为△ABC的外心；由NA→＋NB→＋NC→＝0知，N为△ABC的重心；∵PA→·PB→＝PB→·PC→，∴PB→·(PA→－PC→)＝0.∴PB→·CA→＝0，∴PB→⊥CA→，同理PA→⊥BC→.∴P是△ABC的垂心．答案C