高中数学人教A版必修4第1章三角函数测试题含详解高中数学练习试题

1第一章测试(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法中，正确的是()A．第二象限的角是钝角B．第三象限的角必大于第二象限的角C．－831°是第二象限角D．－95°20′，984°40′，264°40′是终边相同的角解析A、B均错，－831°＝－720°－111°是第三象限的角，C错，∴选D.答案D2．若点(a,9)在函数y＝3x的图像上，则tanaπ6的值为()A．0B.33C．1D.3解析由题意，得3a＝9，得a＝2，∴tanaπ6＝tan2π6＝tanπ3＝3.答案D3．函数y＝sin2x＋32π的图像()A．关于直线x＝－π4对称B．关于直线x＝－π2对称C．关于直线x＝π8对称D．关于直线x＝54π对称解析将x＝－π2代入函数式，y＝sin－π＋3π2＝sinπ2＝1，取得最大值．∴x＝－π2是函数y＝sin2x＋3π2的一条对称轴，故应选B.答案B4．若|cosθ|＝cosθ，|tanθ|＝－tanθ，则θ2的终边在()A．第一、三象限B．第二、四象限C．第一、三象限或x轴上D．第二、四象限或x轴上2解析由题意知，cosθ≥0，tanθ≤0，所以θ在x轴上或在第四象限，故θ2在第二、四象限或在x轴上．答案D5．如果函数f(x)＝sin(πx＋θ)(0θ2π)的最小正周期是T，且当x＝2时取得最大值，那么()A．T＝2，θ＝π2B．T＝1，θ＝πC．T＝2，θ＝πD．T＝1，θ＝π2解析由题意知T＝2ππ＝2，又当x＝2时，有2π＋θ＝2kπ＋π2(k∈Z)，∴θ＝π2.答案A6．若sinπ2－x＝－32，且πx2π，则x等于()A.43πB.76πC.53πD.116π解析sinπ2－x＝cosx＝－32，又x∈(π，2π)，∴x＝7π6.答案B7．将函数y＝sinx的图像向左平移φ(0≤φ2π)个单位长度后，得到y＝sinx－π6的图像，则φ＝()A.π6B.5π6C.7π6D.11π6解析当φ＝11π6时，则y＝sinx＋11π6＝sinx＋2π－π6＝sinx－π6.答案D8．若tanθ＝2，则2sinθ－cosθsinθ＋2cosθ的值为()A．0B．1C.34D.54解析∵tanθ＝2，∴2sinθ－cosθsinθ＋2cosθ＝2tanθ－1tanθ＋2＝2×2－12＋2＝34.答案C39．函数f(x)＝tanx1＋cosx的奇偶性是()A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数也不是偶函数解析要使f(x)有意义，必须使x≠kπ＋π2，1＋cosx≠0，即x≠kπ＋π2，且x≠(2k＋1)π(k∈Z)，∴函数f(x)的定义域关于原点对称．又∵f(－x)＝tan－x1＋cos－x＝－tanx1＋cosx＝－f(x)，∴f(x)＝tanx1＋cosx是奇函数．答案A10．函数f(x)＝x－cosx在(0，＋∞)内()A．没有零点B．有且仅有一个零点C．有且仅有两个零点D．有无穷多个零点解析在同一坐标系里分别作出y＝x和y＝cosx的图像易知，f(x)＝0有且仅有一个零点．答案B11．已知A为锐角，lg(1＋cosA)＝m，lg11－cosA＝n，则lgsinA的值是()A．m＋1nB．m－nC.12m＋1nD.12(m－n)解析∵m－n＝lg(1＋cosA)－lg11－cosA＝lg(1＋cosA)＋lg(1－cosA)＝lg(1＋cosA)(1－cosA)＝lgsin2A＝2lgsinA，∴lgsinA＝12(m－n)，故选D.答案D12．函数f(x)＝3sin2x－π3的图像为C，4①图像C关于直线x＝1112π对称；②函数f(x)在区间－π12，5π12内是增函数；③由y＝3sin2x的图像向右平移π3个单位长度可以得到图像C，其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．3解析①把x＝1112π代入f(x)知，f1112π＝3sin2×11π12－π3＝3sin3π2＝－3.∴x＝1112π是函数f(x)的对称轴，∴①正确．②由2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2，得增区间为kπ－π12，kπ＋5π12(k∈Z)．令k＝0得增区间－π12，5π12，∴②正确．③依题意知y＝3sin2x－π3＝3sin2x－2π3，∴③不正确．应选C.答案C二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．将答案填在题中横线上)13．若sinθ＝－45，tanθ0，则cosθ＝________.解析由sinθ＝－45，tanθ0知，cosθ0.∴cosθ＝－1－sin2θ＝－1－－452＝－35.答案－3514．设α是第三象限的角，tanα＝512，则cosα＝________.解析借助直角三角形，易知cosα＝－1213.答案－121315．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω0)的图像如图所示，则ω＝________.5解析由图知，T4＝2π3－π3＝π3，∴T＝43π.