高中数学人教A版必修四模块综合检测CWord版含答案

模块综合检测(C)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．若角600°的终边上有一点(－4，a)，则a的值是()A．43B．－43C.433D．－4332．若向量a＝(3，m)，b＝(2，－1)，a·b＝0，则实数m的值为()A．－32B.32C．2D．63．设向量a＝(cosα，12)，若a的模长为22，则cos2α等于()A．－12B．－14C.12D.324．平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|等于()A.3B．23C．4D．125．tan17°＋tan28°＋tan17°tan28°等于()A．－22B.22C．－1D．16．若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，满足条件(8a－b)·c＝30，则x等于()A．6B．5C．4D．37．要得到函数y＝sinx的图象，只需将函数y＝cos(x－π3)的图象()A．向右平移π6个单位B．向右平移π3个单位C．向左平移π3个单位D．向左平移π6个单位8．设函数f(x)＝sin(2x＋π3)，则下列结论正确的是()A．f(x)的图象关于直线x＝π3对称B．f(x)的图象关于点(π4，0)对称C．把f(x)的图象向左平移π12个单位，得到一个偶函数的图象D．f(x)的最小正周期为π，且在[0，π6]上为增函数9．已知A，B，C是锐角△ABC的三个内角，向量p＝(sinA，1)，q＝(1，－cosB)，则p与q的夹角是()A．锐角B．钝角C．直角D．不确定10．已知函数f(x)＝(1＋cos2x)sin2x，x∈R，则f(x)是()A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π2的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为π2的偶函数11．设0≤θ≤2π，向量OP1→＝(cosθ，sinθ)，OP2→＝(2＋sinθ，2－cosθ)，则向量P1P2→的模长的最大值为()A.2B.3C．23D．3212．若将函数y＝tan(ωx＋π4)(ω0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y＝tan(ωx＋π6)的图象重合，则ω的最小值为()A.16B.14C.13D.12题号123456789101112答案二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知α、β为锐角，且a＝(sinα，cosβ)，b＝(cosα，sinβ)，当a∥b时，α＋β＝________.14．已知cos4α－sin4α＝23，α∈(0，π2)，则cos(2α＋π3)＝________.15．若向量AB→＝(3，－1)，n＝(2,1)，且n·AC→＝7，那么n·BC→＝________.16．若θ∈[0，π2]，且sinθ＝45，则tanθ2＝________.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知向量a＝(sinθ，1)，b＝(1，cosθ)，－π2θπ2.(1)若a⊥b，求θ；(2)求|a＋b|的最大值．18．(12分)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω0,0≤φ≤π)为偶函数，其图象上相邻的两个最高点之间的距离为2π.(1)求f(x)的解析式；(2)若α∈(－π3，π2)，f(α＋π3)＝13，求sin(2α＋5π3)的值．19．(12分)设函数f(x)＝a·b，其中向量a＝(2cosx,1)，b＝(cosx，3sin2x)，x∈R.(1)若函数f(x)＝1－3，且x∈[－π3，π3]，求x；(2)求函数y＝f(x)的单调增区间，并在给出的坐标系中画出y＝f(x)在[0，π]上的图象．