高中数学人教A版必修五章末综合测评3Word版含答案

章末综合测评(三)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2016·菏泽高二期末)对于任意实数a，b，c，d，下列四个命题中：①若ab，c≠0，则acbc；②若ab，则ac2bc2；③若ac2bc2，则ab；④若ab0，cd，则acbd.其中真命题的个数是()A．1B．2C．3D．4【解析】若ab，c0时，acbc，①错；②中，若c＝0，则有ac2＝bc2，②错；③正确；④中，只有cd0时，acbd，④错，故选A.【答案】A2．直线3x＋2y＋5＝0把平面分成两个区域．下列各点与原点位于同一区域的是()A．(－3,4)B．(－3，－4)C．(0，－3)D．(－3,2)【解析】当x＝y＝0时，3x＋2y＋5＝50，则原点一侧对应的不等式是3x＋2y＋50，可以验证仅有点(－3，4)满足3x＋2y＋50.【答案】A3．设A＝ba＋ab，其中a，b是正实数，且a≠b，B＝－x2＋4x－2，则A与B的大小关系是()A．A≥BB．ABC．ABD．A≤B【解析】∵a，b都是正实数，且a≠b，∴A＝ba＋ab2ba·ab＝2，即A2，B＝－x2＋4x－2＝－(x2－4x＋4)＋2＝－(x－2)2＋2≤2，即B≤2，∴AB.【答案】B4．已知0＜a＜b＜1，则下列不等式成立的是()【导学号：05920084】A．a3＞b3B.1a＜1bC．ab＞1D．lg(b－a)＜0【解析】由0＜a＜b＜1，可得a3＜b3，A错误；1a＞1b，B错误；ab＜1，C错误；0＜b－a＜1，lg(b－a)＜0，D正确．【答案】D5．在R上定义运算☆：a☆b＝ab＋2a＋b，则满足x☆(x－2)0的实数x的取值范围为()A．(0,2)B．(－2,1)C．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D．(－1,2)【解析】根据定义得，x☆(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－20，解得－2x1，所以所求的实数x的取值范围为(－2,1)．【答案】B6．已知0xya1，则有()A．loga(xy)0B．0loga(xy)1C．1loga(xy)2D．loga(xy)2【解析】0xya1，即0xa,0ya,0xya2.又0a1，f(x)＝logax是减函数，loga(xy)logaa2＝2，即loga(xy)2.【答案】D7．不等式2x2＋2x－4≤12的解集为()A．(－∞，－3]B．(－3,1]C．[－3,1]D．[1，＋∞)∪(－∞，－3]【解析】由已知得2x2＋2x－4≤2－1，所以x2＋2x－4≤－1，即x2＋2x－3≤0，解得－3≤x≤1.【答案】C8．(2014·安徽高考)x，y满足约束条件x＋y－2≤0，x－2y－2≤0，2x－y＋2≥0.若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为()A.12或－1B．2或12C．2或1D．2或－1【解析】如图，由y＝ax＋z知z的几何意义是直线在y轴上的截距，故当a0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝2；当a0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝－1.【答案】D9．已知正实数a，b满足4a＋b＝30，当1a＋1b取最小值时，实数对(a，b)是()A．(5,10)B．(6,6)C．(10,5)D．(7,2)【解析】1a＋1b＝1a＋1b·130·30＝1301a＋1b(4a＋b)＝1305＋ba＋4ab≥1305＋2ba·4ab＝310.当且仅当ba＝4ab，4a＋b＝30，即a＝5，b＝10时取等号．【答案】A10．在如图1所示的可行域内(阴影部分且包括边界)，目标函数z＝x＋ay取得最小值的最优解有无数个，则a的一个可能值是()图1A．－3B．3C．－1D．1【解析】若最优解有无数个，则y＝－1ax＋za与其中一条边平行，而三边的斜率分别为13，－1,0，与－1a对照可知a＝－3或1，又因z＝x＋ay取得最小值，则a＝－3.【答案】A11．某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比．如果在距离车站10km处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站()A．5km处B．4km处C．3km处D．2km处【解析】设车站到仓库距离为x，土地费用为y1，运输费用为y2，由题意得y1＝k1x，y2＝k2x，∵x＝10时，y1＝2，y2＝8，∴k1＝20，k2＝45，∴费用之和为y＝y1＋y2＝20x＋45x≥220x×45x＝8，当且仅当20x＝4x5，即x＝5时取等号．【答案】A12．设D是不等式组x＋2y≤10，2x＋y≥3，0≤x≤4，y≥1表示的平面区域，则D中的点P(x，y)到直线x＋y＝10的距离的最大值是()A.2B．22C．32D．42【解析】画出可行域，由图知最优解为A(1,1)，故A到x＋y＝10的距离为d＝42.