高中数学人教A版必修43122同步试题含详解高中数学练习试题

1高中数学(人教A版)必修4同步试题1．已知下列四个等式：①sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ；②cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ；③cosπ2＋α＝－sinα；④tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ.其中恒成立的等式有()A．2个B．3个C．4个D．5个解析①，②，③对任意角α，β恒成立，④中的α，β还要使正切函数有意义．答案B2.1－tan15°1＋tan15°的值为()A.3B.33C．1D．－3解析原式＝tan45°－tan15°1＋tan45°tan15°＝tan(45°－15°)＝tan30°＝33.答案B3．设tanα，tanβ是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(b≠0)的两个实根，则1tanα＋β的值为()A.b＋caB.b－caC.c－abD.a－cb解析由根与系数的关系，得tanα＋tanβ＝－ba，tanα·tanβ＝ca，∴1tanα＋β＝1－tanαtanβtanα＋tanβ＝1－ca－ba＝c－ab.答案C4．在△ABC中，tanA＋tanB＋3＝3tanAtanB，则∠C等于()2A.π3B.2π3C.π6D.π4解析由已知，得tanA＋tanB＝3(tanAtanB－1)，即tanA＋tanB1－tanAtanB＝－3.∴tan(A＋B)＝－3，则tanC＝－tan(A＋B)＝3，则∠C＝π3.答案A5．若0απ2，0βπ2，且tanα＝17，tanβ＝34，则α＋β等于()A.π6B.π4C.π3D.3π4解析由已知可求得tan(α＋β)＝1.又0α＋βπ，∴α＋β＝π4.答案B6．若tanα＝3，tanβ＝43，则tan(α－β)＝________.解析tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ＝3－431＋3×43＝13.答案137.tan51°－tan6°1＋tan51°tan6°＝________.解析原式＝tan(51°－6°)＝tan45°＝1.答案18．已知α∈π2，π，sinα＝35，则tanα＋π4＝______.解析∵π2απ，sinα＝35，∴cosα＝－45，∴tanα＝－34.∴tanα＋π4＝tanα＋11－tanα＝－34＋11＋34＝17.3答案179．(1)已知α＋β＝π4，求(1＋tanα)(1＋tanβ)．(2)利用(1)的结论求(1＋tan1°)·(1＋tan2°)·(1＋tan3°)·…·(1＋tan45°)的值．解(1)∵α＋β＝π4，∴tan(α＋β)＝1，即tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝1，∴tanα＋tanβ＝1－tanαtanβ.∴(1＋tanα)(1＋tanβ)＝(tanα＋tanβ)＋1＋tanαtanβ＝2.(2)由(1)知当α＋β＝45°时，(1＋tanα)(1＋tanβ)＝2.∴原式＝(1＋tan1°)(1＋tan44°)(1＋tan2°)(1＋tan43°)…(1＋tan22°)(1＋tan23°)·(1＋tan45°)＝222·2＝223.10．已知tanα＝－13，cosβ＝55，α，β∈(0，π)．(1)求tan(α＋β)的值；(2)求函数f(x)＝2sin(x－α)＋cos(x＋β)的最大值．解(1)tanα＝－13，cosβ＝55，β∈(0，π)，∴sinβ＝255，∴tanβ＝2.∴tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝－13＋21－－13×2＝1.(2)∵tanα＝－13，α∈(0，π)，∴sinα＝110，cosα＝－310.∴f(x)＝2(sinxcosα－cosxsinα)＋cosxcosβ－sinxsinβ＝－35sinx－15cosx＋55cosx－255sinx＝－5sinx.∴f(x)的最大值为5.教师备课资源41.已知tanα＋tanβ＝2，tan(α＋β)＝4，则tanα·tanβ等于()A．4B.2C．1D.12解析∵tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ又tanα＋tanβ＝2，tan(α＋β)＝4，∴4＝21－tanαtanβ，∴tanαtanβ＝12.答案D2.sin15°＋cos15°sin15°－cos15°的值为()A.33B.2＋64C.2－64D．－3解析原式＝tan15°＋1tan15°－1＝1＋tan15°－1－tan15°＝－tan(45°＋15°)＝－tan60°＝－3.答案D3．化简tanα＋β－tanα－tanβtanαtanα＋β＝________.解析∵tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ，∴tan(α＋β)(1－tanαtanβ)＝tanα＋tanβ，即tan(α＋β)－tanα－tanβ＝tan(α＋β)tanαtanβ，∴原式＝tanβ.答案tanβ4．已知α，β均为锐角，且tanβ＝cosα－sinαcosα＋sinα，求tan(α＋β)的值．解tanβ＝cosα－sinαcosα＋sinα＝1－tanα1＋tanα＝tanπ4－α.∵α，β均为锐角，∴－π4π4－απ4，0βπ2.又y＝tanx在－π2，π2上为增函数，∴β＝π4－α，∴α＋β＝π4.5∴tan(α＋β)＝tanπ4＝1.5．已知sinα＝35，α∈0，π2，tan(α－β)＝12，求tanβ及tan(2α－β)的值．解∵sinα＝35，α∈0，π2，∴cosα＝1－sin2α＝1－352＝45.∴tanα＝sinαcosα＝3545＝34.∴tanβ＝tan[α－(α－β)]＝tanα－tanα－β1＋tanα·tanα－β＝34－121＋34×12＝211.tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝tanα＋tanα－β1－tanα·tanα－β＝34＋121－34×12＝2.