20．(12分)已知x∈R，向量OA→＝(acos2x,1)，OB→＝(2，3asin2x－a)，f(x)＝OA→·OB→，a≠0.(1)求函数f(x)的解析式，并求当a0时，f(x)的单调增区间；(2)当x∈[0，π2]时，f(x)的最大值为5，求a的值．21．(12分)已知函数f(x)＝3sin2(x＋π4)－cos2x－1＋32(x∈R)．(1)求函数f(x)的最小值和最小正周期；(2)若A为锐角，且向量m＝(1,5)与向量n＝(1，f(π4－A))垂直，求cos2A的值．22．(12分)已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosx，sinx)，c＝(sinx＋2sinα，cosx＋2cosα)，其中0αxπ.(1)若α＝π4，求函数f(x)＝b·c的最小值及相应x的值；(2)若a与b的夹角为π3，且a⊥c，求tan2α的值．模块综合检测(C)答案1．B[∵600°＝360°＋240°，是第三象限角．∴a0.∵tan600°＝tan240°＝tan60°＝a－4＝3，∴a＝－43.]2．D[a·b＝6－m＝0，∴m＝6.]3．A[∵|a|＝cos2α＋14＝22，∴cos2α＝14.∴cos2α＝2cos2α－1＝－12.]4．B[∵|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4×2×1×cos60°＋4×12＝12.∴|a＋2b|＝23.]5．D[tan17°＋tan28°＋tan17°tan28°＝tan(17°＋28°)(1－tan17°tan28°)＋tan17°tan28°＝1－tan17°tan28°＋tan17°tan28°＝1.]6．C[∵a＝(1,1)，b＝(2,5)，∴8a－b＝(6,3)，∵(8a－b)·c＝(6,3)·(3，x)＝18＋3x＝30，∴x＝4.]7．A[方法一y＝cos(x－π3)＝sin(x＋π6)，向右平移π6个单位即得y＝sin(x－π6＋π6)＝sinx，故选A.方法二y＝sinx＝cos(x－π2)，y＝cos(x－π3)6向右平移个单位6向右平移个单位y＝cos(x－π2)，无论哪种解法都需要统一函数名称．]8．C[∵f(π3)＝0，∴A不正确．∵f(π4)＝cosπ3＝12≠0，∴B不正确．f(x)向左平移π12个单位得f(x)＝sin[2(x＋π12)＋π3]＝sin(2x＋π2)＝cos2x，故C正确．]9．A[∵△ABC是锐角三角形，∴A＋Bπ2.∴π2Aπ2－B0.∵函数y＝sinx，x∈(0，π2)是递增函数，∴sinAsin(π2－B)．即sinAcosB.∴p·q＝sinA－cosB0.∴p与q所成的角是锐角．]10．D[f(x)＝(1＋cos2x)1－cos2x2＝12(1－cos22x)＝12－12×1＋cos4x2＝14－14cos4x，∴T＝2π4＝π2，f(－x)＝f(x)，故选D.]11．D[|P1P2→|＝2＋sinθ－cosθ2＋2－cosθ－sinθ2＝10－8cosθ≤18＝32.]12．D[由题意知tan[ω(x－π6)＋π4]＝tan(ωx＋π6)，即tan(ωx＋π4－πω6)＝tan(ωx＋π6)．∴π4－π6ω＝kπ＋π6，得ω＝－6k＋12，则ωmin＝12(ω0)．]13.π2解析∵a∥b，∴sinαsinβ－cosαcosβ＝0即cos(α＋β)＝0.∵0α＋βπ.∴α＋β＝π2.14.13－156解析∵cos4α－sin4α＝(cos2α＋sin2α)(cos2α－sin2α)＝cos2α＝23.又2α∈(0，π)．∴sin2α＝53.∴cos(2α＋π3)＝12cos2α－32sin2α＝13－156.15．2解析n·BC→＝n·(AC→－AB→)＝n·AC→－n·AB→＝7－(2,1)·(3，－1)＝7－5＝2.16.12解析∵sinθ＝2sinθ2cosθ2＝2sinθ2cosθ2sin2θ2＋cos2θ2＝2tanθ21＋tan2θ2＝45.∴2tan2θ2－5tanθ2＋2＝0，∴tanθ2＝12或tanθ2＝2.