【答案】D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．函数y＝2－x－4x(x0)的值域为________．【解析】当x0时，y＝2－x＋4x≤2－2x×4x＝－2.当且仅当x＝4x，x＝2时取等号．【答案】(－∞，－2]14．规定记号“⊙”表示一种运算，定义a⊙b＝ab＋a＋b(a，b为正实数)，若1⊙k3，则k的取值范围为________．【解析】由题意得k＋1＋k3，即(k＋2)·(k－1)0，且k0，因此k的取值范围是(0,1)．【答案】(0,1)15．(2015·山东高考)若x，y满足约束条件y－x≤1，x＋y≤3，y≥1，则z＝x＋3y的最大值为________．【解析】根据约束条件画出可行域如图所示，平移直线y＝－13x，当直线y＝－13x＋z3过点A时，目标函数取得最大值．由y－x＝1，x＋y＝3，可得A(1,2)，代入可得z＝1＋3×2＝7.【答案】716．(2015·浙江高考)已知实数x，y满足x2＋y2≤1，则|2x＋y－4|＋|6－x－3y|的最大值是________．【解析】∵x2＋y2≤1，∴2x＋y－40,6－x－3y0，∴|2x＋y－4|＋|6－x－3y|＝4－2x－y＋6－x－3y＝10－3x－4y.令z＝10－3x－4y如图，设OA与直线－3x－4y＝0垂直，∴直线OA的方程为y＝43x.联立y＝43x，x2＋y2＝1，得A－35，－45，∴当z＝10－3x－4y过点A时，z取最大值，zmax＝10－3×－35－4×－45＝15.【答案】15三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(2016·苏州高二检测)已知函数f(x)＝x2＋2x，解不等式f(x)－f(x－1)2x－1.【解】由题意可得x2＋2x－(x－1)2－2x－12x－1，化简得2xx－10，即x(x－1)0，解得0x1.所以原不等式的解集为{x|0x1}．18．(本小题满分12分)设x∈R，比较11＋x与1－x的大小．【解】作差：11＋x－(1－x)＝x21＋x，①当x＝0时，∵x21＋x＝0，∴11＋x＝1－x；②当1＋x0，即x－1时，∵x21＋x0，∴11＋x1－x；③当1＋x0且x≠0，即－1x0或x0时，∵x21＋x0，∴11＋x1－x.19．(本小题满分12分)已知x，y，z∈R＋，且x＋y＋z＝1，求证：1x＋4y＋9z≥36.【导学号：05920085】【证明】∵(x＋y＋z)1x＋4y＋9z＝14＋yx＋4xy＋zx＋9xz＋4zy＋9yz≥14＋4＋6＋12＝36，∴1x＋4y＋9z≥36.当且仅当x2＝14y2＝19z2，即x＝16，y＝13，z＝12时，等号成立．20．(本小题满分12分)一个农民有田2亩，根据他的经验，若种水稻，则每亩每期产量为400千克；若种花生，则每亩每期产量为100千克，但水稻成本较高，每亩每期需240元，而花生只要80元，且花生每千克可卖5元，稻米每千克只卖3元，现在他只能凑足400元，问这位农民对两种作物各种多少亩，才能得到最大利润？【解】设水稻种x亩，花生种y亩，则由题意得x＋y≤2，240x＋80y≤400，x≥0，y≥0，即x＋y≤2，3x＋y≤5，x≥0，y≥0，画出可行域如图阴影部分所示而利润P＝(3×400－240)x＋(5×100－80)y＝960x＋420y(目标函数)，可联立x＋y＝2，3x＋y＝5，得交点B(1.5,0.5)．故当x＝1.5，y＝0.5时，P最大值＝960×1.5＋420×0.5＝1650，即水稻种1.5亩，花生种0.5亩时所得到的利润最大．21．(本小题满分12分)(2015·周口高二检测)已知函数f(x)＝x2＋3x－a(x≠a，a为非零常数)．(1)解不等式f(x)x；(2)设xa时，f(x)有最小值为6，求a的值．【解】(1)f(x)x，即x2＋3x－ax，整理得(ax＋3)(x－a)0.当a0时，x＋3a(x－a)0，∴解集为x－3axa；当a0时，x＋3a(x－a)0，解集为xx－3a或xa.(2)设t＝x－a，则x＝t＋a(t0)．∴f(x)＝t2＋2at＋a2＋3t＝t＋a2＋3t＋2a≥2t·a2＋3t＋2a＝2a2＋3＋2a.当且仅当t＝a2＋3t，即t＝a2＋3时，等号成立，即f(x)有最小值2a2＋3＋2a.依题意有：2a2＋3＋2a＝6，解得a＝1.22．(本小题满分12分)(2015·济南师大附中检测)已知函数f(x)＝x2－2x－8，g(x)＝2x2－4x－16，(1)求不等式g(x)0的解集；(2)若对一切x2，均有f(x)≥(m＋2)x－m－15成立，求实数m的取值范围．【解】(1)g(x)＝2x2－4x－160，∴(2x＋4)(x－4)0，∴－2x4，∴不等式g(x)0的解集为{x|－2x4}．(2)∵f(x)＝x2－2x－8.当x2时，f(x)≥(m＋2)x－m－15恒成立，∴x2－2x－8≥(m＋2)x－m－15，即x2－4x＋7≥m(x－1)．∴对一切x2，均有不等式x2－4x＋7x－1≥m成立．而x2－4x＋7x－1＝(x－1)＋4x－1－2≥2x－1×4x－1－2＝2(当且仅当x＝3时等号成立)，∴实数m的取值范围是(－∞，2]．