又T＝2πω＝43π，∴ω＝32.答案3216．给出下列命题：①函数y＝cos23x＋π2是奇函数；②存在实数x，使sinx＋cosx＝2；③若α，β是第一象限角且αβ，则tanαtanβ；④x＝π8是函数y＝sin2x＋5π4的一条对称轴；⑤函数y＝sin2x＋π3的图像关于点π12，0成中心对称．其中正确命题的序号为__________．解析①y＝cos23x＋π2＝－sin23x是奇函数．②因为sinx，cosx不能同时取最大值1，所以不存在实数x使sinx＋cosx＝2成立．③α＝π3，β＝13π6，则tanα＝3，tanβ＝tan2π＋π6＝tanπ6＝33，tanαtanβ，∴③不成立．④把x＝π8代入函数y＝sin2x＋5π4，得y＝－1.∴x＝π8是函数图像的一条对称轴．⑤因为y＝sin2x＋π3图像的对称中心在图像上，而π12，0不在图像上，所以⑤不成立．答案①④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知方程sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，求sinπ－α＋5cos2π－α2sin3π2－α－sin－α的值．6解∵sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，∴－sin(3π－α)＝2cos(4π－α)．∴－sin(π－α)＝2cos(－α)．∴sinα＝－2cosα.可知cosα≠0.∴原式＝sinα＋5cosα－2cosα＋sinα＝－2cosα＋5cosα－2cosα－2cosα＝3cosα－4cosα＝－34.18．(12分)在△ABC中，sinA＋cosA＝22，求tanA的值．解∵sinA＋cosA＝22，①两边平方，得2sinAcosA＝－12，从而知cosA0，∴∠A∈π2，π.∴sinA－cosA＝sinA＋cosA2－4sinAcosA＝12＋1＝62.②由①②，得sinA＝6＋24，cosA＝－6＋24，∴tanA＝sinAcosA＝－2－3.19．(12分)已知f(x)＝sin2x＋π6＋32，x∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)的单调减区间；(3)函数f(x)的图像可以由函数y＝sin2x(x∈R)的图像经过怎样变换得到？解(1)T＝2π2＝π.(2)由2kπ＋π2≤2x＋π6≤2kπ＋3π2，k∈Z，得kπ＋π6≤x≤kπ＋2π3，k∈Z.所以所求的单调减区间为kπ＋π6，kπ＋2π3(k∈Z)．(3)把y＝sin2x的图像上所有点向左平移π12个单位，再向上平移32个单位，即得函数f(x)7＝sin2x＋π6＋32的图像．20．(12分)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的图像过点Pπ12，0，图像与P点最近的一个最高点坐标为π3，5.(1)求函数解析式；(2)求函数的最大值，并写出相应的x的值；(3)求使y≤0时，x的取值范围．解(1)由题意知T4＝π3－π12＝π4，∴T＝π.∴ω＝2πT＝2，由ω·π12＋φ＝0，得φ＝－π6，又A＝5，∴y＝5sin2x－π6.(2)函数的最大值为5，此时2x－π6＝2kπ＋π2(k∈Z)．∴x＝kπ＋π3(k∈Z)．(3)∵5sin2x－π6≤0，∴2kπ－π≤2x－π6≤2kπ(k∈Z)．∴kπ－5π12≤x≤kπ＋π12(k∈Z)．21．(12分)已知cosπ2－α＝2cos32π＋β，3sin3π2－α＝－2sinπ2＋β，且0απ，0βπ，求α，β的值．解cosπ2－α＝2cos32π＋β，即sinα＝2sinβ①3sin32π－α＝－2sinπ2＋β，即3cosα＝2cosβ②①2＋②2得2＝sin2α＋3cos2α.又sin2α＋cos2α＝1，∴cos2α＝12.∴cosα＝±22.又∵α∈(0，π)，∴α＝π4，或α＝34π.(1)当α＝π4时，cosα＝22，cosβ＝32cosα＝32，8又β∈(0，π)，∴β＝π6.(2)当α＝3π4时，cosα＝－22，cosβ＝32cosα＝－32，又β∈(0，π)，∴β＝5π6.综上，α＝π4，β＝π6，或α＝3π4，β＝5π6.22．(12分)已知函数f(x)＝x2＋2xtanθ－1，x∈[－1，3]，其中θ∈－π2，π2.(1)当θ＝－π6时，求函数的最大值和最小值；(2)求θ的取值范围，使y＝f(x)在区间[－1，3]上是单调函数(在指定区间为增函数或减函数称为该区间上的单调函数)．解(1)当θ＝－π6时，f(x)＝x2－233x－1＝x－332－43.∵x∈[－1，3]，∴当x＝33时，f(x)的最小值为－43，当x＝－1时，f(x)的最大值为233.(2)f(x)＝(x＋tanθ)2－1－tan2θ是关于x的二次函数．它的图像的对称轴为x＝－tanθ.∵y＝f(x)在区间[－1，3]上是单调函数，∴－tanθ≤－1，或－tanθ≥3，即tanθ≥1，或tanθ≤－3.∵θ∈－π2，π2，∴θ的取值范围是－π2，－π3∪π4，π2.