∵θ∈[0，π2]，∴θ2∈[0，π4]．∴tanθ2∈[0,1]，∴tanθ2＝12.17．解(1)若a⊥b，则sinθ＋cosθ＝0.由此得tanθ＝－1(－π2θπ2)，∴θ＝－π4.(2)由a＝(sinθ，1)，b＝(1，cosθ)得a＋b＝(sinθ＋1,1＋cosθ)，|a＋b|＝sinθ＋12＋1＋cosθ2＝3＋2sinθ＋cosθ＝3＋22sinθ＋π4，当sin(θ＋π4)＝1时，|a＋b|取得最大值，即当θ＝π4时，|a＋b|的最大值为2＋1.18．解(1)∵图象上相邻的两个最高点之间的距离为2π，∴T＝2π，则ω＝2πT＝1.∴f(x)＝sin(x＋φ)．∵f(x)是偶函数，∴φ＝kπ＋π2(k∈Z)．又0≤φ≤π，∴φ＝π2，∴f(x)＝cosx.(2)由已知得cos(α＋π3)＝13.∵α∈(－π3，π2)．∴α＋π3∈(0，5π6)．∴sin(α＋π3)＝223.∴sin(2α＋5π3)＝－sin(2α＋2π3)＝－2sin(α＋π3)cos(α＋π3)＝－429.19．解(1)依题设得f(x)＝2cos2x＋3sin2x＝1＋cos2x＋3sin2x＝2sin(2x＋π6)＋1.由2sin(2x＋π6)＋1＝1－3得sin(2x＋π6)＝－32.∵－π3≤x≤π3，∴－π2≤2x＋π6≤5π6，∴2x＋π6＝－π3，即x＝－π4.(2)－π2＋2kπ≤2x＋π6≤π2＋2kπ(k∈Z)，即－π3＋kπ≤x≤π6＋kπ(k∈Z)得函数单调增区间为[－π3＋kπ，π6＋kπ](k∈Z).x0π6π3π22π35π6πy2320－10220．解(1)f(x)＝2acos2x＋3asin2x－a＝3asin2x＋acos2x＝2asin(2x＋π6)．当a0时，由2kπ－π2≤2x＋π6≤2kπ＋π2(k∈Z)，得kπ－π3≤x≤kπ＋π6(k∈Z)．故函数f(x)的单调增区间为[kπ－π3，kπ＋π6](k∈Z)．(2)由(1)知f(x)＝2asin(2x＋π6)．当x∈[0，π2]时，2x＋π6∈[π6，7π6]．若a0，当2x＋π6＝π2时，f(x)max＝2a＝5，则a＝52；若a0，当2x＋π6＝7π6时，f(x)max＝－a＝5，则a＝－5.所以a＝52或－5.21．解(1)f(x)＝3sin2(x＋π4)－cos2x－1＋32＝3[22(sinx＋cosx)]2－cos2x－1＋32＝3sinxcosx－cos2x－12＝32sin2x－1＋cos2x2－12＝sin(2x－π6)－1，所以f(x)的最小正周期为π，最小值为－2.(2)由m＝(1,5)与n＝(1，f(π4－A))垂直，得5f(π4－A)＋1＝0，∴5sin[2(π4－A)－π6]－4＝0，即sin(2A－π3)＝－45.∵A∈(0，π2)，∴2A－π3∈(－π3，2π3)，∵sin(2A－π3)＝－450，∴2A－π3∈(－π3，0)，∴cos(2A－π3)＝35.∴cos2A＝cos[(2A－π3)＋π3]＝35×12＋45×32＝43＋310.22．解(1)∵b＝(cosx，sinx)，c＝(sinx＋2sinα，cosx＋2cosα)，α＝π4，∴f(x)＝b·c＝cosxsinx＋2cosxsinα＋sinxcosx＋2sinxcosα＝2sinxcosx＋2(sinx＋cosx)．令t＝sinx＋cosx(0xπ)，则2sinxcosx＝t2－1，且－1t≤2.则y＝g(t)＝t2＋2t－1＝(t＋22)2－32，－1t≤2.∴t＝－22时，y取得最小值，且ymin＝－32，此时sinx＋cosx＝－22.由于0xπ，故x＝11π12.所以函数f(x)的最小值为－32，相应x的值为11π12.(2)∵a与b的夹角为π3，∴cosπ3＝a·b|a|·|b|＝cosαcosx＋sinαsinx＝cos(x－α)．∵0αxπ，∴0x－απ.∴x－α＝π3.∵a⊥c，∴cosα(sinx＋2sinα)＋sinα(cosx＋2cosα)＝0.∴sin(x＋α)＋2sin2α＝0，sin(2α＋π3)＋2sin